第5章 静定平面桁架

1、各杆两端用绝对光滑无摩擦的理想圆柱铰各杆两端用绝对光滑无摩擦的理想圆柱铰相互联结；相互联结；各杆均为直杆，且在同一平面内；各杆均为直杆，且在同一平面内；荷载在同一平面内荷载在同一平面内, 且均作用于结点上。且均作用于结点上。 在此假设下，各杆均为在此假设下，各杆均为，这样的桁架称为，这样的桁架称为 在实际工程中，对于在结点在实际工程中，对于在结点荷载作用下的各杆荷载作用下的各杆承受轴力承受轴力的结构，经常采用理想桁架作为的结构，经常采用理想桁架作为其计算简图。其计算简图。 由若杆根直杆在其两端铰接而成的结构。由若杆根直杆在其两端铰接而成的结构。25.5m 56m 162m 在桁架结构中，由于杆

2、件主要承受轴力，杆上应力分在桁架结构中，由于杆件主要承受轴力，杆上应力分布均匀，能够充分利用材料，与梁相比，用料省、自重布均匀，能够充分利用材料，与梁相比，用料省、自重轻，因此，大跨度的结构多采用桁架结构。轻，因此，大跨度的结构多采用桁架结构。各种铁路桥梁，大跨度的屋顶结构等采用桁架结构比各种铁路桥梁，大跨度的屋顶结构等采用桁架结构比较适宜。较适宜。，实际工程中的桁架与上述理想桁架有一定，实际工程中的桁架与上述理想桁架有一定的区别，主要表现为的区别，主要表现为 在刚结构中在刚结构中，结点通常是铆接或焊接的；，结点通常是铆接或焊接的；在钢筋混凝土结构中在钢筋混凝土结构中，各杆端通常是整体浇注在，

3、各杆端通常是整体浇注在一起的；一起的； 在木结构中在木结构中，各杆通常是榫接或螺栓联接。，各杆通常是榫接或螺栓联接。实际工程中的直杆无法保证绝对平直，结点上各杆的实际工程中的直杆无法保证绝对平直，结点上各杆的轴线也很难保证交于一点。轴线也很难保证交于一点。 工程中桁架必然有自重，即使荷载是作用于结点上，在工程中桁架必然有自重，即使荷载是作用于结点上，在自重的作用下，各杆必然产生弯曲变形，产生弯曲应力自重的作用下，各杆必然产生弯曲变形，产生弯曲应力，并不象理想桁架那样只有均布的轴力。，并不象理想桁架那样只有均布的轴力。 在工程设计中，通常把按照理想桁架情况计算出的杆在工程设计中，通常把按照理想桁

4、架情况计算出的杆轴力称为轴力称为“”，把由于不满足理想假设而产生的附，把由于不满足理想假设而产生的附加内力称为加内力称为“”（主要是弯矩，称为（主要是弯矩，称为“”）。与主内力相应的正应力称。与主内力相应的正应力称（即主要应力），由（即主要应力），由次内力所产生的应力称为次内力所产生的应力称为。 按照次应力产生的原因，桁架的次应力主要分为按照次应力产生的原因，桁架的次应力主要分为 (1) 因结点刚性而产生的次应力；因结点刚性而产生的次应力； (2) 因各杆的轴线不能完全通过铰心而产生的次应力；因各杆的轴线不能完全通过铰心而产生的次应力； (3) 因非结点荷载而产生的次应力。因非结点荷载而产生的

5、次应力。 上述诸因素中，第一项的次应力是其主要的部分，关上述诸因素中，第一项的次应力是其主要的部分，关于次应力分析有兴趣的同学可查阅有关的书籍，如钱令希于次应力分析有兴趣的同学可查阅有关的书籍，如钱令希著著超静定结构学超静定结构学，本章中只讨论，本章中只讨论的分析，即的分析，即主内力的计算。主内力的计算。 ：指桁架上下外围的杆件；指桁架上下外围的杆件； ：桁架上边缘的杆件；桁架上边缘的杆件；：桁架下边缘的杆件。桁架下边缘的杆件。 ：桁架中上下弦杆之间的杆桁架中上下弦杆之间的杆; ：杆的轴线为竖向的腹杆；杆的轴线为竖向的腹杆；：杆的轴线为倾斜的腹杆。杆的轴线为倾斜的腹杆。 ：弦杆上两相邻结点之间

6、的区间；弦杆上两相邻结点之间的区间；：节间的距离称为节间长度。节间的距离称为节间长度。 根据不同的特征，桁架有不同的分类根据不同的特征，桁架有不同的分类 : 桁架桁架(a ) 平行弦桁架平行弦桁架(b ) 折弦桁架折弦桁架(c ) 三角形桁架三角形桁架： 桁架桁架(a )无推力（或梁式）桁架无推力（或梁式）桁架 （如图（如图a、b、c)(b )有推力（或拱式）桁架有推力（或拱式）桁架图（图（a）图（图（b）图（图（c）图（图（d）： 桁架桁架(a )简单桁架简单桁架(b )联合桁架联合桁架(c )复杂桁架复杂桁架：由几个简单桁架按照两刚片或三刚片法则由几个简单桁架按照两刚片或三刚片法则所组成的

7、桁架；所组成的桁架；：由基础或一个基本铰接三角形开始，依次由基础或一个基本铰接三角形开始，依次添加二元体所组成的桁架添加二元体所组成的桁架;：不按简单组成规则方式所组成的其它形式不按简单组成规则方式所组成的其它形式的桁架。的桁架。 图（图（d）图（图（e）图（图（a）图（图（b）图（图（c）：在求桁架内力时，在求桁架内力时，以桁架的结点为隔离体以桁架的结点为隔离体，利用，利用结点的平衡条件来计算各杆内力的方法，称为结点法。结点的平衡条件来计算各杆内力的方法，称为结点法。 一般而言，结点法一般而言，结点法适用于适用于确定桁架中确定桁架中时时的计算，如桁架结构的安全设计时。的计算，如桁架结构的安全

8、设计时。 在采用结点法分析桁架时，通常先假定各杆的受力在采用结点法分析桁架时，通常先假定各杆的受力，若所得结果为负时，则实际为压力。，若所得结果为负时，则实际为压力。 在建立结点的平衡方程时，经常将斜杆的内力分解为在建立结点的平衡方程时，经常将斜杆的内力分解为水平分力和竖向分力水平分力和竖向分力FNFNlxlylXFNY利用三角形相似关系，易得利用三角形相似关系，易得 yxNlYlXlF下面举例说明。下面举例说明。 例例1 如图示一施工托架的计算简图，求各杆的内力。如图示一施工托架的计算简图，求各杆的内力。解解 (1)求约束反力求约束反力 利用对称性易得利用对称性易得 kN196482171V

9、V(2)求内力求内力 (a) 结点结点1（先从仅有两杆（先从仅有两杆的边界结点开始分析）的边界结点开始分析） 由由Y=0得得 kN118113VYkN335 . 05 . 11313YX所以所以kN8 .345 . 05 . 15 . 0132213YFN由由X=0得得 kN331312XFN8kN1FN12FN113图图(a)V171.5m1.5m0.75m0.75m0.5m8kN8kN8kN8kN6kN123456V7V1(c)结点结点3由由Y=0得得kN3132334YFYN所以所以kN5 . 45 . 075. 03434YXkN4 . 55 . 05 . 075. 0342234YF

10、N由由X=0得得kN5 .37341335XXFN利用对称性，可知其它杆的内力，利用对称性，可知其它杆的内力，结果如图结果如图(d)所示所示 (3)校核校核 如图如图(e)所示所示 显然满足显然满足X=0 Y=046kN-33 kN-33 kN-5.4 kN-5.4 kN图图(e)(b)结点结点2 由由Y=0得得 kN823NF由由X=0得得kN331224NNFF2FN128kNFN24FN23图图(b)FN23FN13FN35FN34图图(c)371.5m1.5m0.75m0.75m0.5m8kN8kN8kN8kN6kN123456-8-8-33-33-33-3334.837.5-5.4

11、-5.434.8图图(d) FN(kN) 应用结点法分析桁架时，利用结点平衡的特殊情况，应用结点法分析桁架时，利用结点平衡的特殊情况，可简化计算。可简化计算。 ：在不共线的两杆结点上，无荷载作用时，则该两在不共线的两杆结点上，无荷载作用时，则该两杆内力为零杆内力为零; FN1FN2特例特例1：在有两杆共线的三杆结点上，无荷载作用时，则在有两杆共线的三杆结点上，无荷载作用时，则第三根杆（称为零杆）的内力为零。第三根杆（称为零杆）的内力为零。 FN1FN2特例特例2FN3：在两两共线的四杆结点上，无荷载作用时，则在在两两共线的四杆结点上，无荷载作用时，则在同一直线上的两杆内力相等。同一直线上的两杆

12、内力相等。 FN1FN2特例特例3FN3FN4上述三种情况，利用结点平衡条件不难证明。上述三种情况，利用结点平衡条件不难证明。 例例2 如图示两结构找出零杆。如图示两结构找出零杆。 -Fp相等相等FpFp/2Fp/2(a)Fp(b)作业：作业： 本节介绍计算桁架内力的另一种方法本节介绍计算桁架内力的另一种方法。该。该方法是通过选取一适当截面，将结构一分为二，任取其中方法是通过选取一适当截面，将结构一分为二，任取其中之一为隔离体，根据平衡条件，求出指定杆件的内力。之一为隔离体，根据平衡条件，求出指定杆件的内力。 这种方法一般这种方法一般（小数）（小数）的内力计算。如校核计算结果时，可采用此方法。

13、的内力计算。如校核计算结果时，可采用此方法。 ：由于作用于隔离体由于作用于隔离体上全部的力组成了一个平面一上全部的力组成了一个平面一般力系，因此隔离体上未知力般力系，因此隔离体上未知力数目不应多于数目不应多于3，否则无法求，否则无法求出全部的未知力，出全部的未知力，可求可求出部分未知力。如：出部分未知力。如： 得由 0)(FMC即可求出即可求出ABaVACFNa 如图示桁架，求如图示桁架，求a、b杆的内力。杆的内力。 VAVB这是一个简单桁架。这是一个简单桁架。 (1)求约束反力求约束反力(利用对称性利用对称性)pBAFVV5 . 2(2)截面法求指定杆反力截面法求指定杆反力 如图如图(b)所

14、示所示 由由Y=0 得得pApNaFVFF5 . 1如图如图(c)所示所示 VAFNbAFpFp图图(c)VAFpAFNa图图(b)由由Y=0得得cos22cos1ppANbFFVFABFpFpFpFpFpb a图图(a)由由MA(F)=0得得 如图示桁架，求如图示桁架，求1、2杆的内力。杆的内力。这是一个联合桁架（两刚片由这是一个联合桁架（两刚片由三根链杆相联）。三根链杆相联）。 (1)求约束反力求约束反力（整体分析）（整体分析）ppppBFaFaFaFaV574251同理可得同理可得 pAFV58(2)求内力求内力 如图如图(b)所示所示由由MA(F)=0得得pBpNFaVaFaF5354

15、511由由X=0得得0NEFF因此因此02NFVAVBEF 2AB1图图(a)FpFpFpCDaaaaa2B图图(b)VBFNEFFpFN1FNACA由由MA(F)=0得得 如图示桁架，求如图示桁架，求1杆杆的内力。的内力。VEVF分析分析：这是一个这是一个联合桁架联合桁架（三（三刚片由三铰相联），刚片由三铰相联），1 1号杆位于号杆位于上部刚片内，若已知三个铰处上部刚片内，若已知三个铰处的相互作用力，三个刚片内各的相互作用力，三个刚片内各杆的内力容易确定，因为杆的内力容易确定，因为每一每一个刚片为简单桁架个刚片为简单桁架。 (1)求约束反力求约束反力，利用对称性易得，利用对称性易得pFEFV

16、V(2)求求B铰处的相互作用力铰处的相互作用力，如图如图(b) 所示所示 ABFpFp图图(b)VBHBpBFVaaaaaaaaaaFpFp图图(a)ABCEF1由由MC(F)=0得得如图如图(c) 所示所示图图(c)VFVBHBVCHCBCpBFBFaVaVaH21221(3)求求1号杆的内力号杆的内力，如图，如图(d) 所示所示45 45 BVBHBFN1x图图(d)由由X=0得得pBBNFHVF2345cos45cos45cos11pBFVaaaaaaaaaaFpFp图图(a)ABCEF1由由MB(F)=0得得 对于某一杆件内力，如果只用一个结点平衡条件或只对于某一杆件内力，如果只用一个

17、结点平衡条件或只做一次截面无法得到解答时，可把结点法与截面法联合起做一次截面无法得到解答时，可把结点法与截面法联合起来应用，来应用，如如例例5 。下面继续举例说明结点法与截面法联合。下面继续举例说明结点法与截面法联合应用。应用。 如图示桁架，求如图示桁架，求1、2杆杆的内力。的内力。 VAVB这是一个简单桁架这是一个简单桁架 (1)求约束反力求约束反力 pAFV31同理可得同理可得 pBFV32(2)分析分析K结点，结点，如图如图(b)所示所示图图(b)FN1FN3K由由X=0得得31XXFp3m2AB6 4m3m1K图图(a)3由由MC(F)=0得得xNylXlFlY111111xNylXl

18、FlY333333yyxxllllll31313131NNFF31YY(3)求求1、2杆内力，杆内力，如图如图(c)所示所示由由Y=0得得 31YVYA即即pAFVY61211因此因此31221185343NpNFFYFpFYX1843411pANFXYVF94341261112pAFV3131XX3m2FpAB6 4m3m1K3VA图图(c)AKFN3FN1FN2C 如图示桁架，求如图示桁架，求 1 杆杆的内力。的内力。 这是一个这是一个复杂桁复杂桁架架，内部少一根内部少一根链杆，具有一个链杆，具有一个自由度（绕自由度（绕A A点点转动）内部是几转动）内部是几何可变体系，但何可变体系，但外部

19、支承有四根外部支承有四根链杆，因而自由链杆，因而自由度仍为零，为几度仍为零，为几何不变体系。何不变体系。 其几何组成其几何组成分析如图分析如图(d)(d)所所示，也可采用示，也可采用零零载法载法分析分析. .4m4mBACD4m4m8m8m8m8mFp12图图(a)FpBACD图图(d)I II III (1)求约束反力求约束反力整体由整体由MA(F)=0得得pCBFVV6 . 12(a)(2)分析分析B结点，结点，如图如图(b)所示所示 VBFN1FN2图图(b)由由X=0得得21XX 因此因此21YY 1212YFFNN由由Y=0得得21BVY或或12NBFV(b)(3)截面法，截面法，如

20、图如图(c)所示所示 VCDFN1图图(c)由由MD(F)=0得得152NCFV(c)联立联立(a) 、(b)、(c)易得易得 pNFF3241同时可得同时可得pBFV384m4mBACD4m4m8m8m8m8mFp12图图(a)Fp图图(e)BACDEFFpFp 该题也可采用所谓的该题也可采用所谓的“”来进行分析，其来进行分析，其基本思路为基本思路为 首先在原体系中撤去首先在原体系中撤去约束，代之一相应的约束，代之一相应的约束力约束力X1，将，将的约束的约束添加添加在该体系的在该体系的，从而形成一个简单的体系，从而形成一个简单的体系几何组成较简单的静几何组成较简单的静定结构。这一新体系称为定

21、结构。这一新体系称为替代结构替代结构，这些添加进去的约，这些添加进去的约束，称为束，称为替代约束替代约束。图图(e)BACDEFFpFpVAVB=X10011SXSS(a)11X(2) 然后，令替代桁架然后，令替代桁架等效于原桁架等效于原桁架，即令在被撤换杆，即令在被撤换杆约束力约束力X1和原荷载共同作用下替代桁架各杆的内力与原和原荷载共同作用下替代桁架各杆的内力与原桁架的相等，其中，桁架的相等，其中，如该题中如该题中的的FNEF。这一条件可以表达为。这一条件可以表达为 图图(e)BACDEFFpFpVAVB=X1(3) 由由(a)式可求出被撤杆的未知力式可求出被撤杆的未知力X1，利用叠加原理

22、可，利用叠加原理可求出任一杆求出任一杆i 的内力的内力FN i ：011iiiNSXSF(b) 11X下面我们采用下面我们采用解此题。解此题。0011SXSS(a)图图(e)BACDEFFpFpVAVB=X1BACD1图图(e)EFVBFpFp先求单独荷载作用时先求单独荷载作用时EF杆杆内力内力BACD1图图(f)EFFpFp由图由图(f) 易得易得pppFAFFFV562820401利用利用I-I截面，取截面，取部分为隔离体部分为隔离体 I I 由由MD(F)=0得得 ppFAFFVS4820410再求单独再求单独X1(X1=VB)作作用时用时EF杆杆内力内力 BACD1图图(g)EFVB2

23、,211BNBXCVFVV由图由图(g) 易得易得 利用利用 - 截面，取截面，取部分为隔离体部分为隔离体,由由MD(F)=0得得 BNXCVFVXS23242041111因为，当时因为，当时 ，1号杆的内力为号杆的内力为11X2111S当荷载单独作用于替代桁架上时，当荷载单独作用于替代桁架上时，1号杆的内力为号杆的内力为001S由由(b)式式 得得011iiiNSXSFppNFFF324038211将将S1X1和和S0代入代入(a)式得式得pBFV38（） 0011SXSS(a)BVXS2311pFS40图图(e)BACDEFFpFpVAVB=X11作业：作业： -15.81010 kN-7

24、9.110 kN10 kN10 kN10kN 图图(a)三角形桁架三角形桁架-63.4-47.47575751530-18.0a (c)抛物线形抛物线形 桁架桁架10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN454545-51.5-47.5-45.310101000aaaaaaa10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN 图图(b)平行弦桁架平行弦桁架0-2535.4-1521.2-57.125400a-45-40-25其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的会造成材料浪费，若不等截面

25、，则结构拼装有一定的难度。难度。 但该种桁架因为但该种桁架因为，符合普通，符合普通黏土瓦屋面的要求，所以黏土瓦屋面的要求，所以。 -15.81010 kN-79.110 kN10 kN10 kN10kN 图图(a)三角形桁架三角形桁架-63.4-47.47575751530-18.0a其弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会其弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。度。 但该种桁架具有许多构造上的优点：但该种桁架具有许多构造上的优点：等，因而仍得到广泛的应用，等，因而仍得到广泛的应用，。

26、10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN 图图(b)平行弦桁架平行弦桁架0-2535.4-1521.2-57.125400a-45-40-25在在。但其上弦杆在每一个节间的倾。但其上弦杆在每一个节间的倾角都不同，结点构造复杂，施工不便。角都不同，结点构造复杂，施工不便。 。 该三种桁架各有利弊，在实际应用时，应根据不该三种桁架各有利弊，在实际应用时，应根据不同的需要，综合考虑，做到最优化或比较优化。同的需要，综合考虑，做到最优化或比较优化。 (c)抛物线形抛物线形 桁架桁架10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN454545-51.5-47.5-45.310101000aa

27、aaaaa由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力及轴力）受弯矩、剪力及轴力）。 该类结构主要用于房屋建筑中的屋架、吊车梁及桥梁该类结构主要用于房屋建筑中的屋架、吊车梁及桥梁中的承重结构等。中的承重结构等。 如如 对于组合结构应正确对于组合结构应正确，桁，桁式杆仅承受轴力，梁式杆式杆仅承受轴力，梁式杆承受弯矩、剪力和轴力。承受弯矩、剪力和轴力。计算时，在确定了约束反计算时，在确定了约束反力后，先分析桁式杆，再力后，先分析桁式杆，再分析梁式杆。分析梁式杆。 如图示下撑式五角组合屋架，作内力图。如图示下撑式五角组合屋架，作内力图。(1)求约束

28、反力求约束反力 由图由图(a)分析利用对称分析利用对称性易得性易得 kN61221qVVBA(2)求链杆内力求链杆内力如图如图(b)所示所示 由由MC(F)=0得得kN1562162 . 112qVFBNDE由由X=0得得kN15CH由由Y=0得得0CV BE VB图图(b)CGA3m3m3m3mBCDEFGq=1kN/mf2=0.7mf1=0.5m图图(a)EFNDE图图(c)对于对于E结点如图结点如图(c)所示所示 由由X=0得得kN15NDEBEFXkN4 .157 . 0331522NBEFkN5 . 37 . 0315BEY则则由由Y=0得得kN5 . 3BENGEYF各桁式杆轴力如

29、图各桁式杆轴力如图(d)所示。所示。 -15.4-3.5-3.515-15.4图图(d)FN(kN)A3m3m3m3mBCDEFGq=1kN/mf2=0.7mf1=0.5m图图(a)(3)梁式杆内力图梁式杆内力图 如图如图(b)所示所示 由由MG(F)=0得得 mkN75. 032125 . 02qHMCGkN95.14cosCNCHFkN20.15sin3cosqHFCNGCkN91.14sin5 . 3NGCNGBFFkN15.15cossinNBEBNBGFVF kN25. 1sinCQCHFkN740. 1cos3sinqHFCQGCkN741. 1cos5 . 3QGCQGBFFkN

30、25. 1sincosNBEBQBGFVF BEVC VBHCFNDE图图(b)CG0.750.750.75M图图 (kN.m)图图 (e)14.9515.2014.9115.15图图(f)FN图图(kN)1.251.251.741.74FQ图图(kN) 图图(g)kN15CH0CV14.9515.2014.9115.15图图(f)FN图图(kN)1.251.251.741.74FQ图图(kN) 图图(g)0.750.750.75M图图 (kN.m)图图(e)：对于不同的对于不同的f1、 f2值弯矩图如值弯矩图如右图所示右图所示 f1=0, f2=1.2mf1=0.5mf2=0.7mf1=1.2mf2=0 (1) 下弦杆的轴力下弦杆的轴力变化幅度不大，但变化幅度不大，但上弦杆的弯矩变化上弦杆的弯矩变化幅度很大。幅度很大。4.5 kN.m-6 kN15 kN16.16 kN图图(h)0.75kN.m0.750.7515 kN15.4 kN-3.5 kN图图(i)4.5 kN.m15 kN15 kN0图图(k)(2) 当坡度减少（即当坡度减少（即f1减少）时，上弦杆的负弯矩（上侧减少）时，上弦杆的负弯矩（上侧受拉）增大，受拉）增大，。(3) 当坡度增大（即当坡度增大（即f1增大）时，上弦杆的正弯矩（内侧增大）时，上弦杆的正弯矩（内侧受