物流系统仿真课件第讲概率基础培训资料

1、统计学统计学STATISTICS物流系统仿真课件第讲概率基础统计学统计学STATISTICS一、随机变量的概念一、随机变量的概念随机变量随机变量表示随机试验结果的变量表示随机试验结果的变量 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值来表示，具体取值则用相应的小写字母如则用相应的小写字母如x、y、z来表示来表示 根据取值特点的不同，可分为根据取值特点的不同，可分为： 离散型离散型随机变量随机变量取值可以一一列举取值可以一一列举 连续型连续型随机

2、变量随机变量取值不能一一列举取值不能一一列举统计学统计学STATISTICS二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 3. 分布函数分布函数统计学统计学STATISTICS1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布X的的概率分布概率分布X的有限个可能取值为的有限个可能取值为xi与其概率与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间）之间的对应关系。的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质概率分布具有如下两个基本性质： （1）

3、pi0，i=1,2,n； （2）1iip统计学统计学STATISTICS离散型离散型概率分布的表示：概率分布的表示：概率函数：概率函数：P(X= xi)= pi分布列：分布列：分布图分布图X = xix1x2xnP(X =xi)=pip1p2pn0.60.300 1 2 xP( x )图图3-5 例例3-9的概率分布的概率分布统计学统计学STATISTICS2. 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的概率分布只能表示为：连续型随机变量的概率分布只能表示为： 数学函数数学函数概率密度函数概率密度函数f (x)和分布函数和分布函数F (x) 图图 形形概率密度曲线和分布

4、函数曲线概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数概率密度函数f (x)的函数值不是概率。的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率只能计算随机变量落在一定区间内的概率由由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示轴以上、概率密度曲线下方面积来表示统计学统计学STATISTICS概率密度概率密度f (x) 的性质的性质（1） f (x)0。概率密度是非负函数。概率密度是非负函数。（2）1d )(xxf所有区域上取值的概率总和为所有区域上取值的概率总和为1。 随机变量随机变量X在一定区间（在一定区间（a，b）上的概率：）

5、上的概率： dxxfbXaPba)()(xab统计学统计学STATISTICS3. 分布函数分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：分布函数的定义： F(x)PXx xxiip连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数dxxfxFx )()( 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 F(x)xx0分布函数分布函数与与概率密度概率密度统计学统计学STATISTICS三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1. 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 2. 随机变量的方差和标准差随机

6、变量的方差和标准差 3. 两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量的协方差和相关系数统计学统计学STATISTICS1. 随机变量的数学期望随机变量的数学期望又称均值又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量离散型随机变量 X的数学期望的数学期望： 相当于所有可能取值以概率为权数的平均值相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量连续型随机变量X 的数学期望：的数学期望： iiipxXE )(dxxxfxE )()( 统计学统计学STATISTICS数学期望的主要数学性质数学期望的主要数学性质若若k是一常数，则是一常数，则 E (k

7、 X) k E(X) 对于任意两个随机变量对于任意两个随机变量X、Y，有，有 E(X+Y)E(X)E(Y) 若两个随机变量若两个随机变量X、Y相互独立，则相互独立，则 E(XY)E(X) E(Y) 统计学统计学STATISTICS2. 随机变量的方差随机变量的方差方差是它的各个可能取值偏离其均值的方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为离差平方的均值，记为D(X)或或2公式：公式： 离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差： 连续型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：22)()( XEXDdxxfxxD )()(22 iiipxXD22)()( 统计学统计学STATISTIC

8、S方差和标准差方差和标准差（续）（续）标准差标准差方差的平方根方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。程度。 它们的值越大，说明离散程度越大，其概率它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：方差的主要数学性质： 若若k是一常数，则是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若两个随机变量若两个随机变量X、Y相互独立，则相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y) 统计学统计学STATISTICS【例【例3-10】试求优质品件数的数学期望、方差和标试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。准差。

9、解：解：2 . 13 . 026 . 011 . 00)(iiipxXE36. 03 . 0) 2 . 12(6 . 0) 2 . 11 (1 . 0) 2 . 10()()(2222 iiipxXD 0.6xi012pi0.10.60.3统计学统计学STATISTICS3.两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量的协方差和相关系数协方差的定义协方差的定义)()(),(YEYXEXEYXCov )()()(YEXEXYE 如果如果X,Y独立（不相关），则独立（不相关），则 Cov(X,Y)0 即即 E(XY)E(X) E(Y) 协方差在一定程度上反映了协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关

10、性之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。协方差受两个变量本身量纲的影响。 统计学统计学STATISTICS相关系数相关系数相关系数相关系数具有如下的性质：具有如下的性质：相关系数相关系数是一个无量纲的值是一个无量纲的值 0| | 1 当当=0，两个变量不相关，两个变量不相关（不存在线（不存在线性相关）性相关） 当当 | |=1，两个变量完全线性相关，两个变量完全线性相关 YXXYYXCov ),( 统计学统计学STATISTICS 四、常见离散型随机变量四、常见离散型随机变量的概率分布的概率分布3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1. 二项分布二项分布 2. 泊松分布泊松分

11、布 3. 超几何分布超几何分布统计学统计学STATISTICS1. 二项分布二项分布（背景）（背景）（背景）（背景）n重贝努里试验：重贝努里试验： 一次试验只有两种可能结果一次试验只有两种可能结果 用用“成功成功”代表所关心的结果，相代表所关心的结果，相反的结果为反的结果为“失败失败” 每次试验中每次试验中“成功成功”的概率都是的概率都是 p n 次试验相互独立。次试验相互独立。统计学统计学STATISTICS1. 二项分布二项分布在在n重贝努里试验中，重贝努里试验中，“成功成功”的次数的次数X服从参数为服从参数为n、p的二项分布，的二项分布，记为记为 X B(n , p)二项分布的概率函数：

12、二项分布的概率函数： xnxxnppCxXP )1 ()(二项分布的数学期望和方差：二项分布的数学期望和方差： )1 ()(,)(2pnpXDnpXE n1时，二项分布就成了二点分布（时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）分布）统计学统计学STATISTICS二项分布图形二项分布图形p0.5时，二项分布是以均值为中心对称时，二项分布是以均值为中心对称p0.5时，二项分布总是非对称的时，二项分布总是非对称的 p0.5时峰值在中心的右侧时峰值在中心的右侧随着随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布无限增大，二项分布趋近于正态分布p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示二项分布图示统计学统计学ST

13、ATISTICS【例【例3-11】某单位有某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至辆汽车，假设每辆车在一年中至多只发生一次损失且损失的概率为多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求。试求在一年内该单位：（在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失）没有汽车发生损失的概率；（的概率；（2）有）有1辆汽车发生损失的概率；辆汽车发生损失的概率；（3）发生损失的汽车不超过）发生损失的汽车不超过2辆的概率。辆的概率。解：解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽辆汽车中发生损失的汽车数车中发生损失的汽车数X

14、B(4,0.1)。 统计学统计学STATISTICS利用利用Excel计算二项分布概率计算二项分布概率进入进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作表格界面，点击任一空白单元格（作为输出单元格）为输出单元格）点击表格界面上的点击表格界面上的 fx 命令命令 在在 “选择类别选择类别”中点击中点击“统计统计”，在，在“选择函选择函数数”中点击中点击“BINOMDIST” 在在Number_s后填入试验成功次数后填入试验成功次数 x (本例为本例为2)； 在在Trials后填入总试验次数后填入总试验次数 n (本例为本例为4) ； 在在Probability_s后填入成功概率后填入成功概率 p

15、 (本例为本例为0.1)； 在在Cumulative后填入后填入0 (或或FALSE)，表示计算成功次，表示计算成功次数等于指定值的概率数等于指定值的概率“BINOMDIST（2，4，0.1，0）” 用用EXCEL计算二项计算二项分布的概率分布的概率统计学统计学STATISTICS2. 泊松分布泊松分布 X 服从泊松分布，记为服从泊松分布，记为XP(）:e!)(xxXPxE(X)=D(X)=当当 很小时，泊松分布呈偏态，并随着很小时，泊松分布呈偏态，并随着增增大而趋于对称大而趋于对称当当为整数时，为整数时， 和（和（-1）是最可能值）是最可能值统计学统计学STATISTICS泊松分布（应用背景

16、）泊松分布（应用背景）通常是作为稀有事件发生次数通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模的概率分布模型。型。 一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数 一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数服从泊松分布的现象的共同特征服从泊松分布的现象的共同特征 在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；是相互独立的； 各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；间起点无关； 在一段充分小的区间内事件发生两

17、次或两次以上的在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计概率可以忽略不计统计学统计学STATISTICS【例【例3-12】 设某种报刊的每版上错别字个数服从设某种报刊的每版上错别字个数服从 =2的泊松分布。随机翻看一版，求：的泊松分布。随机翻看一版，求：（1）没有错别字的概率；）没有错别字的概率；（2）至多有）至多有5个错别字的概率。个错别字的概率。解：解：设设X每版上错别字个数，则所求概每版上错别字个数，则所求概率为：率为：0.1353e! 02)0(20XP0.9834e!2) 5(502xxxXP利用利用EXCEL计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率统计学统计学STAT

18、ISTICS二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似【前提】【前提】当当n很大而很大而 p又很小时，二项分布可又很小时，二项分布可用参数用参数np 的泊松分布近似的泊松分布近似 【例【例3-13】一工厂有某种设备一工厂有某种设备80台，配备了台，配备了3个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障。求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？而不能及时维修的概率是多少？解：解：XB(n=80，p=0.01)，由于，由于np

19、=0.8很小，很小，可以用可以用0.8的泊松分布来近似计算其概率的泊松分布来近似计算其概率:00908. 099092. 01e!08. 01)3(1)4(3008. 0 xxxXPXP统计学统计学STATISTICS3. 超几何分布超几何分布 N个单位的有限总体中有个单位的有限总体中有M个单位具有某特个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单个单位，样本中具有某种特征的单位数位，样本中具有某种特征的单位数X服从超服从超几何分布，记为几何分布，记为XH(n,N,M ) nNxnMNxMCCCxXP )(1)1()(,)(2 NnNpnpXDnpXE 数

20、学期望和方差数学期望和方差:N很大而很大而n相对很小时，趋于二项分布相对很小时，趋于二项分布(p=M/N)统计学统计学STATISTICS五、常见的连续型概率分布五、常见的连续型概率分布1. 均匀分布均匀分布 X只在一有限区间只在一有限区间 a，b 上取值上取值 且概率密度是一个常数且概率密度是一个常数 其概率密度为：其概率密度为：bxaabxf ,1)(X 落在子区间落在子区间 c，d 内的内的概率与该子区间的长度成正概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关比，与具体位置无关f(x)a c d b xP(cXd)统计学统计学STATISTICS2. 正态分布正态分布XN (、 2 )，其概

21、率密度为：，其概率密度为：222)(21)( xexf正态分布的均值和标准差正态分布的均值和标准差 均值均值 E(X) = 方差方差 D(X)= 2 - x 3 的概率很小，因此可认为正的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在态随机变量的取值几乎全部集中在 - 3，+ 3 区间内区间内广泛应用广泛应用: 产品质量控制产品质量控制 判断异常情况判断异常情况 图图3-12 常用的正态概率值常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中）（在一般正态分布及标准正态分布中） -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 z -3 -2 - + +2 +3 x99.73%95.45%68.27

22、%统计学统计学STATISTICS正态分布最常用、最重要正态分布最常用、最重要大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布态分布 例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量 特点是特点是 “中间多两头少中间多两头少”由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位计理论中都占有十分重要的地位 正态分布是许多概率分布的极限分布正态分布是许多概率分布

23、的极限分布 统计推断中许多重要的分布（如统计推断中许多重要的分布（如2分布、分布、t分布、分布、F分布）分布）都是在正态分布的基础上推导出来的。都是在正态分布的基础上推导出来的。统计学统计学STATISTICS用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布XB (n，p) ，当，当n充分大时，充分大时， XN (n p，np(1-p)【例【例3-15】假设有一批种子的发芽率为假设有一批种子的发芽率为0.7。现。现有这种种子有这种种子1000颗，试求其中有颗，试求其中有720颗以上发芽颗以上发芽的概率。的概率。解：解：设设X发芽种子颗数，发芽种子颗数，XB(1000，0.7)。近似地近似地 XN

24、(700，210)。 P(X720)P(Z1.38)1P(Z1.38) 10.91620.0838 统计学统计学STATISTICS用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布的用正态分布近似二项分布的前提前提 n很大，很大， p不能太接近不能太接近 0 或或 1（否则二项分布太偏）（否则二项分布太偏） 一般要求一般要求np和和np(1-p)都要大于都要大于5如果如果np或或np(1-p)小于小于5，二项分布可以用，二项分布可以用泊松分布来近似泊松分布来近似 统计学统计学STATISTICS计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值方法一：方法一：先标准化先标准化查标准正态

25、分布函数值表查标准正态分布函数值表方法二：利用方法二：利用Excel来计算（不必标准化）来计算（不必标准化） 插入函数插入函数fx选择选择“统计统计”“NORMDIST”，进入，进入“函数参数函数参数”对话框中，对话框中， 在在X后填入正态随机变量的取值区间点；后填入正态随机变量的取值区间点； 在在Mean后填入正态分布的均值；后填入正态分布的均值； 在在Standard_dev后填入正态分布的标准差；后填入正态分布的标准差； 在在Cumulative后填入后填入1(或或TRUE)，表示计算随，表示计算随机变量取值小于等于指定值机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。的累积概率值。 统计学统计

26、学STATISTICS也可在选定的输出单元格中，顺次输入也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可函数名和参数值即可 如输入如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值确定后即可得到所求概率值0.0029798。根据概率值根据概率值F(Xx)求随机变量取值的区求随机变量取值的区间点间点 x，选择函数，选择函数“NORMINV”。 如输入如输入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,显示计算结果为显示计算结果为500。计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值统计学统计学STATISTICS3.3 大数定律与中心极限定理大数

27、定律与中心极限定理 一、大数定律一、大数定律 二、中心极限定理二、中心极限定理统计学统计学STATISTICS一、大数定律一、大数定律3.3 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 1. 独立同分布大数定律独立同分布大数定律 2. 贝努里大数定律贝努里大数定律 统计学统计学STATISTICS独立同分布大数定律独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。结果的稳定性的一系列定理的总称。独立同分布大数定律独立同分布大数定律设设X1, X2, 是独是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的立同分布的随机变量序列，且存

28、在有限的数学期望数学期望E(Xi)和方差和方差D(Xi ) 2（i=1,2,），则对任意小的正数），则对任意小的正数, 有：有： 1|1|lim1 niinXnP统计学统计学STATISTICS大数定律（续）大数定律（续）该大数定律表明：当该大数定律表明：当n充分大时，相互充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望量取值的算术平均数，与其数学期望的偏差任意小的概率接近于的偏差任意小的概率接近于1。 该定理给出了平均值具有稳定性的科该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计学描述，从而为使用样本均值去估计总

29、体均值（数学期望）提供了理论依总体均值（数学期望）提供了理论依据。据。 统计学统计学STATISTICS二、中心极限定理二、中心极限定理3.3 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 1. 独立同分布大数定律独立同分布大数定律 2. 棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理 统计学统计学STATISTICS独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理设设X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的且存在有限的和方差和方差2（i=1,2,），当），当n 时，时，)(21 nnNXnii， )/(2nNX ，或或统计学统计学STATIST

30、ICS上述定理表明上述定理表明 独立同分布的随机变量序列不管服从什么分独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其布，其n项总和的分布趋近于正态分布。项总和的分布趋近于正态分布。可得出如下可得出如下结论结论： 不论总体服从何种分布，只要其数学期望和不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量样本量n充分大，就趋于正态分布。充分大，就趋于正态分布。 该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。 统计学统计学STATISTICS【例【例3-16】有一测绘小组对甲乙两地之间的距离采用分段有一测

31、绘小组对甲乙两地之间的距离采用分段测量的方法进行了测量，将甲乙之间的距离分测量的方法进行了测量，将甲乙之间的距离分成为成为100段。设每段测量值的误差（单位：段。设每段测量值的误差（单位：cm）服从区间（服从区间（1，1）上的）上的均匀分布均匀分布。试问：对。试问：对甲乙两地之间距离的测量值的总误差绝对值超甲乙两地之间距离的测量值的总误差绝对值超过过10cm的概率是多少？的概率是多少？解：解：设设 Xi第第i段测量误差（段测量误差（i=1,2,），由于），由于Xi服从均匀分布，服从均匀分布，E(Xi)0，D(Xi )21(1)2/12=1/3。根据上述中心极限定理，可。根据上述中心极限定理，可得，得，总误差总误差YXiN(0,100/3)。 统计学统计学STATISTICS棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理设随机变量设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n,p)的，那的，那么当么当n 时，时，X服从均值为服从均值为np、方差为、方差为 np(1-p) 的正态分布，即：的正态分布，即： )1(pnpnpNX ，)10()1(，NpnpnpX 或：或：上述定理表明：上述定理表明： n很大，很大，np 和和 np(1p)也都不太小时，二项也都不太小时，二项分布可以用正态分布去近似。分布可以