工程电磁场高斯定律

1、1-2高斯定律 根据物体的静电表现，可分为三类：导电体（导体）、绝缘体（电介质）、半导体。1.1.导体导体 存在大量的可自由移动的电荷存在大量的可自由移动的电荷 conductorconductor2.2.绝缘体绝缘体 理论上认为一个自由移动的理论上认为一个自由移动的电荷也没有电荷也没有 也称也称电介质电介质 dielectricdielectric3.3.半导体半导体 介于上述两者之间介于上述两者之间 semiconductorsemiconductor一一. .导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件1.1.静电平衡静电平衡 electrostatic equilibriumelectrost

2、atic equilibrium导体内部和表面无自由电荷的定向移动，导体内部和表面无自由电荷的定向移动，说导体处于说导体处于静电平衡状态。静电平衡状态。2.2.导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件0内E 4.导体表面上的导体表面上的E必垂直于表面。必垂直于表面。 5.导体如带电，电荷只能分布于其表面。导体如带电，电荷只能分布于其表面。 3.导体为一等位体，导体表面必为等位面。导体为一等位体，导体表面必为等位面。abjj=cj=( )( )babaE dljj-=rr0导体静电平衡时，导体各点电势相等，导体静电平衡时，导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。即导体是等势体，表面是等势面。

3、证：在导体上任取两点证：在导体上任取两点ab和和l d导体等势是导体体内电场强导体等势是导体体内电场强度处处为零的必然结果度处处为零的必然结果静电平衡条件静电平衡条件的另一种表述的另一种表述ab 二、电介质及其极化二、电介质及其极化 polarizationpolarization+ -+ -+-无外场时：无外场时：lqp有电场时有电场时:电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度,排列愈排列愈有序说明极化愈烈有序说明极化愈烈2200cos44RpqdRRqjee=p e单个电偶极子电位：22004 4RRVRVRjeeD=DD邋p epe内多个电

4、偶极子电位：VD1.极化介质所产生的电位极化介质所产生的电位2.2.描述极化强弱的物理量描述极化强弱的物理量-极化强度极化强度PV宏观上无限小微观上宏观上无限小微观上无限大的体积元无限大的体积元VpPiilim定义定义2mc单位单位ip每个分子的每个分子的电偶极矩电偶极矩其中：VD 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0e 电介质的极化率e体积 V 内电偶极子产生的电位20( )1d 4RVPeVRje=r矢量恒等式：uuuFFF )(3.极化强度极化强度 与极化电荷的关系与极化电荷的关系PpnP e pP 电荷守恒定律电荷守恒定律：()0ptvSqPdVP dS 电介质对电场的影响

5、可归结为极化化后极化电荷或电介质对电场的影响可归结为极化化后极化电荷或电偶极子在真空中所产生的作用。电偶极子在真空中所产生的作用。极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为 的的面积电荷与电荷体密度为面积电荷与电荷体密度为 的体积电荷共同产生的体积电荷共同产生的电位。的电位。pp三、电通量三、电通量 (electric flux)(electric flux)藉助电力线认识电通量藉助电力线认识电通量通过任一面的电力线条数通过任一面的电力线条数dE dSSSdSdsEdSE匀强电场匀强电场dE dS通过任意面积元的电通量通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量

6、怎么计算？通过任意曲面的电通量怎么计算？S把曲面分成许多个面积元把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场每一面元处视为匀强电场dSE通过闭合面的电通量通过闭合面的电通量Ed SS讨论讨论SdEd正与负正与负取决于面元的法取决于面元的法线方向的选取线方向的选取SdSE如面元正方向向上如面元正方向向上 知知sdE00若如红色虚线箭头所示若如红色虚线箭头所示 则则sdE000sdE0 0iiqRr 0ERr 如何理解面内场强为如何理解面内场强为0 ? 0 ? 过过P P点作圆锥点作圆锥则在球面上截出两电荷元则在球面上截出两电荷元2211dSdqdSdq210114rdSdE220224rdSdE

7、P1dq2dq在在P P点场强点场强1dq方向方向如图如图2dq在在P P点场强点场强方向方向如图如图d04d04dEdE12 ddldl0r0r平面角：平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角由一点发出的两条射线之间的夹角ddlrdlr0cos单位：弧度单位：弧度补充：立体角的概念补充：立体角的概念为半径的弧长为半径的弧长r1取取dl1dl1r10011=rdlrdlda一般的定义：一般的定义：r射线长为射线长为线段元线段元dl对某点所张的平面角对某点所张的平面角r平面角平面角ddlrdlr0cos立体角立体角面元面元dSdS 对某点所张的立体角：对某点所张的立体角： 锥体的锥体的“顶角顶角”

8、ddSrdSr 112002单位单位球面度球面度ddldl0r0rdl1r1ddSdS0r0r1dS1对比平面角，取半径为对比平面角，取半径为1r球面面元球面面元1dsddSr 2cos定义式定义式弧度弧度计算闭合曲面对面内一点所张的立体角计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度球面度4200SSrdSdld计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角coslrdl000lrdl平面平面lr0l0r2例例2 2 均匀带电的无限长的直线均匀带电的无限长的直线 线密度线密度对称性的分析对称性的分析rPEd取合适的高斯面取合适的高斯面lr计算电通量计算电通量Ssd

9、E两底面侧面sdEsdErlE2利用高斯定理解出利用高斯定理解出E02lrlErE02sdEsd例例3 3 金属导体静电平衡时金属导体静电平衡时, ,体内场强处处为体内场强处处为0 0求证求证: : 体内处处不带电体内处处不带电E dSS0qdViiV0 0证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元dV由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取证毕证毕P解解: : 真空中的高斯定律真空中的高斯定律例例4 4 真空中无限大的带电平面，真空中无限大的带电平面，面密度为面密度为 ，求距平面，求距平面x x处的处的电场强度。电场强度。s0QE dse = 2202rE rpspe=积分得：02Es

10、e=解得：00iiSqEd S一般形式的高斯定理一般形式的高斯定理Ed SqiiS00pioiiiqq00()oiiSSSVE dSP dSEPdSqdV极化电荷极化电荷证：证：SVD dSdV已知真空中：()pSvqP dVP dS 高斯公式已知：定义：0000rDEPEEE 得：D 1 2 U1 2 3 例例1-7 1-7 单心电缆如图，内外导体之间介质有两种，单心电缆如图，内外导体之间介质有两种，两导体间电压为两导体间电压为U U，求其电场分布。，求其电场分布。P17P17o解：解：在绝缘体中任意取一点P，到O点距离为，过P点作同轴圆柱面，高为l，再在该面上下加两个“盖”，这样就形成一个

11、“高斯面S”, 由于上下“盖”上没有D垂直穿过，因此应用高斯定律：lqlDdSDdSDdSDdSDSSSS0)20（上柱面下分别分析各层绝缘体中的电场强度为：分别分析各层绝缘体中的电场强度为：1112 DE2222 DE由于电压为已知，可以由电压的计算公式：由于电压为已知，可以由电压的计算公式：23123221ln2ln22121 dEdEU从而消去从而消去：232121ln1ln12 U于是绝缘体于是绝缘体中场强为：中场强为：1321122(lnln)UErrerrer=+2322112(lnln)UErerrerr=+1321122(lnln)UErrerrer=+2322112(lnln

12、)UErerrerr=+通过两个场强的公式发现：通过两个场强的公式发现： 1时，时，E1最大最大 2时，时，E2最大最大取取1 1 2 2时，时，E1E2且等于且等于231121maxlnln UE若单层绝缘的话，若单层绝缘的话，最大场强等于最大场强等于131maxln UE 331111ln2UE drrrtrper=1112DEtepre=P解解: : 真空中的高斯定律真空中的高斯定律习题：真空中无限大的带电平习题：真空中无限大的带电平面，面密度为面，面密度为 ，求距平面，求距平面x x处的电场强度。处的电场强度。P5P5，例，例1-21-2s0QE dse = 2202rE rpspe=

13、积分得：02Ese=解得：1-3 基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1 基本方程 ( Basic Equation )静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition静电场的基本方程为0ED微分形式（旋度、散度）0d llEdSQDS积分形式（环量、通量）构成方程ED例1-9在真空中设半径为a的球内分布着电荷体密度为 的电荷，已知球内场强为 式中A为常数， 求 及球外的电场强度。( )rr( )rr32()rErAre=+r炎=D22111()(sin )sinsinrAAr AArrrrfqqqqqf抖炎=+抖球坐标系下:

14、代入得：2002111()()(sin )sinsinrEDEr EErrrrfqeeqqqqf抖炎= 炎=+抖23254300022()()(54)( )rrArrArrArrrrrreeer抖=+=+=+=抖解：（1）球内， 利用微分形式高斯定律：（2）球外,利用积分形式的高斯公式dSQ = DSQERoPrSdS0SE dSerr204Erep=204VErQdVepr=蝌22000sinaddrdrppqfrq=蝌2220000sin (54)addrrAr drppqfq e=+蝌5404()aAape=+542()raAaEerar+=得：包围点 P 作高斯面 ( )。0L1.3.

15、2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)1. D 的衔接条件（通量条件）SSDSDn2n1则有qSSDd根据n1n2DDD 的法向分量不连续当 时， D 的法向分量连续。0n2n1DD介质分界面围绕点 P 作一矩形回路( )。 02LttEE12 E 的切向分量连续。0dllE根据01t21t1lElE则有3. 折射定理当交界面上 时，02121tantan折射定律 n2n1DD t 2t 1EE 222111coscosEE2211sinsinEE 介质分界面2. E 的衔接条件（环量条件）0dlim0021ddlE4、 的衔接条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧，

16、0dnEDnED22n22n211n11n1,21因此电位连续nn2211得电位的法向导数不连续由 ，其中n1n2DD 电位的衔接条件说明 （1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； 导体与电介质分界面 解: 分界面衔接条件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 , const0 tnED，导体中 E0 ，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。解：忽略边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121EEse=22110SSq图(a)图(b)02211qSS2211 例 试求两个平行板电容器的电场强度。22

17、11EE02211UdEdE 平行板电容器作业：P24：1-3-3P67：1-2P68:1-8(1)/(3)/(4)1.4 边值问题、惟一性定理1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程2泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子 D02拉普拉斯方程当 =0时边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值lim0r自然边界条件 有限值rrlim泊松方程/2拉普拉斯方程0221nn22111.4.2 边值问题场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件)2）第二类边界条件（诺依曼条件)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的

18、电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线)(2sfnS)()3sfnS（例1-12 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 022222yx（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy图 缆心为正方形的同轴电缆 解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem)惟一性定理 ：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。解析法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法数值法1.8.1

19、电容器的电容（Capacitance of Capacitor)Capacitance and Distributed Capacitance1.8 电容及部分电容UQC 定义：pFF,F,单位： 电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。 工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容的计算思路：UQCUQl d lEE设解： 设内导体的电荷为 q ，则qSdSDrrrqrqeEeD2024,4)11(4d0baqUbarE同心球壳间的电压ababUqC04球形电容器的电容aC04当 时b（孤立导体球的电容）例1.8.1 试求同心球壳电容器的电容。图 同心球壳电容器思考

20、：无限长同轴导体圆柱面圆柱面间的电容如何计算？1.8.2 部分（分布）电容（Distributed Capacitance)图 三导体静电独立系统多导体系统静电独立系统部分电容基本概念导体的电位与电荷的关系为10001 12233a qa qa qa qj=+3322110020qbqbqbqb3322110030qcqcqcqc31321211110qaqq32322212120qaqq33323213130qaqaqa q)(3210qqqq约束条件1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数导体 i 电位的贡献； i i 自有电位系数，表明导体 i 上电荷对 电位系数，表明各导体电荷对各导体电

21、位的贡献； i j 互有电位系数，表明导体 j 上的电荷对导体 i 电位的贡献 ； a i j = a j i 矩阵形式 q2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数333232131332322212123132121111qqq 静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献； ii 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献； ij 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。 ij ij q1矩阵形式：3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容）（）3113211211312111()(q131312121010UCUCUC2323202021212UCUCUCq

22、3030323231313UCUCUCq uCq 矩阵形式部分电容的性质静电独立系统中n1个导体有 个部分电容2) 1( nnCi j均为正值，jiijCC 部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连； 部分电容可将场的概念与电路结合起来。图 部分电容与电容网络2323202021212UCUCUCq202021212121210101UCUCqUCUCq所以2020210101 UCqUCq，静电屏蔽在工程上有广泛应用。 静电屏蔽 三导体系统的方程为： 4. 静电屏蔽当 时，01q01212UC02112CC;010U 说明 1 号与 2 号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。1.9 静电能量与力1.9.1 静电能量 (Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force1. 用场源表示静电能量120122224RqqqW)(423231103333RqRqqqWq3 从 移到 c点，所需能量q2 从 移到 b 点，需克服 q1 的电场力做功，q1 从 移到 a 点不受力，