234平面与平面垂直的性质PPT学习教案

1、会计学1234平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质第1页/共62页1、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的定义定义2、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的判定定理判定定理一个平面过另一个平面的垂一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。线，则这两个平面垂直。符号表示：符号表示：b两个平面相交，如果它们所成的二面角是两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。直二面角，就说这两个平面互相垂直。bb提出问题：提出问题：该命题正确吗？该命题正确吗？第2页/共62页b. 观察实验观察实验观察两垂直平面中观察两垂直平面中,一一个平面内的直线与另个平面内的直线与另一个平面的有

2、哪些位一个平面的有哪些位置关系置关系?.概括结论概括结论lllb 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理bb两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平则一个平面内垂直于交线的直线面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直与另一个平面垂直. .简述为：简述为：面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直bb该命题正确吗？该命题正确吗？符号表示：符号表示：第3页/共62页（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直作用：作用：关键点：关键点： 线在平面内线在平面内. .线垂直于交线线垂直于交线. .D DC CA AB B它能判定线面

3、垂直它能判定线面垂直. . 它能在一个平面内作与这个平面它能在一个平面内作与这个平面垂直的垂线垂直的垂线. .平面垂直于平面的条件怎样用？平面垂直于平面的条件怎样用？第4页/共62页1、平面与平面垂直的性质定理：、平面与平面垂直的性质定理：2、证明线面垂直的两种方法：、证明线面垂直的两种方法：3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。决空间图形问题的重要思想方法。两个平面垂直，则一个平面内垂直于两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。交线的直线与另一个平面垂直。线线垂直线线垂直线面垂直；线面垂直；面面垂直面面

4、垂直线面垂直线面垂直第5页/共62页练习：练习：如图，以正方形如图，以正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC为折为折痕，使痕，使ADCADC和和ABCABC折成相垂直的两个面，折成相垂直的两个面，求求BDBD与平面与平面ABCABC所成的角。所成的角。ABCDDABCOO折成折成第6页/共62页思考思考4 4 设平面设平面 平面平面 ，点，点P P在平面在平面 内，过点内，过点P P作平作平面面 的垂线的垂线a，直线，直线a与平面与平面 具有什么位置关系具有什么位置关系? ?aa直线直线a a在平面在平面 内内PP第7页/共62页两个平面垂直，则过某个平面内一点两个平面垂直，则过某个平

5、面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内垂直于另一个平面的直线在该平面内. .第8页/共62页.laala已知平面，直线 ，思试判断直线 与 的位置关系考bal垂直垂直第9页/共62页1aa,aa. 例如图，已知平面 ， ，直线 满足，试判断直线 与平面 的位置关系Abal分析：分析：寻找平面寻找平面内与内与a a平行的直线平行的直线. .第10页/共62页解：解：在在内作垂直于内作垂直于 交线交线的直线的直线b b， ab. 又又 a. 即直线即直线a与平面与平面平行平行. ，b，a，a ，结论：结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）.aAbal与与第11

6、页/共62页1.(20121.(2012合肥模拟合肥模拟) )设设m m、n n是两条不同直线，是两条不同直线，、是三个不同平面，给出下列四个命题：是三个不同平面，给出下列四个命题：若若m,n,m,n,则则mnmn若若,m,m,则则mm若若m,m,m,m,则则若若,则则其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 _._.第12页/共62页解：解：n,n,过过n n的一个平面的一个平面与与的交线的交线nn平行于平行于n,n,又又m,mn,m,mn,而而nn,mn.nn,mn.,又又m,m.m,m.m,mm,m，则，则与与可能平行，也可能相交可能平行，也可能相交. .,时，时，与与可能平行，也可能相

7、交可能平行，也可能相交. .答案答案: :第13页/共62页2.2.已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）. .一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面直于另一个平面. .A.3A.3个个 B

8、. 2B. 2个个 C.1C.1个个 D.0D.0个个B B第14页/共62页3.3.下列命题中，正确的是（下列命题中，正确的是（ ）A.A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B.B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C.C.若若a,ba,b异面，过异面，过a a一定可作一个平面与一定可作一个平面与b b垂直垂直D.a,bD.a,b异面，过不在异面，过不在a,ba,b上的点上的点M M，一定可以作一个平面，一定可以作一个平面和和a,ba,b都垂直都垂直.B B第15页/共62页4.4.如图，已知如图，已

9、知PAPA平面平面ABCABC，平面，平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：求证：BCBC平面平面PAB.PAB.EPABCEPAPA平面平面ABCABC，BC BC 平面平面ABC,ABC,PABCPABC，又，又PAAE=A,PAAE=A,故故BCBC平面平面PABPAB证明：证明：过点过点A A作作AEPBAEPB，垂足为，垂足为E E，平面平面PABPAB平面平面PBCPBC， 平面平面PABPAB平面平面PBC=PBPBC=PB，AEAE平面平面PBC.PBC.BC BC 平面平面PBC,AEBCPBC,AEBC第16页/共62页2.2.面面垂直的性质推论：面面垂直的性质推论：

10、1.1.平面与平面垂直的性质定理：平面与平面垂直的性质定理：面面垂直面面垂直线面垂线面垂直直lAbalPaaaalD DC CA AB B第17页/共62页第18页/共62页2.2.面面垂直的性质推论：面面垂直的性质推论：1.1.平面与平面垂直的性质定理：平面与平面垂直的性质定理：面面垂直面面垂直线面垂线面垂直直lAbalPaaaalD DC CA AB B第19页/共62页 如图，正方形如图，正方形ADEFADEF与梯形与梯形ABCDABCD所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直，ADCDADCD，ABCDABCD，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，M M为为CECE的中点的中

11、点. .(1)(1)求证：求证：BMBM平面平面ADEFADEF；(2)(2)求证：平面求证：平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.第20页/共62页【证明证明】(1)(1)取取DEDE中点中点N N，连接，连接MNMN，AN.AN.在在EDCEDC中，中，M M，N N分别为分别为ECEC，EDED的中点，的中点，所以所以MNCDMNCD，且，且MN= CD.MN= CD.由已知由已知ABCDABCD，AB= CDAB= CD，所以所以MNAB,MNAB,且且MN=AB,MN=AB,所以四边形所以四边形ABMNABMN为平行为平行四边形四边形. .所以所以BMAN.BMAN.又因为又因为A

12、N AN 平面平面ADEFADEF，且，且BM BM 平面平面ADEFADEF，所以所以BMBM平面平面ADEF.ADEF.1212第21页/共62页(2)(2)因为四边形因为四边形ADEFADEF为正方形，为正方形，所以所以EDADEDAD，又因为平面又因为平面ADEFADEF平面平面ABCDABCD，且平面且平面ADEFADEF平面平面ABCD=AD.ABCD=AD.又因为又因为ED ED 平面平面ADEFADEF，所以所以EDED平面平面ABCD.ABCD.所以所以EDBC.EDBC.第22页/共62页在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD

13、=4，可得可得BC= BC= ，在在BCDBCD中，中，BD=BC= BD=BC= ，CD=4CD=4，所以所以BCBDBCBD，BDED=D,BDED=D,所以所以BCBC平面平面BDEBDE，又因为又因为BCBC平面平面BCEBCE，所以平面所以平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.2 22 2第23页/共62页分析：分析：作出图形作出图形. .ablmnablnmA（法二）（法二）,.ll5.已知平面 ， ， 满足，求证：（法一）（法一）第24页/共62页在在内作直线内作直线a n证法证法1 1：设设在在内作直线内作直线bm,nm/ /baablabmnab同 理/ /bbl/ /.b

14、lbll 第25页/共62页在在内过内过A点作直线点作直线 a n，证法证法2 2：设设在在内过内过A点作直线点作直线 bm，nanalalbl同理同理abA.l 在在内任取一点内任取一点A A（不在（不在m,n上），上），ablnmA,nm第26页/共62页如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面. .结论结论l判断线面垂直的两种方法判断线面垂直的两种方法：线线垂直线线垂直线面垂直；线面垂直；面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直.如图：如图：第27页/共62页四面体四面体ABCDABCD中，面中，

15、面ADCADC面面BCDBCD，面，面ABD ABD 面面BCDBCD，设，设DEDE是是BCBC边上的高，边上的高， 求证：求证： 平面平面ADE ADE 面面ABC ABC ABCED面面ADC面面BCD面面ABD 面面BCDAD 面面BCDAD BCDE BCBC 面面ADE面面ABC 面面ADE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直线线垂直线线垂直返回第28页/共62页例例 如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是矩形，的底面是矩形，AB=2AB=2， ，侧面，侧面PABPAB是等边三角形，且侧面是等边三角形，且侧面PABPAB底面底面ABCD.ABCD.（1 1）证明：证明

16、：侧面侧面PABPAB侧面侧面PBCPBC；2BC （2 2）求求侧棱侧棱PCPC与底面与底面ABCDABCD所成的角所成的角. .P PA AB BC CD DE第29页/共62页练习：练习：如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC，平面平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：，求证：BCBC平面平面PABPABPABCE证明：证明：过点过点A作作AEPB，垂足，垂足为为E，平面平面PAB平面平面PBC， 平面平面PAB平面平面PBC=PB，AE平面平面PBCBC 平面平面PBC AEBCPA平面平面ABC，BC 平面平面ABCPABCPAAE=A，BC平面平面PAB第30页/共

17、62页PEDACBD1A1C1B1F例例3.正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，P是是AD的中点的中点,求二面角求二面角ABD1P的的正切值正切值.第31页/共62页练习练习.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M. 又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.第32页/共62页练习练习.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底

18、面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M. 又知又知AA1与与底面底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.证明证明: (1)由题设知，由题设知，A1M平面平面ABC，又又A1M 平面平面AA1C1C， (1)平面平面AA1C1C底面底面ABC，又又BCAC，平面平面AA1C1C平面平面ABC=AC，BC 平面平面AA1C1C第33页/共62页练习练习.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M. 又知

19、又知AA1与与底面底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.证明证明: (2)由题设知，由题设知，A1M平面平面ABC，AA1与底面与底面ABC所成角为所成角为A1AC,A1AC=60o,又又M是是AC中点，中点， AA1C是正三角形是正三角形,作作CNAA1于于N， 点点N是是AA1的中点的中点,连接连接BN， 由由BC 平面平面AA1C1C，BCAA1，作作AA1 平面平面BNC，AA1 BN ，BNC是二面角是二面角B-AA1C的平面角，的平面角，第34页/共62页 练习练习.已知斜三棱柱已知斜三棱柱

20、ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M. 又知又知AA1与与底面底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的正切的正切.设设AC=BC=a，正三角形正三角形AA1C的边长为的边长为a，3,2CNa在直角三角形在直角三角形BNC中，中，2 3tan,332BCaBNCNCa二面角二面角BAA1C的正切是的正切是2 33第35页/共62页例例3.如图四棱锥如图四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形，中，底面四边形为正方形，侧面侧面PDC为正三角形，且

21、平面为正三角形，且平面PDC 底面底面ABCD，E为为PC中点。中点。（1）求证：）求证：PA 面面EDB.（2）求证：平面）求证：平面EDB 平面平面PBC.（3）求二面角）求二面角D-PB-C的正切值。的正切值。ABCPEDO第36页/共62页(2)问的关键是在一个面内找到另一个面的垂线问的关键是在一个面内找到另一个面的垂线,由于要寻由于要寻找垂直条件故应从已知与垂直有关的条件入手找垂直条件故应从已知与垂直有关的条件入手,突破此问突破此问.因为因为BC CD所以所以BC 面面PDC 所以所以 BC DE又因为又因为E是中点所以是中点所以 DE PC.综上综上 有有DE 面面PBC.ABCP

22、EDF(3)问的关键是找到二面角的平面角上问的关键是找到二面角的平面角上问知问知DE 面面PBC,所以过所以过E做做EF PB,连接连接FD,由三垂线定理知由三垂线定理知 DEF为二为二面角平面角面角平面角.将平面角放在直角将平面角放在直角三角形中可解得正切值为三角形中可解得正切值为6第37页/共62页第38页/共62页第39页/共62页第40页/共62页第41页/共62页第42页/共62页第43页/共62页第44页/共62页第45页/共62页第46页/共62页第47页/共62页第48页/共62页第49页/共62页第50页/共62页第51页/共62页第52页/共62页第53页/共62页第54页

23、/共62页B1A A1 1C1 ABC例：例： 在直三棱柱在直三棱柱ABCA1 B1 C1中，中， BAC=90，AB=BB1=1，直直线线B1C与平面与平面ABC成成30 的角，的角，求二面角求二面角BB1C A的余弦值的余弦值。第55页/共62页C1 AA A1 1B1BC解：解：作作AN BC于于N，则，则AN 平面平面BCC1B1，作作NQ B1C于于Q，则，则AQ B1C AQN是二面角是二面角B B1C A的平面角。的平面角。AN BC=AB ACAN= AB ACBC=36 612 23 3=ANAQ又AC AB1 AQ B1C=AC AB1 AQ= = =1 AB1ACB1C2

24、 22 2233 3SinCosAQN=36 6AQN=QN第56页/共62页 在四面体在四面体PABC中，中，PC平面平面ABC， AB=BC=CA=PC，求二面角，求二面角BAPC的正切的正切 PCABEF解：解：如图过如图过B作作BEAC于于E，过，过E作作EFPA于于F，连，连结结BF。PC平面平面ABC，BE平面平面PAC，BFPA。BFE就是二面角就是二面角BPAC的平面角。的平面角。设设PC=1 则则AB=BC=CA=PC=1，E为为AC的中点，的中点，所求二面角正切为所求二面角正切为: 6第57页/共62页平面四边形平面四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线，沿对角线AC将四边形折成直二面角将四边形折成直二面角.求证：求证：(1)AB面面BCD；(2)求面求面ABD与面与面ACD所成的角所成的角.