第6讲 质点的角动量角动量守恒定律

1、第第5章章 质点质点(系系)的角动量的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律Law of Conservation of Angular Momentum5.1 质点的角动量定理质点的角动量定理5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用，在这些问题中，动量定

2、理及其守恒定律未必适用，这时若采用这时若采用角动量角动量概念讨论问题就比较方便。概念讨论问题就比较方便。角动量也是一个重要概念。角动量也是一个重要概念。0Lrmv ( (矢量矢量) )Lmvr 的大小为：的大小为：LsinLLrmv 和和 的夹角为的夹角为 ，rmv 的方向：由的方向：由 和和 按照按照右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。Lrmv角动量的定义：角动量的定义：也称为动量矩。也称为动量矩。5.1 质点的角动量定理质点的角动量定理关于角动量关于角动量角动量与位矢有关角动量与位矢有关, 位矢与参考点有关位矢与参考点有关, 有相对性。有相对性。 谈到角动量时谈到角动量时必须指明必须指明是

3、对哪一是对哪一参照点参照点而言。而言。当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，= / 2角动量大小为：角动量大小为：sinLmvrmvr 2mr 讨论讨论对于匀速圆周运动，因速度的方向一直在改变，对于匀速圆周运动，因速度的方向一直在改变，因而因而动量不守恒动量不守恒，但，但角动量是一个常矢量角动量是一个常矢量。在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：()zyxLxPyP()yxzLzPxP()xzyLyPzPxyzijkLrPxyzPPP00 xyijkLrPxyPP当质点作一般平面运动时，当质点作一般平面运动时，角动量为：角动量为：()yxxPyP

4、 k质点作直线运动的角动量。质点作直线运动的角动量。质点位置矢量的方向发质点位置矢量的方向发生了变化生了变化转动转动mvrsinLmvr 广义的转动：广义的转动：yzxopr L r当质点作匀速直线运动时，当质点作匀速直线运动时，v, r都都是不变的，角动量是常量。是不变的，角动量是常量。mvrsinLmvr Lmv rrPLmvrmvrsinLmvr 地球公转（圆轨道）的角动量。地球公转（圆轨道）的角动量。地球的轨道半径是地球的轨道半径是它的质量是它的质量是因此可得，它绕太阳的角速率因此可得，它绕太阳的角速率111.5 10 mR 246.0 10 kgm 地球每年地球每年运动一周运动一周(

5、365 )dT (2) rad 72.0 10 rad/s2(365 )(24)(3600)dh/ds/h 2 /T所以地球绕太阳公转的角动量大小是所以地球绕太阳公转的角动量大小是402.7 102kg m /s2411 27(6.0 10 )(1.5 10 ) (2.0 10 )2LmR 类比质点的动量定理类比质点的动量定理FdvmdtdPdmvdtdt考查质点角动量考查质点角动量的变化率：的变化率：LrmvdLdrmvdtdt（）()d mvdrrmvdtdtrFvmv dLMdt于是有于是有引起转动状态改变的原引起转动状态改变的原因是由于力矩的作用因是由于力矩的作用可见可见:rF令令 r

6、FM力矩力矩比较比较 dLMdt角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式dPFdt00 ttMdtLL00ttFdtPP与动量定理在形式、结构上一致。与动量定理在形式、结构上一致。角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式冲量矩冲量矩冲量冲量0 MrFsin MMrF 其中其中为为 和和 的夹角的夹角rF MrF rFsinMrF rFsinMFr r F力对某一固定点的力力对某一固定点的力矩的大矩的大小等于此力和小等于此力和力臂的乘积。力臂的乘积。F r 有心力对力心的力矩为零。有心力对力心的力矩为零。 在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：关于力矩关

7、于力矩上式也称为力对轴的力矩。上式也称为力对轴的力矩。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。 xyzijkMrFxyzFFFxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF讨论讨论 落体运动中质点对同一落体运动中质点对同一参照点的角动量和力矩参照点的角动量和力矩试问：企鹅从试问：企鹅从A做自由落体运动的过做自由落体运动的过程中，对于程中，对于O点的角动量为多少？点的角动量为多少？力偶矩力偶矩FFFF一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。 2MRF 2MFdd质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点质

8、点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动量的矢量和。的角动量的矢量和。5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理11nniiiiiLLrp研究方法：研究方法：先对每个质点应用角动量定理，然后先对每个质点应用角动量定理，然后对所有质点求和。对所有质点求和。对质点对质点i应用角动量定理：应用角动量定理：1,niiiiijjjidLMrFfdt对质点系中所有质点求和，则有对质点系中所有质点求和，则有11nniiiiLLLdtdtdtdddextintMM 11nniiiiiijjirFrffijfjirirjFiFjO1nintiijij iMrf 1nextiiiMrF iijjjiijij

9、rfrfrrfjiijff ijrrijfri-rjfijfjirirjFiFjO extdLMdt则有：则有：若质点若质点( (系系) )所受外力对某固定参照点的力矩矢量和所受外力对某固定参照点的力矩矢量和为零，则质点为零，则质点(系系)对对该固定点的角动量守恒。该固定点的角动量守恒。角动量守恒定律角动量守恒定律根据动量定理：根据动量定理： dLMdt若若 0 ML常常矢矢量量5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点质点( (系系) )所受的合外力为零；所受的合外力为零； 合力矩为零。合力矩为零。 在有心力的作用下在有心力的作用下, ,质点质点( (系系) )对力心的角动对力心的角动量都是

10、守恒的；量都是守恒的； 匀速直线运动的质点匀速直线运动的质点( (系系) )对任意固定点的对任意固定点的角动量都是守恒的。角动量都是守恒的。 讨论讨论用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为周运动，其半径为 r0 ，角速度为，角速度为0 。现通过圆心。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求(1) 当半径缩为当半径缩为 r 时的角速度；时的角速度；(2) 此力作功几何？此力作功几何？解：mr0rov以小孔以小孔 o 为原点为原点绳对小球的拉力为有心力，绳对小球的拉力为有心力，则小球对则

11、小球对o 点的角动量守恒。点的角动量守恒。其力矩为零。其力矩为零。初态初态末态末态角动量守恒角动量守恒所以所以2000Lmr 2Lmr 2200mrmr2002rr根据动能定理，此力的功为：根据动能定理，此力的功为： 0()2200112rmvr2201122mvmv kWE可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。星系的形状可能与此有关。星系的形状可能与此有关。星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的

12、收缩不受什量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。银河系这样的星系呈扁平状。银河系银河系Here is 我们的太阳我们的太阳 仙女座星系仙女座星系(220万光年万光年)一颗地球卫星，近地点一颗地球卫星，近地点181km，速率，速率8.0km/s，远地点远地点327km，求卫星在该点的速率。，求卫星在该点的速率。解：角动量守恒角动量守恒近地点近地点11vr远地点远地点22vr则则2 21 1mv rmv r7.83km/s1212rvvr6370 1818.06370327且且Is t

13、he angular momentum of planet conservative about the other focus of orbit? Why?NO!1r1v2r2v这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。在在低轨道上运行的地球卫星低轨道上运行的地球卫星由于大气摩擦阻力对地由于大气摩擦阻力对地心的矩不为零，其心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒对地心的角动量不守恒。在此力。在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。地面。角动量守恒是自然界的普遍规律角动量守恒是自然界的普遍规律从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现反例。从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现