（精心整理）二元一次方程组复习学案(经典全面)

1、二元一次方程组复习学案一、等式、方程1等式性质等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式2方程 (1)含有未知数的等式叫做方程(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程二、一元一次方程1只含有_未知数，并且未知数的最高次数都是_，系数不等于零的_方程叫做一元一次方程，其标准形式为_，其解为x_.2解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)_；(3)移项；(4)_；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念1二元一次方程(1)概念：含有_未知数，

2、并且未知数的项的次数都是_，这样的整式方程叫做二元一次方程(2)一般形式：axbyc(a0，b0)(3)使二元一次方程两边的值_的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集2二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的_二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组(2)一般形式： (a1，a2，b1，b2均不为零)(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的_，叫做二元一次方程组的解四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是_，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有_消元法和

3、_消元法1用代入消元法-不要漏掉括号(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成yaxb(或xayb)的形式；(2)将yaxb(或xayb)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入yaxb(或xayb)中，求y(或x)的值2用加减消元法-不要漏乘(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中

4、一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数考点一 ：二元一次方程概念 与解法例1已知是二元一次方程组的解，则2mn= .例2小明和小佳同时解方程组，小明看错了m，解得，小华看错了n，解得，你能知道原方程组正确的解吗？ 总结分析：灵活学会“方程解”概念解题.【巩固】已知方程组和方程组的解相同，求的值.【变式】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，你能求得关于x，y的二元一次方程组的解吗？剖析总结：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程

5、重新组合，换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】.考点二：解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、解：解方程(组)；6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意7、答：完整写出答案(包括单位)列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.列二元一次方程-解决实际问题类型：（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问

6、题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题;（12）优化方案问题.一、 行程问题（1） 三个基本量的关系： 路程s=速度v×时间t 时间t路程s÷速度V 速度V路程s÷时间t（2） 三大类型： 相遇问题：快行距慢行距原距 追及问题：快行距慢行距原距， 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度顺速逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、

7、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。【变式】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度.【变式】学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6h，则平路和

8、坡路分别多远？二、 工程问题三个基本量的关系：工作总量工作时间×工作效率；工作时间工作总量÷工作效率；工作效率工作总量÷工作时间甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总量，注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”.一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，

9、同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 三：商品销售利润问题利润问题：利润=售价进价=进价×利润率，利润率=（售价进价）÷进价×100%=利润÷进价×100%有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利

10、润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？ 【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200求该商场购进A、B两种商品各多少件；四、银行储蓄问题银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间本金×利率×时间×税率4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25

11、的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出

12、共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？五、生产中的配套问题产品配套问题：加工总量成比例某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如

13、果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？六、增长率问题增长率问题：原量×（1增长率）=增长后的量原量×（1减少率）=减少后的量 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ （1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？思考：本问题还有没有其它的设法？【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增

14、加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口.七、和差倍分问题和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 【变式】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的

15、游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？八：数字问题首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.【变式】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒

16、序排列，求原三位数.九：浓度问题溶液×浓度=溶质现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是41，今要得到酒精与水的比为32的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？ 总结升华：解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。【变式】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？十、几何问题必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长

17、方形地砖的长和宽分别是多少？ 总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？总结升华：解题的关键找两个等量关系，最关键的是本题设的未知数不是该题要求的，本题要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了.设长方形的长和宽，本题就简单多了，所以列方程解应用题设未知数是关键.十一、年龄问题人与人的岁数是同时增长的今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，

18、求现在父亲和儿子的年龄各是多少？ 总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）.【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.【变式2】一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才1岁；你到我这么大时，我已经37岁了.”请问老师、学生今年分别多大了？十二、优化方案问题：某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部