数学模型实验2

1、数学建模实验二微分方程实验1. 微分方程稳定性分析 绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定、或不稳定的进行分类：（1）（2）（3）（4）（1） 选取平衡点，由可知为（0,0）系数矩阵为易得特征值则对照稳定性情况表，平衡点是不稳定的。（2） 根据（1）题所求方法，取平衡点（0,0），易得特征值对照稳定性情况表，可知平衡点是不稳定的。（3） 取平衡点（0,0），易得特征值对照稳定性情况表，可知平衡点是不稳定的。（4） 取平衡点（1,0），易得特征值对照稳定性情况表，可知平衡点是稳定的。 2. 种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设

2、病菌的数目为，单位成员的增长率为，则由Malthus生长率有但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与成比例，其比例系数为。求满足的微分方程，不用求解，图示其解族，方程是否有平衡接，如果有，是否为稳定？解：由题可得，N满足的微分方程为：求取平衡点，令，可得平衡点为（0，），由，令可求得，令把第一象限划分为三部分，且分别有则微分方程的解族图形如下所示，其中，是不稳定的，是稳定的。3、单种群开发模型考虑单种群开发方程：用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率解：由本问题的目标出发，渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要

3、讨论方程的平衡点并分析其稳定性。平衡点满足 (1)的点称为方程的平衡点。解得的两个平衡点为：，容易算出两个解和称平衡点是稳定的是指：对方程(1)的任一个解，恒有 (2)判断平衡点是否稳定，可根据一阶近似方程： (3)判断。该方程的一般解为： 于是有下述结论：若，则是稳定平衡点； 若，则不是稳定平衡点。应用上述近似判别法，所以有当时，是稳定平衡点，不是； 当时，不是稳定平衡点，是； 结果分析：当捕捞适度(即：)时,可使渔场产量稳定在， 从而获得持续产量，而当捕捞过度（即：）时，渔场产量将减至，破坏性捕捞，从而是不可持续的。进一步讨论：如何控制捕捞强度使得持续产量最大： 结论：最优捕捞率为 。4、

4、Gompertz模型设渔场鱼量增长服从Gompertz模型：，其中为固有增长率，为最大种群数量。若单位时间捕捞量为讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。解：变化规律的数学模型为 记 （1） 令，得 ，则有平衡点为.又，推出平衡点是稳定的，而平衡点不稳定.0 （2）最大持续产量的数学模型为：由前面的结果可得 ，令得到最大产量的捕捞强度，从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平。5.有限资源竞争模型微分方程是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设。试用微分方程稳定性理论分析：（1）如果，则（2）如果则（3）用图形分析方法来说明上述两种情况解：（1

5、） 构建方程组，令易得平衡点对于，系数矩阵，已知，所以，该点不稳定。对于，系数矩阵，由题可知，该点是稳定的。即，说明物种1最终会灭亡。对于，系数矩阵由题可知，该点是稳定的。即，物种2最终要灭亡。方程组为线性方程组，在平面上匹配两条直线将第一象限分为三个区域。（1） 当时，随着时间的增加，物种1将会灭亡，物种2将达到稳定值。（2）当时，随着时间的增加，物种1最终能达到稳定值，物种2最终要灭亡。6.蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型其中，且初值为为一个小常数，假设，且。（1）用函数ode45求解，并画出的平面图；（2）适当地调整参数值和初始值，重复（1）的工作，看有什么现象发生。解：1 .建立自

6、定义函数，建立“Lorenz.m”的M文件.程序如下：function dy = Lorenz(,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=10*(-y(1)+y(2);dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3;end2.建立“Lzdis.m”的M文件，用来求解和绘图。程序如下：t,y=ode45(Lorenz,0,30,12,2,9);figure(1)plot(t,y(:,1)figure(2)plot(t,y(:,2)figure(3)plot(t,y(:,3)figure(4)plot3(y(:,1),y(:,2),y

7、(:,3)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)3. 运行得到如下的结果：即关于的变化关系图如下图：即关于的变化关系图如下图：即关于的变化关系图如下图：的空间关系图如下图：4验证“蝴蝶效应”洛伦兹方程的解对初始值十分敏感，现对的初始值稍加修改，将2改为2.01和1.99，让后求解的数值解。建立“lzsensi.m”的M文件，程序如下：clfholdt,u=ode45(Lorenz,0 15,12,2,9);plot(t,u(:,3),Color,r);t,v=ode45(Lorenz,0 15,12,2.01,9);plot(t,v(:,3),Color,b);t,w=ode45

8、(Lorenz,0 15,12,1.99,9);plot(t,w(:,3),Color,k);运行得到不同初始条件下的关于的图形：黑色线表示初值条件为12,1.99,9时的图形绿色线表示初值条件为12,2,9时的图形红色线表示初值条件为12,2.01,9时的图形容易看出：随着时间的推移，三条曲线的吻合程度越来越差，差距越来越大，变化也越来越不明显，成为混沌状态。2.3加分实验（餐厅废物的堆肥优化问题）一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这此混合原料，变成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅

9、希望增加肥料产量。由于无力购置新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表2.1所示)，建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生产的建议。解：首先，进行模型假设： 1 将容器看作封闭的，不考虑质量的损耗。 2 以北方的温度和湿度为标准。 3 真菌的数量相同，初始活力相同。 4容器内生化反应过程中的温度不受人为因素控制，但受外界环境的影响。餐厅没有温度控制方面的投资。 5 反映开始前，真菌和发酵物分别储藏，不发生反应。 6 容器内的真菌分布均匀，且处于发酵的最佳状态。 7 在一定时间内，温度和湿度取平均值。建立数学模型：首先确立食物浆和蔬菜下脚的比

10、例，并以比例为横坐标，肥料生成时间为纵坐标，建立坐标系，做出图像。编号（食物浆/蔬菜下脚）比例碎纸肥料生成天数12.7741902821.4177202733.3809502742.4756102652.821430336 1.9811303678.0666703583.4375004791.86364949100.95000649111.50980749121.36842649食物浆与蔬菜下脚比例和肥料生成天数关系如下图：由图可以看出七八月份的产出明显要短，生成速率明显要高，增加碎纸的容器反而分解速率更低。从图中可以看出编号为4的当食物浆与蔬菜下脚比例为2.5左右且无碎纸，时间为7月27日到

11、8月22日时，产出时间最短，生成速率最高，说明此时真菌的活性最大。比较编号为58组和912组可以看出，添加碎纸的组产出时间明显增长，说明碎纸片对真菌的活力起减缓作用，因此，在食物浆与蔬菜下脚比例为2.5左右且无碎纸，投料时间为七月下旬时，真菌活性最大，所需时间最短，速度最快。然后变换图像，使其横坐标按顺序排列：可以看出，在不考虑温度和湿度的情况下，当比例为2.47561时，产出速率最快。通过查找资料，找到北方的平均温度和相对湿度，并作出了图像：月份平均温度（摄氏度）相对湿度 百分率%1-0.463206533.47048.473513.47761887721.594823.589921.373101664119.164122.763做出图像：与我们通常的理解相近，当处于北方夏季时，温度要高（相对湿度也高