线性代数行列式的计算学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh) 行列式的行列式的计算计算第一页，共18页。一、一、 余子式和代数余子式和代数(dish)余子式余子式二、二、 行列式按一行行列式按一行(yxng)（列）展开（列）展开行列式的计算(j sun) 第一章 第1页/共18页第二页，共18页。划去的第i行列元素，Dj阶1n行列式置排成的剩下(shn xi)元素按原来相对位nnnjnjnjnnijijijiiinijijijinijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111111111111111111111111111111第2页/共18页第三页，共18页。nnjnjnn

2、nijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111ijMijjiijMA) 1(称为ija的得得 aij 的余子式余子式第3页/共18页第四页，共18页。44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa32a 的余子式322332) 1(MA44434124232114131132aaaaaaaaaM的代数余子式32a例如例如(lr)第4页/共18页第五页，共18页。定理定理(dngl)行列式D的任一行(yxng)（列）的每个元素与其对

3、应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值；行列式D的任一行（列）任一行（列）的每个元素与另一行（列）另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和为零。ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAaD2211或按 j 列展开按 i 行展开第5页/共18页第六页，共18页。时时jijiD,0,时时jijiD,0,即按即按 i 行展开行展开(zhn ki) nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111jninjijiAaAaAa22111122ijijninja Aa Aa A或按或按 j j 列展开列展开(zhn ki)(zhn ki)第6页/共18页第七页，共18页。

4、212203124D333231AAA333231212AAA计算(j sun)解解111203124333231AAA2112203124212333231AAA第7页/共18页第八页，共18页。hgfedcbaD00000000. 14hfedca00000000gfedcbfedcahfedcbg)(decfbgah第8页/共18页第九页，共18页。123121425212113111D12rr 23214252410031112110321425201007111211021452711211710183071121171183211716123233344cc 第9页/共18页第十页

5、，共18页。计算(j sun)4阶行列式，12340a a a a 4D1234xaxxxxxaxxxxxaxxxxxa4 , 3 , 21irri4131211aaaaaaxxxax1234a a a a12341110010101001xxxxaaaa4321aaaa4321cccc411iiax41411iiiiaxa双边双边(shungbin)对角形对角形第10页/共18页第十一页，共18页。例例521000121000121000121000125D解解 此为三对角线行列式，5阶行列式 D5 和4阶行列式D4 有相同(xin tn)的形式。按第一行展开(zhn ki)21001210

6、0121001225D2100121001200011) 1(3342DD 这种关系(gun x)称为递推关系(gun x)式，由此式可得第11页/共18页第十二页，共18页。3452DDD34DD 23DD 12DD 221121145DD1) 1(3 D23 D632 D45DD 第12页/共18页第十三页，共18页。例例6dcdcdcbababaDn2（按第一行展开(zhn ki)）00000000abababababcdcdcdcddc)1(2)(nDbcadnbcad)(第13页/共18页第十四页，共18页。例例 7 计算计算(j sun) Vandermonde 行列式行列式123

7、222123111.Dxxxxxx 解解将将 D 的第的第 2 行乘以行乘以 1()x 加到第加到第 3 行，再将行，再将 D 的第的第1 行乘以行乘以1()x 加到第加到第 2 行，得行，得21312221231311100Dxxxxxx xxx x再对第一列用展开再对第一列用展开(zhn ki)定理得定理得第14页/共18页第十五页，共18页。213122212313xxxxDxx xxx x 利用利用(lyng)数学归纳法可得数学归纳法可得 n 阶阶 Vandermonde 行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD32131211)(xxxxxx 31231312).()()(jiijxxxxxxxx第15页/