复数的乘除法 (讲)

1、复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：1.1.运算法则运算法则: :设复数设复数 z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di=c+di, , 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; z; z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与实部就是实部与实部, , 虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).2.2.复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z

2、3 3C,C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).回顾回顾计算计算 )43()2()65(iiiii11)416()325(复数运算复数运算转化转化为为实数的运算实数的运算v 你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？问题一?)2()43()21 (iii数系扩充原则：数系扩充原则： 数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，数系扩充后，在复数系

3、中规定的加法运算、乘法运算，实数系中规定的实数系中规定的：加法和乘法：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。v即即 对任何对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有：有：vz z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ;v(z(z1 1z z2 2) )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3););vz z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. . 复数代数形式的加减运算法则复数代数形式的加减运算法则: : 设复数设复数 z z1 1=a+bi,z=a+

4、bi,z2 2=c+di=c+di, ,那么：那么： z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; z; z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .多项式多项式加减运算加减运算一、复数代数形式的的乘法一、复数代数形式的的乘法1.1.复数乘法的运算法则：复数乘法的运算法则：A.A.复数的乘法复数的乘法多项式的乘法；多项式的乘法；B.B.所得的结果中把所得的结果中把i i2 2换成换成-1-1；C.C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）. .(a+bi)(c+di(a

5、+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i. .2.2.复数乘法的运算律复数乘法的运算律 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以及乘法对加法的以及乘法对加法的分配律分配律. .v即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有有vz z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ;v(z(z1 1z z2 2) )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3););vz z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+

6、z1 1z z3 3. .112342.iii 例计算. i1520i2i 211i2i 43i 21解 22: 13434 ;21.iii例计算 .,计算计算公式公式也可以用乘法也可以用乘法则计算则计算本例可以用复数乘法法本例可以用复数乘法法分析分析 .法公式相对应的公式法公式相对应的公式指的是与实数系中的乘指的是与实数系中的乘 .25169i 43i 43i 43221 1解 . i 21i 21ii 21i1222 实数集实数集R R中的完全平方公式、平方差公式、立方和中的完全平方公式、平方差公式、立方和（差）公式在复数集（差）公式在复数集C C中仍然成立中仍然成立结论1引申2实数集实数

7、集R R中的整数指数幂的运算律在复数集中的整数指数幂的运算律在复数集C C中也成立中也成立z zm mz zn n=z=zm+nm+n; ; （z z1 1z z2 2) )m m =z=z1 1m mz z2 2m m; (z; (zm m) )n n=z=zm m n n 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个数叫做互为时，这两个数叫做互为共轭复数共轭复数。（通常记。（通常记z z的共轭复的共轭复数为数为z）虚部不等于虚部不等于0 0的两个共轭复数也叫做的两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数。 .i 43 , i 431称为共轭复数

8、中的两个复数本例1.zz1.zz与与|z|z|、|z|z|有什么关系？有什么关系？2.2.若若z z为实数，则为实数，则z z与其共轭复数与其共轭复数z z什么关系？什么关系？3.3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？探究2：z z 。z z求求满足满足(3-4i)(3-4i)z = 1+2iz = 1+2i，引例引例 复数复数二、复数代数形式的除法二、复数代数形式的除法02222dicidcadbcdcbdacdicbiadicbiai435练习：练习： 的共轭复数为的共轭复数为 。(3)(23i)(1i)(2i)(3i)（1 1）复数的乘法；）复数的乘法；（2 2）复数的除法；）复数的除法；归纳小结通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？1.1.知识知识2.2.思想方法思想方法3.3.能力能力转化与化归转化与化归 ( (复数问题实数化）复数问题实数化）归纳归纳 类比类比 创新创新（3