分层介质中弹性波的传播

1、第四章第四章分层介质中弹性波的传播分层介质中弹性波的传播 在地震勘探中我们所研究的地球介质，按其物性在地震勘探中我们所研究的地球介质，按其物性变化是分层的，变化是分层的，具有层状结构具有层状结构。因此，讨论在。因此，讨论在两种弹两种弹性性质不同的介质分界面上性性质不同的介质分界面上波的现象，是十分重要的。波的现象，是十分重要的。 地球表面是一个特殊的分界面、它将无限介质划地球表面是一个特殊的分界面、它将无限介质划分为两个半空间。地面以上空气介质，其密度与地面分为两个半空间。地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地

2、球表面可以看成是一个球表面可以看成是一个弹性半空间弹性半空间表面，称为自由表表面，称为自由表面，其上的应力作用为零。本章中将介绍弹性波在自面，其上的应力作用为零。本章中将介绍弹性波在自由表面上的反射、在内部两种不同的弹性介质分界面由表面上的反射、在内部两种不同的弹性介质分界面上的反射和折射以及其它与自由表面和内部分界面相上的反射和折射以及其它与自由表面和内部分界面相联系的波的现象联系的波的现象41 平面波在自由表面上的反射平面波在自由表面上的反射 一、解题坐标及位函数的选择一、解题坐标及位函数的选择研究一个研究一个平面波平面波入射到自入射到自由表面时的反射问题。如由表面时的反射问题。如图图41

3、 ，取直角坐标系，取直角坐标系x、y 、z， z0为弹性半无限为弹性半无限空间的自由表面，空间的自由表面，z轴垂直轴垂直向下，指向介质内部。有向下，指向介质内部。有一平面波入射到自由表面。一平面波入射到自由表面。设波的射线与设波的射线与y轴垂直轴垂直 。这样这样 波函数将与波函数将与y轴无关轴无关 。包含入射波和反射波射线及。包含入射波和反射波射线及界面法线的射线平面与界面法线的射线平面与xoz平面重合。平面重合。我们知道，位移向量可以分解为梯度场和旋度场两部我们知道，位移向量可以分解为梯度场和旋度场两部分。分。考虑到波函数与考虑到波函数与 y 轴无关轴无关，质点位移分量用位函，质点位移分量用

4、位函数表示，式（数表示，式（25）可以写作）可以写作(x,y,z三个方向的位移三个方向的位移)：yxzyuxzvzxwzxfjfffj=-抖=-抖=+抖(4-1)yzxzyxuxyzvyzxwzxyffjffjffj=+-抖=+-抖=+-抖(2-5)其中其中位移分量位移分量可以可以分为两组分为两组，一是一是由位移位由位移位 和和 表示表示的的 、 分量分量，代表着在，代表着在xoz平面上质点的振动；平面上质点的振动；另一另一组是组是由位移向量位分量由位移向量位分量 和和 表示的位移分量表示的位移分量 ，代，代表着质点在表着质点在yoz平面上的振动。平面上的振动。用用 表示表示 ， 代表在代表在

5、xoz平面传播的纵波，而平面传播的纵波，而 代表在代表在xoz 平面传播的横波，平面传播的横波，它所引起的质点振动发生在它所引起的质点振动发生在垂直平面垂直平面xoz内。所以称为内。所以称为SV横波。位移分量横波。位移分量 是在是在xoz 平面内传播的横波所引起平面内传播的横波所引起的在的在y轴方向上的振动，这种横波称为轴方向上的振动，这种横波称为SH横波。横波。SV和和SH两类横波，以其所引起的质点振动方向相区别，两类横波，以其所引起的质点振动方向相区别，称为极称为极化波。化波。yu wxzvyv通常通常,在动力学中在动力学中分别讨论纵波分别讨论纵波P和横波和横波SV，以及，以及SH横波横波

6、。对对P和和SV波，波， ， ；对；对SH波，波， ， 对前一组波使用标量位函数对前一组波使用标量位函数 和和 ， 对后一组波另外引对后一组波另外引用一个标量位用一个标量位 ，定义如下：，定义如下： 用来表示位移向量位分量用来表示位移向量位分量 ， 的一个标量函数，的一个标量函数，可以证明，它将满足横波波动方程：可以证明，它将满足横波波动方程：0y=0v=0y=0u w= =xzzxcfcf=-( , )x zc c=xz(4-2)其中其中 ，为横波传播速度。为横波传播速度。2mbr=222210tccb-=(4-3)二、二、P波和波和SV波在自由表面上的反射波在自由表面上的反射P和和SV波的

7、传播，将引起介质质点在波的传播，将引起介质质点在xoz平面的振动。平面的振动。取位移位取位移位 和和 作为作为P波和波和SV波波函数，它们将满足波波函数，它们将满足波动方程：波动方程：其中其中 、 分别表示纵波和横波的传播速度。使用分离分别表示纵波和横波的传播速度。使用分离变量法寻求这两个方程的一般解，形式如下：变量法寻求这两个方程的一般解，形式如下：其中其中c是波沿是波沿x方向的视速度方向的视速度， 。22221tjja=22221tffb=()( , )( )xjkct xx zf z ej-=()( , )( )xjkct xx zg z ef-=xwkc=(4-4)(4-5)将将(4-

8、5)代入式代入式(4-4)中的相应方程，可以得到以中的相应方程，可以得到以z为变量为变量的常微分方程：的常微分方程：它们的解是它们的解是:22222(1)0 xfck fz22222(1)0 xgck gz221222( )exp(1)exp(1)xxccf zAjk zAjk z221222( )exp(1)exp(1)xxccg zBjk zBjk z(4-6)(4-7)(4-8)将上式代入式将上式代入式(4-5)将得到将得到 和和 的一般解，的一般解，其中第一项是沿其中第一项是沿x的正方向的正方向,z负方向传播的简谐波。第二负方向传播的简谐波。第二项是沿项是沿x正方向正方向,z正方向传播

9、的简谐波。这个简谐波函数正方向传播的简谐波。这个简谐波函数可化为其它常见形式。可化为其它常见形式。212222( , , )exp(1)exp(1)xxcx z tAjkctzxcAjkctzxjaa轾犏=+-犏犏臌轾犏+-犏犏臌(4-9)212222(, )exp(1)exp(1)xxcx z tBjkctzxcBjkctzxfbb轾犏=+-犏犏臌轾犏+-犏犏臌(4-10)分析一下波函数的复合变量。分析一下波函数的复合变量。如图如图42所见，所见， 为入射线。为入射线。e为出射角，取为出射角，取 为波为波沿沿x方向的视速度，方向的视速度，KA为波为波前面，则前面，则 为波沿射线为波沿射线的传

10、播速度。在三角形的传播速度。在三角形OAK中中将将 延长。与延长。与OZ相交于相交于B， 为波沿为波沿z方向的视速度，方向的视速度，AOOK cOA22tan1ce(4-11)KAzOB csinzcezzkC(4-12)因此，可有：因此，可有：其中其中 为波数；为波数； , 为波的为波的入射方向的方向余弦。上式也可以写成：入射方向的方向余弦。上式也可以写成：以式以式(4-13)或式或式(4-14)为复合变量的波函数，如图为复合变量的波函数，如图4 -2所见，所见，显然表示的是沿显然表示的是沿x正方向、正方向、z负方向传播的入射波。负方向传播的入射波。22(1()()()xzxcjkctzxj

11、tk zk xlxnzjtk lxnzjt(4-13)kcoslecos()sin2nee22cossin(1()xcxezejk ctzxjt (4-14)当到自由表面有一个当到自由表面有一个P波和波和SV波入射时，将产生一个波入射时，将产生一个P波和波和SV波反射波。如图波反射波。如图43所示。图中所示。图中e、f表示表示P波和波和SV波到自由表面的出射角，波到自由表面的出射角，它们的余角它们的余角id和和is，称为波的，称为波的入射角入射角.由于入射波和反射波由于入射波和反射波沿分界面沿分界面ox的视速度相等，即有一个波入射到分界面，的视速度相等，即有一个波入射到分界面，就立刻产生反射波

12、，与分界面相联系的各个波的波函数就立刻产生反射波，与分界面相联系的各个波的波函数表达式，取其简谐形式解为：表达式，取其简谐形式解为：（1）入射）入射P波波（2）入射）入射SV波波（3）反射）反射P波波（4）反射）反射SV波波其中其中C为各个波沿为各个波沿 方向的视速度。方向的视速度。2112exp(1)xcAjk ctxz(4-15)2332exp(1)xcAjk ctxz(4-16)2222exp(1)xcAjk ctxz(4-17)2442exp(1)xcAjk ctxz(4-18)OX对半空间而言，两个位移位对半空间而言，两个位移位 和和 分别为分别为:其中其中 ， . 因为其中因为其中

13、 、 对各类波对各类波是共同参数。通解中包含的未定系数是共同参数。通解中包含的未定系数 , , , , 是是各个简谐波的振幅各个简谐波的振幅,可根据自由表面上的边界条件来确定。可根据自由表面上的边界条件来确定。21212222exp(1)exp(1)xxcAjkctxzcAjkctxz(4-19)21232242exp(1)exp(1)xxcAjkctxzcAjkctxz(4-20)221tance221tancfkxc1A2A3A4A在自由表面上，从自由空间一侧对半无限弹性介质表面作在自由表面上，从自由空间一侧对半无限弹性介质表面作用力等于零，因而在用力等于零，因而在z0的边界上，正应力的边

14、界上，正应力 和切应力和切应力 应等于零。我们有边界条件：应等于零。我们有边界条件： 根据关系式根据关系式(4-1)以及以及(1-36)，(1-41 ) ，用位移位，用位移位 和和 表示边界条件表示边界条件(4-21)，(4-22)，经演算可以得到：，经演算可以得到：zzzx0020zzzzzze000zxzxzze（1） （4-21）（2） （4-22）222222222020zxzxx z 22222020zx zxz （4-23）（4-24）讨论讨论P波入射的情况波入射的情况， (画图形画图形)，将，将 ， 代入边界条件代入边界条件(4-23)、式、式(4-24)，整理后得到：，整理后得

15、到：使用入射角参数使用入射角参数id ，is整理上式，可以得到整理上式，可以得到其中其中求解振幅比求解振幅比 ， 他们称为反射系数他们称为反射系数3012 4 22124222212422()(2)2102()1(2)0ccAAAccAAA （4-25）22124212(2 cos)()(sin2 )0(sin2 )()(cos2 )0dsdsiAAi AiAAi（4-26）21AA41AA因此，求解方程组因此，求解方程组(4-26)可以得到：可以得到：222221sin2 sin2cos 2sin2 sin2cos 2dssdssiiiAAiii42212sin2cos2sin2 sin2c

16、os 2dsdssiiAAiii （4-27）（4-28）根据视速度相等根据视速度相等,画图说明画图说明id 和和is 的关系的关系与自由表明反射系数有关的几个问题与自由表明反射系数有关的几个问题1作为位移振幅比的反射系数作为位移振幅比的反射系数我们已经导出了反射波与入射波的位移位振幅比，我们已经导出了反射波与入射波的位移位振幅比，这里这里将计算位移振幅比将计算位移振幅比，以建立两者之间的关系。为此，将，以建立两者之间的关系。为此，将入射入射P波、反射波、反射P波和反射波和反射SV波位移位波位移位 、 、 分别代分别代入式入式(4-1)，得到各类波相应的位移分量，得到各类波相应的位移分量 、

17、、 ；反射系数等于；反射系数等于z0处的反射波与入射波位移的处的反射波与入射波位移的振幅比。位移振幅比。位移S根据其分量计算，有关系式如下根据其分量计算，有关系式如下:12411( , )u w22( ,)u w44( ,)u w22Suw（4-29）将式将式(4-15)、式、式(4-17)、式、式(4-18)代入式代入式(4-1)，并考虑关系，并考虑关系式式(4-29)，得到，得到z0处的反射波和入射波振幅比：处的反射波和入射波振幅比：因此，位移振幅比等于位移位振幅比乘以相应的因此，位移振幅比等于位移位振幅比乘以相应的波速之比的波速之比的倒数倒数。222111xxcjk AsAcsAjk A

18、444111xxcjk AsAcsAjk A（4-30）（4-31）对吗对吗?2自由表面反射特点自由表面反射特点 图图4-4中以泊松体中以泊松体为例，绘出了自由表为例，绘出了自由表面反射系数面反射系数A2A1，和和A4 A1与与P波入射波入射角角id的关系曲线。的关系曲线。当当P波垂直入射到自由表面时，波垂直入射到自由表面时，e90。或或id= 0。 则有则有 ， ;表示存在表示存在P波反射波，无波反射波，无SV反射波；当反射波；当P波波平行入射到自由面时，平行入射到自由面时， e0。或或id= 90。 ，同上。，同上。1(,)4v211AA410AA当当P波入射角波入射角id在在090。之间

19、，可以找到使之间，可以找到使 A2A1为零的为零的两个值，表示以这样的角度入射时，无反射两个值，表示以这样的角度入射时，无反射P波存在。波存在。对泊松体，两个无反射对泊松体，两个无反射P波的入射角是波的入射角是60。和和77。13，这，这时介质中存在着转换时介质中存在着转换SV反射波。反射波。3.关于负反射系数的解释关于负反射系数的解释P波入射到自由表面在大多数情况下，反射系数为负。波入射到自由表面在大多数情况下，反射系数为负。在波垂直入射或平行入射时，反射系数为在波垂直入射或平行入射时，反射系数为-1。这时，。这时，反射波振幅和入射波振幅符号相反。反射波振幅和入射波振幅符号相反。也就是说，如

20、果一个入射脉也就是说，如果一个入射脉冲头部为极大相位，则经自冲头部为极大相位，则经自由表面反射后，其头部应为由表面反射后，其头部应为极小相位。或者说，两个脉极小相位。或者说，两个脉冲相位差为冲相位差为180。事实上对时。事实上对时间因子间因子ejwt乘以乘以1，相当于，相当于 ，振动相位变，振动相位变化化180；反射波与入射波位移；反射波与入射波位移方向相反，称为反相位。见方向相反，称为反相位。见右图。右图。()j tjtee4自由表面反射时各类波的能量关系自由表面反射时各类波的能量关系 根据位移位振幅比可根据位移位振幅比可以找出反射波和入射波能以找出反射波和入射波能量关系。量关系。 为此，讨

21、论一个射线为此，讨论一个射线束。如图束。如图46所示，所示，P波以波以id角入射到自由表面，产生角入射到自由表面，产生一个一个P波反射波，反射角为波反射波，反射角为 id ，以及一个，以及一个SV波反射波，波反射波，反射角为反射角为is。取一个入射波。取一个入射波和反射波射线束，射线束和反射波射线束，射线束与自由表面斜交，设其截面为与自由表面斜交，设其截面为1，则入射波射线束宽，则入射波射线束宽cosid，P波反射波射线束宽为波反射波射线束宽为cosid、SV波反射波射线束波反射波射线束宽为宽为cosis 。能流密度。能流密度I(见公式见公式1119)乘以射线束横截面乘以射线束横截面将等于在单

22、位时间内波通过截面积为将等于在单位时间内波通过截面积为1的自由表面上的的自由表面上的能量。它将等于在同一时间内反射波能量。它将等于在同一时间内反射波P和和SV波自该段自波自该段自由表面带走的能量。因此，我们可以列出能量关系：由表面带走的能量。因此，我们可以列出能量关系：上式经整理后可以得到：上式经整理后可以得到：222222124111coscoscos222ddsSiSiSi22242211cos1cossdiSSSSi（4-32）考虑到关系式，考虑到关系式，上式又可改为上式又可改为根据位移振幅比与位移位振幅比的关系，上式可变换为根据位移振幅比与位移位振幅比的关系，上式可变换为利用上面两式，

23、已知利用上面两式，已知P波反射系数就可以计算转换波反射系数就可以计算转换SV波反射系数。或相反，已知波反射系数。或相反，已知PSV转波反射系数可以转波反射系数可以计算计算P波反射系数。波反射系数。/sin/sindsii 22242211sin21sin2sdiSSSSi22242211tan1tandsiAAAAi(4-33)(4-44)三、三、SH波在自由表面上的反射波在自由表面上的反射SH波，根据所选坐标系及位函数，此时波，根据所选坐标系及位函数，此时 研究位函数研究位函数 ，它满足波动方程，它满足波动方程(43)。该方程的一般解可以写作：。该方程的一般解可以写作：其中其中 为波数，为波

24、数， 为为入射波入射方向的方向余入射波入射方向的方向余弦。当有一弦。当有一SH波入射到自波入射到自由表面由表面z0时，则有一个时，则有一个反射反射SH波产生。如图波产生。如图47所示。所示。0y0uw( , , )x z t( , , )exp()sx z tBjktlxnz(4-35)sk, l n写出入射波和反射波的波函数，其形式如下：写出入射波和反射波的波函数，其形式如下：1SH入射波：入射波：2SH反射波：反射波：所求解的波函数应满足自由表面上的边界条件。这些条所求解的波函数应满足自由表面上的边界条件。这些条件是作用于自由表面上的应力应等于零。作用于件是作用于自由表面上的应力应等于零。

25、作用于z0面面的应力有的应力有 ;考虑到考虑到SH波的情况，这里只存在：波的情况，这里只存在：1exp(sincos )esssBjktxizi(4-36)2exp(sincos )rsssBjktxizi(4-37),zzzxzyzyzyvveyzz(4-38)或者或者将式将式(4-2)代入式代入式(4-39)可得可得(利用利用4-3)：其中考虑到波动方程其中考虑到波动方程(43)。这样，在。这样，在z0时，我们有时，我们有边界条件：边界条件：对整个介质而言，对整个介质而言， 将式将式(4-36)、(4-37)代入式代入式(4-41)得：得：xzzyzzx (4-39)22zyzz(4-40

26、)020zyzz(4-41)er整理以后可得：整理以后可得：由此可见，由此可见，SH波在自由表面的反射，其反射系数为波在自由表面的反射，其反射系数为1，与入射角无关。且无转换波产生。与入射角无关。且无转换波产生。1(cos )(cos )exp(sin )0sssssssjki Bjki Bjktxi12BB2202()zyzsjk4-2 平面波在介质分界面上的反射和透射平面波在介质分界面上的反射和透射设有一个水平面把无限空间分为两部分，各部分介质具设有一个水平面把无限空间分为两部分，各部分介质具有不同的弹性性质，其参数分别为有不同的弹性性质，其参数分别为 和和 ；在两种介质中，纵波和横波传播

27、速度分别表示为在两种介质中，纵波和横波传播速度分别表示为 和和 ；今有一纵波；今有一纵波P平面波以平面波以id角入射到介质分界角入射到介质分界面。面。111, 222, 11,psvv22,psvv如图如图4-8所示，选择直角坐标系，所示，选择直角坐标系，使其使其y轴与波前面平行，轴与波前面平行，z0平平面与介质分界面重合。面与介质分界面重合。Z轴垂直轴垂直向下指向第二介质，入射波向下指向第二介质，入射波P来来自自z0第一介质，则在第一介质第一介质，则在第一介质中特产生中特产生P1纵波反射波纵波反射波,S1横波横波SV反射波反射波. 在第二介质中将产生在第二介质中将产生P2纵波透射波、纵波透射

28、波、S2横波横波SV透射波。在这透射波。在这种情况下我们讨论纵波的传播问题，波函数与种情况下我们讨论纵波的传播问题，波函数与y轴无关。轴无关。一、波函数表达式一、波函数表达式 为说明解题方法的多样性，我们以位移函数：为说明解题方法的多样性，我们以位移函数：来求解平面波反射和透射问题。来求解平面波反射和透射问题。 取一平面简谐波其时间因子为取一平面简谐波其时间因子为 对于纵波来说，位移方向与波的传播方向一致，对横波来对于纵波来说，位移方向与波的传播方向一致，对横波来说，位移方向与波的传播方向垂直。设说，位移方向与波的传播方向垂直。设IP为入射波入射方为入射波入射方向单位向量，则入射波位移函数表达

29、式为：向单位向量，则入射波位移函数表达式为：( , , )SS x z texp()j t1sincosexpddppppxiziSI Ajtv(4-43) 据惠更斯原理，当据惠更斯原理，当P波入射到分界面时，分界面波入射到分界面时，分界面上的每一点都可以看成是二次子波点震源，产生向上上的每一点都可以看成是二次子波点震源，产生向上半空间半空间z0传播的振动为反射波，而产生向下半空间传播的振动为反射波，而产生向下半空间z0传播的振动为透射波。与入射波一样，反射波和透传播的振动为透射波。与入射波一样，反射波和透射波也都将是平面简谐波。如前所述，这类波有四个，射波也都将是平面简谐波。如前所述，这类波

30、有四个，即反射波即反射波P1和和S1，透射波，透射波P2和和S2。如图如图49所示，在分界面所示，在分界面z0上确定两个入射点。上确定两个入射点。O和和O1，入射波波前面入射波波前面 到达到达O1 点比点比到达到达O点时间要晚一个点时间要晚一个t；在在t 时间间隔内，波前向前时间间隔内，波前向前传播了一个距离传播了一个距离 。若取若取tT 为一周期，则为一周期，则为纵波在第一介质中的波长。另一方面，因为为纵波在第一介质中的波长。另一方面，因为 为一个为一个波长波长,所以所以O和和O1点为两个相同相位点点为两个相同相位点, 也是一个波长。也是一个波长。OA11pAOtv 111ppAOTv 1A

31、O1OO这不是沿波的传播方向的波长，在这里是沿分界面方向的这不是沿波的传播方向的波长，在这里是沿分界面方向的波长，称之为视波长波长，称之为视波长 。它与波长。它与波长 的关系是：的关系是： 由分界面反射的纵波由分界面反射的纵波P1，在，在tT 的时间间隔内，的时间间隔内，传播距离为传播距离为 ；透射纵波；透射纵波P2在第二介质中在这个时在第二介质中在这个时间间隔内传播的距离是间间隔内传播的距离是 ，它等于第二介质中纵波，它等于第二介质中纵波的波长的波长 ；对转换波；对转换波S1、S2也不难作出类似的讨论。如也不难作出类似的讨论。如图图4-9上的透射横波上的透射横波S2，在，在tT 时间间隔内传

32、播的距离时间间隔内传播的距离是是 ，是横波在第二介质中的波长。同理，第一，是横波在第二介质中的波长。同理，第一介质中横波波长为介质中横波波长为 ，所有的波沿分界面方向的视，所有的波沿分界面方向的视波长都等于波长都等于 ，因而可有关系式：，因而可有关系式：*11/sinpPdi (4-44)*1p1P1POA 22ssOBTv 2POBTv2P11ssTv1OO其中其中id为为P波入射角，波入射角，id、is 为为P波、波、SV波反射角，波反射角，td、ts为为P波、波、SV波透射波折射角。关系式波透射波折射角。关系式(4-45)包括了反射定包括了反射定律和折射定律，通常称为斯奈尔定律。考虑到律

33、和折射定律，通常称为斯奈尔定律。考虑到 ，而周期而周期T 对各个波都是相同的。所以斯奈尔定律又经常写对各个波都是相同的。所以斯奈尔定律又经常写成如下形式：成如下形式：由上两式可以看出，对同类型的反射波，其反射角等于由上两式可以看出，对同类型的反射波，其反射角等于入射角，比如入射角，比如idid ;对转换型反射波和同类型、转换型对转换型反射波和同类型、转换型透射波，其反射角或折射角与入射角正弦之比等于各个透射波，其反射角或折射角与入射角正弦之比等于各个波波速之比。波波速之比。1212sinsinsinsinsinpppssddsdsittii(4-45)11212sinsinsinsinsinp

34、ppssddsdsvvvvvittiiTv (4-46)关系式关系式(4-46)中各项是各个波沿分界面的视速度。因此，中各项是各个波沿分界面的视速度。因此，斯奈尔定律也可解释为入射波、反射波和透射波沿分界斯奈尔定律也可解释为入射波、反射波和透射波沿分界面视速度相等的原理。一个平面波入射到分界面上，各面视速度相等的原理。一个平面波入射到分界面上，各入射点处的入射角是恒定的，由入射点处的入射角是恒定的，由(446)式可知，由此波式可知，由此波的反射角和折射角也都一样，这些波的等相位面也是平的反射角和折射角也都一样，这些波的等相位面也是平面的，即都是平面波。面的，即都是平面波。 根据以上讨论，反射波

35、和透射波位移函数表达式根据以上讨论，反射波和透射波位移函数表达式可以写作：可以写作： (1)纵波反射波纵波反射波P1：1111sincosexp()ddppppxiziSI Ajtv(2)横波反射波横波反射波S1 :(3)纵波透射波：纵波透射波：(4)横波透射波：横波透射波：其中其中 为决定于反射波和透射波位移方向的为决定于反射波和透射波位移方向的单位向量，而单位向量，而 为反射波和透射波振幅。为反射波和透射波振幅。1111sincosexp()ssssssxiziSI Ajtv2222sincosexp()ssssssxtztSI Ajtv2222sincosexp()ddppppxtztS

36、IAjtv(4-47)1122,pspsIIII1122,pspsAABB 入射波振幅入射波振幅AP、入射角、入射角id以及第一、第二介质中以及第一、第二介质中的纵波和横波传播速度的纵波和横波传播速度vp1、vs1、vp2、vs2是给定值，则是给定值，则借助于关系式借助于关系式(4-46)可以确定反射角和折射角可以确定反射角和折射角id、 is 、td 、ts 。为了确定方程。为了确定方程(4-47)中各个波的位移函数。中各个波的位移函数。 要求确定四个振幅系数要求确定四个振幅系数Ap1、As1、Bp2、Bs2。为此。为此将使用分界面将使用分界面z0的连续边界条件。的连续边界条件。二、边界条件

37、二、边界条件 根据分界面连续条件式根据分界面连续条件式(227)、式、式(228)，并考，并考虑到我们所讨论的二维问题，即位移虑到我们所讨论的二维问题，即位移y分量分量v=0，波函，波函数与数与y轴无关，轴无关， 在在z=0上应该满足条件：上应该满足条件： (1)位移连续条件：位移连续条件： , (2)应力连续条件：应力连续条件： , 根据均匀各向同性完全弹性介质中的虎克定律式根据均匀各向同性完全弹性介质中的虎克定律式(1-74)、式、式( 1-75)以及关系式以及关系式(1-36)、式、式(1-41)，应力连续，应力连续边界条件可以变为：边界条件可以变为：0y12uu12ww(4-48)12

38、()()zzzz12()()zxzx其中使用了关系：其中使用了关系： , 为便于将位移函数式为便于将位移函数式(4-43)、式、式(4-47)代入边界条代入边界条件方程，定义各个波对应件方程，定义各个波对应的位移向量如图的位移向量如图4-10所示。所示。2221111122222222122112221212222psspsssswvvvzwvvvzuwuwvvzxzx(4-49)22(2)psVV2sV第一、二介质中的位移分量用带下标的第一、二介质中的位移分量用带下标的u、w表示，表示，其表达式为：其表达式为：其中其中S表示位移向量的大小。将式表示位移向量的大小。将式(4-50)代入式代入式

39、(4-48)、式式(4-49),并考虑到在并考虑到在z0， ；公共因子；公共因子 可以消去，可以得到如下的方程组：可以消去，可以得到如下的方程组：111111222222sinsincoscoscossinsincoscossinpdpdsspdpdsspdsspdssuSiSiSiwSiSiSiuStStwStSt(4-50)1zjk ze()xjt k xe其中其中波的传播速度与介质密度乘积称为波的传播速度与介质密度乘积称为波阻抗波阻抗。求解方程。求解方程组组(4-51)，通常确定反射波和透射波振幅与入射波振幅，通常确定反射波和透射波振幅与入射波振幅之比。之比。112211221 11 1

40、2 22211 1 11 12 2222sincossincossincossincossincoscos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2pdsspdsspdpdsspdsspdpssspssspspdsspdsspAiAiBtBtAiAiAiBtBtAiA ziA wiB ztB wtA ziAwiA wiBwtB wtA1 1sin2dwi(4-51)/;(1,2)isipiiipiiisivvzvwvi佐普里兹（佐普里兹（Zoppritz）方程）方程对反射波有：对反射波有：对透射波有：对透射波有：R 称为反射系数，称为反射系数，T 称为透射系数；其下标表

41、示波称为透射系数；其下标表示波的类型。反射或透射波与入射波同属一个类型，称的类型。反射或透射波与入射波同属一个类型，称为同类型波；否则，称为转换波。为同类型波；否则，称为转换波。11ppppspspARAARA(4-52)22ppppspspBTABTA(4-53) 式式(4-52)、式、式(4-53 )中对反射系数和透射系数的定中对反射系数和透射系数的定义采用的是两种波的位移振幅比。要转换为位移位振义采用的是两种波的位移振幅比。要转换为位移位振幅比根据关系式幅比根据关系式(4-30)、式、式(4-31)中对透射波、转换型中对透射波、转换型反射波要乘以透射波或反射波与入射波的速度比。反射波要乘

42、以透射波或反射波与入射波的速度比。 将分界面两侧介质的弹性常数和密度的实际数据将分界面两侧介质的弹性常数和密度的实际数据代入方程组代入方程组(4-51 ) ，求解反射系数，求解反射系数R和透射系数和透射系数T，表，表明它们与入射角和介质弹性和密度参数之间存在复杂明它们与入射角和介质弹性和密度参数之间存在复杂的依赖关系。的依赖关系。 为了分析反射系数、透射系数与入射角和介质参为了分析反射系数、透射系数与入射角和介质参数的关系，通常根据计算结果，绘制反射系数和透射数的关系，通常根据计算结果，绘制反射系数和透射系数曲线图。系数曲线图。图图4-11给出了一个入射波由声阻抗大的介质入射到声阻抗给出了一个

43、入射波由声阻抗大的介质入射到声阻抗小的介质时，其分界面的反射系数和透射系数曲线。小的介质时，其分界面的反射系数和透射系数曲线。其中其中如图如图4-11中所见，当中所见，当P波入射波入射角不大时角不大时id20-30。反射系数反射系数和透射系数变化不大。当入和透射系数变化不大。当入射角较大时，转换波反射系射角较大时，转换波反射系数和透射系数为极大值、其振幅最大。当入射波数和透射系数为极大值、其振幅最大。当入射波垂直或垂直或平行平行入射到分界面时，入射到分界面时，无波的转换现象发生。无波的转换现象发生。311312222.7/,4500/ ,2200/ ;0.9/,3600/ ,1700/ ;ps

44、psg cm vm svm sg cmvm s vm s三、全反射现象三、全反射现象根据斯奈尔定律，当根据斯奈尔定律，当vp2vp1时，透射角时，透射角td总大于入射角总大于入射角id。在。在id角到某一定值时，透射角角到某一定值时，透射角td90。，这时的入射，这时的入射角称为临界角，用角称为临界角，用ip表示：表示：透射波沿分界面滑行。当第二介质中的横波速度透射波沿分界面滑行。当第二介质中的横波速度Vs2大大于第一介质中的纵波速度于第一介质中的纵波速度Vp1时，对纵波入射波也可以时，对纵波入射波也可以找到另一个临界角找到另一个临界角is ,此时转换型此时转换型PS透射波沿分界面滑行。透射波

45、沿界面透射波沿分界面滑行。透射波沿界面滑行，这种现象称为滑行，这种现象称为全反射。全反射。12sinpppviv(4-54)12sinpssviv(4-55) 当波的入射角超过临界角时，当波的入射角超过临界角时，idiP或或idis，则，则 或或 显然透射角的正弦将大于显然透射角的正弦将大于1。这种情况只有当。这种情况只有当td或或ts角为角为一复数时，才有可能。设一复数时，才有可能。设 ,若若 则根据公则根据公式式(2-89)，可有，可有(根据式根据式2-88):这时这时,纵波透射波波函数为纵波透射波波函数为:21sinsinpdppvtiv21sinsinssspvtivdddttit2d

46、tsin1ddchttcosddtjtsh (4-56)222222exp()exp()exp()exp()ddppppppddxtjztsIBjtVIBkt zjkt xjchshshcht(4-57)其中其中 公式公式(4-57)表示的是一个沿表示的是一个沿x正方向以正方向以vP2/chtd” 为为速度传播的平面不均匀波，其振幅沿速度传播的平面不均匀波，其振幅沿z方向以方向以kshtd”为系为系数呈指数规律衰减。也就是说，当波的入射角大于临界数呈指数规律衰减。也就是说，当波的入射角大于临界角时，入射波在第二介质中将引起沿角时，入射波在第二介质中将引起沿x方向传播的平面方向传播的平面不均匀波

47、，认为此时没有波进入第二介质是不准确的。不均匀波，认为此时没有波进入第二介质是不准确的。当当idis时，转换型时，转换型P-S透射波也成为平面不均匀波，其透射波也成为平面不均匀波，其性质与性质与P-P透射波相似。透射波相似。 通过计算可以表明，当纵波入射角通过计算可以表明，当纵波入射角idiP或或idis时，时，透射系数透射系数T和反射系数和反射系数R将变成复数。将变成复数。 任何一个复数都可以用它的模量和幅角表示。任何一个复数都可以用它的模量和幅角表示。2pkv在这种情况下，可以将透射系数和反射系数表示为：在这种情况下，可以将透射系数和反射系数表示为：其中其中 和和 为幅角，是一实数。显然，

48、用复数透射系数为幅角，是一实数。显然，用复数透射系数或反射系数乘以入射波函数，将使之发生相位畸变。这或反射系数乘以入射波函数，将使之发生相位畸变。这时，反射波脉冲或透射波脉冲相对入射波脉冲发生了波时，反射波脉冲或透射波脉冲相对入射波脉冲发生了波形改变。形改变。exp()exp()trTTjRRjtr(4-58)四、垂直入射情况讨论四、垂直入射情况讨论当纵波沿分界面法线方向入射时当纵波沿分界面法线方向入射时id0。只产生纵波反只产生纵波反射波和透射波，无波的转换现象发生。这时，波的传播射波和透射波，无波的转换现象发生。这时，波的传播问题变为求解一维波动方程。形式如同式问题变为求解一维波动方程。形

49、式如同式(2-57)。对本节。对本节所选坐标系，可有：所选坐标系，可有：为求解反射系数为求解反射系数Rpp和透射系数和透射系数Tpp，使用垂直应力，使用垂直应力 和垂和垂直位移直位移 连续条件。在边界条件方程组中，将连续条件。在边界条件方程组中，将id0。代入代入其中第二、三式其中第二、三式,可以得到对一维情况下式可以得到对一维情况下式(4-59)的边界条的边界条件方程组件方程组:2222210pwwzvt(4-59)zzw相对反射系数及相对反射系数及Rpp和透射系数和透射系数Tpp，求解方程组，求解方程组(4-60)，可以得到：可以得到：由上两式可知，在波沿法线方向入射到分界面时由上两式可知

50、，在波沿法线方向入射到分界面时,将产将产生反射波和透射波。生反射波和透射波。为了形成反射波，分界面两侧介为了形成反射波，分界面两侧介质波阻抗必须存在着差异质波阻抗必须存在着差异。这样的分界面称为。这样的分界面称为反射界反射界面面，反射界面也是波阻抗差异分界面。，反射界面也是波阻抗差异分界面。12221211ppppppppABAvABAv (4-60)22112211ppppppvvRvv(4-61)1122112pppppvTvv(4-62) 根据波阻抗差异大小，可以区分强反射界面和弱根据波阻抗差异大小，可以区分强反射界面和弱反射界面。波阻抗差异大，反射系数大，界面反射波反射界面。波阻抗差异

51、大，反射系数大，界面反射波强；相反，波阻抗差异小，反射系数小强；相反，波阻抗差异小，反射系数小,界面反射波弱。界面反射波弱。 当波在波阻抗大的分界面当波在波阻抗大的分界面 反射时，反反射时，反射系数为正，这意味着反射波相位与入射波相位相同。射系数为正，这意味着反射波相位与入射波相位相同。例如，在某一瞬间，入射波的压缩带入射到分界面，例如，在某一瞬间，入射波的压缩带入射到分界面，所发生的反射波也是压缩带；若到达分界面的入射波所发生的反射波也是压缩带；若到达分界面的入射波为疏松带为疏松带,则在此一瞬间产生的反射波也是疏松带。则在此一瞬间产生的反射波也是疏松带。 2211()ppvv 相反，当波入射

52、到波阻抗小的分界面时，反射系相反，当波入射到波阻抗小的分界面时，反射系数为负值。这时反射波相对入射波有数为负值。这时反射波相对入射波有180度相位差，称度相位差，称为半波消失现象为半波消失现象。在这种情况下，入射波中的压缩带。在这种情况下，入射波中的压缩带将引起反射波中的疏松带，或入射波中的疏松带将引将引起反射波中的疏松带，或入射波中的疏松带将引起反射被中的压缩带。在有的书中把法向入射时的反起反射被中的压缩带。在有的书中把法向入射时的反射系数写作：射系数写作： 与公式与公式(461)相比，其差别在于相比，其差别在于(463)式推导中式推导中考虑了波在反射时其传播方向变化了考虑了波在反射时其传播

53、方向变化了180。 根据公式根据公式(463)，在波的法向入射时，在分界面，在波的法向入射时，在分界面另一侧产生的透射波，总是与入射波同相位。另一侧产生的透射波，总是与入射波同相位。11221122ppppppvvRvv(4-63)公式公式(461)、式、式(462)是对法向入射情况，是对法向入射情况，id0。,推导的。推导的。但实际工作中经常用来分析入射角但实际工作中经常用来分析入射角id不大不大时的反射和透射间题时的反射和透射间题。如前面已经指出的，在。如前面已经指出的，在 id 或或20。30。时，大多数情况下，反射系数和时，大多数情况下，反射系数和透射系数随入射角变化不大。透射系数随入

54、射角变化不大。五、平面五、平面SH波在两个介质分界面上的反射和透射波在两个介质分界面上的反射和透射 如图如图4-12所示，设有一平所示，设有一平面面SH波入射到两个介质分波入射到两个介质分界面界面z0上，产生一个在第上，产生一个在第一介质一介质z0中传播的反射波中传播的反射波和一个在第二介质和一个在第二介质z0中传中传播的透射波。播的透射波。xoz平面为射平面为射线平面，线平面，z轴垂直向下指向轴垂直向下指向第一介质。研究第一介质。研究SH波的位波的位函数函数图中图中 为入射波、为入射波、 为反射波、为反射波、 为透射波；为透射波； 为入射角，为入射角， 为反射角、为反射角、 为透射角。为透射

55、角。( , , )x z t123112根据分界面上各波视速度相等的原理，沿根据分界面上各波视速度相等的原理，沿x方向波的方向波的视速度为：视速度为：我们有我们有取记号取记号表示第一或第二介质中横波波数。根据波的方程表示第一或第二介质中横波波数。根据波的方程(4-3)的的通解形式，写出各个波的表达式：通解形式，写出各个波的表达式：112112sinsinsinC(4-64)12112,sinsin(1)(2)12,sskk 111111exp(sincos)sBjktxz 122111exp(sincos)sBjktxz 233222exp(sincos)sBjktxz 为确定未知的振幅系数为

56、确定未知的振幅系数B1、B2、B3，利用利用z0上的上的分界面连续条件。这些条件是：分界面连续条件。这些条件是： (1)位移连续条件：位移连续条件：用用 表示位移分量表示位移分量v，可有：，可有：将波动方程将波动方程(4-3)代入，位移连续条件变为：代入，位移连续条件变为：12( )( )vv22221xzvzxzzxxt(4-65) 0022121211zz(4-66) (2)应力连续条件：应力连续条件：根据关系式根据关系式(4-40)，上式可以写作：，上式可以写作： 将将 代入边界条件方程代入边界条件方程(4-67)、(4-68)可以得到：可以得到：12zyzy(4-67)11220022

57、12zzzz(4-68)11223( ),( )2321212132212112111cos1cosBBBBBBBB (4-49)解此方程组可以得到平面解此方程组可以得到平面SH波反射系数和透射系数：波反射系数和透射系数：对位移位的反射系数和透射系数方程对位移位的反射系数和透射系数方程(4-70)、式、式(4-71)与与对对位移振幅比的反射系数位移振幅比的反射系数v1/v2及透射系数及透射系数v3/v1的关系是：的关系是：反射系数其数值不变，对透射系数应乘以两介质中波速反射系数其数值不变，对透射系数应乘以两介质中波速比倒数的平方。也就是：比倒数的平方。也就是：11122221111222cos

58、coscoscosBB3211112112222coscoscosBB(4-70)(4-71)2211vBvB2331112vBvB(4-72)整理整理(4-70)、 (4-71) 、 (4-72) 得：得：21112221111222coscoscoscosBB 2311122111122212coscoscosBB 2211122211111222coscoscoscosvBvB 23311111121112222coscoscosvBvB 当当SH波垂直入射时，波垂直入射时， 反射系数和透射系数为：反射系数和透射系数为：讨论全反射的情况。当讨论全反射的情况。当 时，存在一个临界角时，存在

59、一个临界角 当当 时、时、 在这种情况下，在这种情况下，120,021122211122122233121122222111212112211122BvBvBvBv (4-73)21112sincr12C12cr其中其中将将 代入上式，可以得到：代入上式，可以得到：(2)33222(2)223222(2)32232exp(sincos)cosexpsin()sinsinexpsin(cos)exp(cos)sssxBjktxzBjkxzBjkctxzBjk ctxz22(2)222222sin,cot11xscckkjc 2cot23322exp(1)exp()xxcBk zjk ctx(4-

60、74)当入射角当入射角 时，将产生一个不均匀的平面波在第二介时，将产生一个不均匀的平面波在第二介质中传播。透射波质中传播。透射波 沿沿 方向传播，其振幅在方向传播，其振幅在z方向上随方向上随|z|增大而呈指数规律衰减。增大而呈指数规律衰减。计算反射系数：计算反射系数：令令分别为实数分别为实数112221122211122112221111221122221222121122221122122212sinsinsinscoscoscotcotcoscoscotcot11cotcotcotciot11nBBccjccj 1ct3x221222121,1BCcc则反射系数可表示为：则反射系数可表示为