3.2控制系统的时域数学模型ppt课件

1、本本章章内内容容2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型2.3 系统的结构图系统的结构图 2.4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 2.引言引言数学模型：数学模型：指出系统内部物理量或变量之间关系指出系统内部物理量或变量之间关系 的数学表达式。的数学表达式。静态数学模型：静态数学模型：在静态条件下即变量各阶导数为零），描在静态条件下即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；动态数学模型：动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动描述变量各阶导数之间关系的微分

2、方程叫动态数学模型。态数学模型。 2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立数学模型是分析和设计控制系统的首要建立数学模型是分析和设计控制系统的首要工作；工作； 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统的模型却可以是相同的。因而，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。3.3.建模方法建模方法 时域：微分方程、差分方程、状态方程时域：微分方程、差分方程、状态方程 复数域：传递函数复数域：传递函数(经典控制论的核心模经典控制论的核心模 型型)、 系统结构图系统结构图(方块图方块图)、信号流图、信号流图 频域：

3、频率特性频域：频率特性 5.5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性4.4.常用数学模型常用数学模型 系系统统辨辨识识课课研研究究实实验验法法本本课课研研究究分分析析法法v1.1.分析系统工作原理，确定系统的的输入分析系统工作原理，确定系统的的输入变量和输出变量。变量和输出变量。v2.2.根据各环节所遵循的物理化学定理，列根据各环节所遵循的物理化学定理，列写

4、出微分方程。写出微分方程。v3.3.消去中间变量，写出输入、输出变量的消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。微分方程。v4.4.标准化。将与输入量有关的项写在方程标准化。将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号式等号右边，与输出量有关的项写在等号左边，方程式各导数项均按降幂排列。左边，方程式各导数项均按降幂排列。q微分方程的列写步骤微分方程的列写步骤 2.1 线性元件的微分方程线性元件的微分方程 )()()()(tutRitudttdiLiodttictuo)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCioooRLCi(t)u(t)u(t) 例例

5、2-1如图如图RLC电路，试列写以电路，试列写以u(t)为输入量，为输入量，u(t)为为输出量的网络微分方程。输出量的网络微分方程。 解解:、确定输入量输出量、确定输入量输出量输入量是输入量是u(t)，输出量是，输出量是u(t)、消去中间变量，标准化、消去中间变量，标准化、建立微分方程组、建立微分方程组例例2-3 图为弹簧质量阻尼器的图为弹簧质量阻尼器的机械位移系统。试列写质量机械位移系统。试列写质量m在外力在外力F作用下重力略去不计位移作用下重力略去不计位移(t)的的运动方程。运动方程。系统组成：系统组成：质量质量弹簧弹簧阻尼器阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t)

6、 输出量输出量y(t) F = maF(t) FB(t) FK(t) = ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律dttdyftF)()(1 )()(2tkytF )()()()(2122tFtFtFdttydm )()()()(22tFtkydttdyfdttydm F y(t)k fm、消去中间变量，标准化、消去中间变量，标准化、建立微分方程组、建立微分方程组阻尼器的阻尼力阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力弹簧弹性力:解解: 、确定输入量、输出量、确定输入量、输出量外力为输入量，物体的位移外力为输入量，物体的位移）为输出量为输出量例例2-2试列写出图示电枢控制直流电动机的微分方程，要求试列写出图示电枢

7、控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压取电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速为输入量，电动机转速w m(t)为输出量。为输出量。图中图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，分别是电枢电路的电阻和电感， Mc是折合到是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。mJmmfSMRaLaeaifuaia负载负载MC+-+-+-他激直流电动机他激直流电动机Ua系统组成：系统组成：直流电机直流电机负载负载输入输入:电枢电压电枢电压励磁电流励磁电流Ia电磁转矩电磁转矩Te负载转矩负载转矩TL摩擦转矩摩擦转矩Tf工作原理：工作原理： 电枢电电枢电压作用下产压作

8、用下产生电枢电流，生电枢电流，从而产生电从而产生电磁转矩使电磁转矩使电动机转动动机转动.输出输出:电动机速度电动机速度n解：解： 电枢控制直流电动机的工作实质电枢控制直流电动机的工作实质 将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电，再由电流流iat与激磁磁通相互作用产生电磁转距，从而拖与激磁磁通相互作用产生电磁转距，从而拖动负载运动。因而，直流电动机的运动方程可由以下动负载运动。因而，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。三部分组成。 电枢回路电压平衡方程电枢回路

9、电压平衡方程电磁转距方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程电动机轴上的转距平衡方程 mJmmfSMRaLaeaifuaia负载负载MC+-+-+-解：解：电枢回路电压平衡方程：电枢回路电压平衡方程：( )( )( )( )aaaa aadi tu tLR i te tdt( )( )aeme tCt楞次定律楞次定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律电动机轴上转矩平衡方程：电动机轴上转矩平衡方程：( )( )( )( )mmmmmcdtJftMtM tdt电磁转矩方程：电磁转矩方程：( )( )mm aMtC i tmJmmfSMRaLaeaifuaia负载负载MC+-+-+-消去中间变量消去中

10、间变量ia(t) ea(t) Mm(t) ，直流电动机的微分方程为：，直流电动机的微分方程为：22( )( )()()( )( )( )( )mmamamamammemcmaaacdtdtL JL fR JR fC CtdtdtdM tC u tLR M tdt12( )( )( )( )mmmacdtTtK u tK M tdt)(emmamamCCfRJRT)(1emmamCCfRCK)(2emmaaCCfRRK-电动机机电时间常数电动机机电时间常数-电动机传递系数电动机传递系数 若电枢回路的电感可以忽略不计，则简化为：若电枢回路的电感可以忽略不计，则简化为：22( )( )()()( )

11、( )( )( )mmamamamammemcmaaacdtdtL JL fR JR fC CtdtdtdM tC u tLR M tdt2. 1.2 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立v建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理线路图画出系统方框图，并分别列写组成系理线路图画出系统方框图，并分别列写组成系统各元件的微分方程；统各元件的微分方程；v然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。输入量之间关系的微分方程。v列写系统各元件的微分方程时，一是要注意信列写系统各元件的微分方程时

12、，一是要注意信号传送的单向性，二是要注意负载效应。号传送的单向性，二是要注意负载效应。例例2-5 试列写下图所示速度控制系统的微分方程。试列写下图所示速度控制系统的微分方程。【解】【解】 控制系统的被控对象是电动机，系统的输出量是转速控制系统的被控对象是电动机，系统的输出量是转速，参考量是，参考量是u控制系统由给定电位器、运算放大器、功率放大器、测速发控制系统由给定电位器、运算放大器、功率放大器、测速发电机、减速器等部分组成。电机、减速器等部分组成。-K1-K2功率放大器负载SMTGR2R1R1R2Cuiu1u2utuamR1uuK3运算放大器运算放大器：参考量即给定电压参考量即给定电压ui与

13、速度反馈电压与速度反馈电压ut在此合在此合成，产生偏差电压并放大，即成，产生偏差电压并放大，即u1=K1(ui-ut)=K1ue运算放大器运算放大器：功率放大器：功率放大器：本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和晶闸管主电路晶闸管主电路ua=K3u21221121(),duRuKuRCKdtR2直流电动机直流电动机齿轮系齿轮系设齿轮系的转速比为设齿轮系的转速比为i，则电动机转速，则电动机转速m经齿轮系经齿轮系减速后变为减速后变为，故有，故有= m/i测速发电机测速发电机测速发电机输出电压测速发电机输出电压ut与其转速与其转速成正比，即有成正比，即有

14、ut =Kt mmmmaccdTK uK Mdt从上述各方程中消去中间变量从上述各方程中消去中间变量ut，u1，u2，ua及及m ，整理后便得到控制系统的微分方程，整理后便得到控制系统的微分方程imggiccdudTKK uK Mdtdt)()(321321tmtmmmKKKKKiKKKKKiTT)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)(321321tmmgKKKKKiKKKKK123()ccmtKKiKK K K K 其中：其中：2.1.3. 线性系统的基本特性线性系统的基本特性v用线性微分方程描述的元件或系统称为线性元用线性微分方程描述的元件或系统称为线性元件或系统。件或系统。v线

15、性系统的重要性质是满足叠加定理和齐性原线性系统的重要性质是满足叠加定理和齐性原理。理。v线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外作用单独作于系统所产生的总输出等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。2.5 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化: :在一定的条件下或在一在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理定范围

16、内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为方法称为v方法：切线法或小偏差法方法：切线法或小偏差法v适用范围：具有连续变化的非线性特性函数适用范围：具有连续变化的非线性特性函数v定义：在一个小范围内，将非线性特性用一段定义：在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替即将一个非线性函数直线来代替即将一个非线性函数y= fy= fx x），），在其工作点展开成泰勒在其工作点展开成泰勒(Taylor)(Taylor)级数，然后略级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。代替原来的非线性函数。v例：设非线性函数例：设非线性函数

17、y=f(x)y=f(x)如下图，其输入量为如下图，其输入量为x x，输出量为，输出量为y y，如果在给定工作点，如果在给定工作点y0=f(x0)y0=f(x0)处处各阶导数均存在，则在各阶导数均存在，则在y0=f(x0)y0=f(x0)附近将附近将y y展开展开成泰勒级数：成泰勒级数：00220002( )1( )()()()2!xxdf xd f xyf xxxxxdxdx增量很小时，忽略二阶以上增量很小时，忽略二阶以上各项，可写成各项，可写成 xKxxdxxdfxfxfyyyxxdxxdfxfxfyyooxx)()()()()()()()(000000K K表示表示y=f(x)y=f(x)

18、曲线在曲线在(x0,y0)(x0,y0)处切线的斜率。因此非线处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。(1)本质非线性，不能采用上述线性化方法，小偏差方法本质非线性，不能采用上述线性化方法，小偏差方法只适用于非线性不很严重的非线性系统；只适用于非线性不很严重的非线性系统；(2)实际的工作情况在静态工作点附近，且变量只能在小实际的工作情况在静态工作点附近，且变量只能在小范围内变化，其近似程度与工作点附近的非线性情况及变范围内变化，其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关；量变化范围有关；(3)静态工作点不同，线性化

19、方程的参数不同；静态工作点不同，线性化方程的参数不同；(4)其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。围有关。注意：注意：v求解方法：经典法、拉氏变换法。求解方法：经典法、拉氏变换法。2.4 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变 换，得到变量换，得到变量s的代数方程；的代数方程；微分方程求解方法微分方程求解方法 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.

20、 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。表达式，即为所求微分方程的解。一、定义一、定义1.1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义 其中其中 (t)_(t)_原函数原函数, , (s)_(s)_象函数象函数, , 复变量复变量 s = s = + j + j 0)()()(dtetfsFtfLstjjstdsesFjsFLtf)(21)()(12.2.拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义（1 1线性性质线性性质 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2微分定理微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL

21、2121 0fsFstfL 00左tdfedtetfstst 00001221 nn-n-n-nnfsffsfssFstf dtetfs-fst 000 右0 fssF st-stdetftfe 00证明：证明：0初条件下有：初条件下有： sFstfLnn （3 3积分定理积分定理 0111-fssFsdttfL 零初始条件下零初始条件下有：有： sFsdttfL 1进一步有：进一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 个个证明：证明： )()(00sFetfLs dtetfst 00)( 左令令 0t defs 00)()( defess 00)(右 （4 4实

22、位移定理实位移定理（5 5复位移定理复位移定理证明：证明： )()(AsFtfeLtA dtetfestAt 0)(左令令sAsdtetfts0)()(sF右 dtetftAs 0)()()(AsF （6 6初值定理初值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s )0()(lim)(lim0fsFsdtedttdfst ss 0lim)(0 dtedttdft ss左 0)0()(lim fsFss)(lim)(lim)0(0sFstffst （7 7终值定理终值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(li

23、m0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s （终值确实存在时）（终值确实存在时） )0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim0fsFss 右右（1 1阶跃函数阶跃函数 0001)(tttf ssesdtetLstst110111100 （2 2指数函数指数函数atetf )( dtedteetfLtasstat 00)( as)(aseasa)t(s 110110二、二、 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换2000001

24、11 1 1)()(sessdteetsdetsdtettfLsFststststst（单位斜坡函数（单位斜坡函数)( 1)(tttf000)(ttttf3002000202021 1 1221 221 12121)()(sdteetsdetssdte tetsdetsdtettfLsFststststststst（等加速度函数（等加速度函数00021)(2ttttf（正弦函数（正弦函数000t t t f(t)sin dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 2222221112

25、1 ssjjjsjsj（6 6余弦函数余弦函数22cossstLf(t)L典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换课程小结1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2单位阶跃单位阶跃 2 2 常见函数常见函数L L变换变换)(tfs1（5 5指数函数指数函数ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1单位脉冲单位脉冲1)(t （3 3单位斜坡单位斜坡21 st（4 4单位加速度单位加速度31 s22t（6 6正弦函数正弦函数t sin)(22 s（7 7余弦函数余弦函数t cos)(22 ss（2 2微分定理微分定理 L L变换重要定理变换重要定理（5 5复位移定

26、理复位移定理（1 1线性性质线性性质（3 3积分定理积分定理（4 4实位移定理实位移定理（6 6初值定理初值定理（7 7终值定理终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst rccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0) 1(1111 . 0) 1(1)(sssssssUcttceetu 1 . 01)

27、( R1 C1i 1(t)ur(t)uc(t)例例 已知已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) 解：解：) s (U) s (U) s (sUCRrcc11 1sCR1)s (U)s (U11rc 零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：三、三、 拉氏反变换拉氏反变换 jjstdsesFjtf )(21)(（1 1反演公式反演公式（2 2查表法分解部分分式法）查表法分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 知知，求，求?)( tf解解. . ate

28、af(t) 11 assa111用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 设设)()(.)(21011nnnnnpspspsasasasA 0)( sAI. 当当 无重根时无重根时 niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 342)(2 ssssF例例2 2 知知，求，求?)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213

29、121lim11 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)tteef(t)32121 3455)(22 sssssF例例3 3 知知，求，求?)( tf解解. .34)2()34(22 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 223)(2 ssssF例例4 4 知知，求，求?)( tf解一解一. .jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11 jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12 tjtjejjejjf(t)1()1(2222 解二：解二：jsC-jsCj)-j)

30、(s(ssF(s) 1111321 jtjttejejej )2()2(21 ttjejtsin4cos221 ttetsin2cos 22113 )(ssF(s)t etef(t)ttsin2cos 22221112111 )(s)(ss221121 )(ss0)()()(1 npspssAII. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(

31、sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 1nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111mmpsC.F(s)p(s 11lim111212111 mm-m-mm)(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s)(s-pnmnmmms-p)(s-pCs-p)(s-pC1111 2111211)()1()(2

32、0mmmmpsCmpsCC.F(s)p(sdsd 111lim! 11m-mpsC.F(s)p(sdsd 3112122)()2)(1(200mmmpsCmmC.F(s)p(sdsd 21221lim! 21m-mpsC.F(s)p(sdsd )3()1(2)(2 sssssF例例5 5 知知，求，求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 112211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(sssCs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 例例2-6 2-6 在上第二例中，若已知在上第二例中，若已知L=1HL=1H，C=1FC=1F，R=1R=1，且电容上初始电压，且电容上初始电压 ，初始电，初始电流流i i0 0）0.1A0.1A，电源电压，电源电压 ，试求电路，试求电路突然接通电源时，电容电压突然接通电源时，电容电压 的变化规律。的变化规律。 0(0)