春人教高中数学必修五时解三角形的实际应用举例——高角问题学习教案

1、会计学1春人教高中数学必修五时解三角形的实际春人教高中数学必修五时解三角形的实际(shj)应用举例应用举例高角问题高角问题第一页，共35页。1.现实生活中,人们是怎样测量(cling)底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量(cling)飞机下方山顶的海拔高度呢？第1页/共35页第二页，共35页。今天我们(w men)就来共同探讨这些方面的问题.2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下(rxi)的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？第2页/共35页第三页，共35页。1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些(yxi)有关底部不可到达的物

2、体高度测量的问题. (重点)2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.(难点)3.分清仰角(yngjio)、俯角、方向角、方位角和视角及坡度、经纬度等概念.第3页/共35页第四页，共35页。探究点1 测量(cling)底部不可到达的建筑物的高度例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计(shj)一种测量建筑物高度AB的方法.【解题关键】如图，求AB长的关键是先求AE，在 ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察(gunch)A的仰角，就可以计算出AE的长.第4页/共35页第五页，共35页。【解析】选择一条(y tio

3、)水平基线HG，使H、G、B三点在同一条(y tio)直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得asinasinAC =AC =sin（sin（-）AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+hasinasinsinsin=+h.=+h.sin（sin（-）第5页/共35页第六页，共35页。 如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置(wi zhi)时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄

4、CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA0）（精确到1mm）.【变式练习(linx)】第6页/共35页第七页，共35页。【解题(ji t)关键】此题可转化为“已知在ABC中，BC85 mm，AB340 mm，ACB80，求AA0 ” 【解析(ji x)】如图,在ABC中，由正弦定理可得：为为为为锐锐 0.2462.0.2462.因因BC AB,所BC AB,所以以BAC角BAC角，所所以以BAC14BAC141515BCsinACBBCsinACBsinBAC =sinBAC =ABAB8585sin80sin80 = =340340，

5、 - （- （BAC+ABAC+A所所以以CB）CB） 8585B =18B =1845450.0.第7页/共35页第八页，共35页。又由正弦(zhngxin)定理：答：活塞(husi)移动的距离约为81 mm 00340 sin85sin8034544.3 BsinBsinA =A =ABABC CsinsinACBACB= =（mmmm）. .A A（340+85340+85）-344-344A=A C-ACA=A C-AC= =（AB+BCAB+BC） - -. .A A3 3= =C C80.780.7（mmmm）第8页/共35页第九页，共35页。例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面(

6、dmin)上一点A的俯角 =5440，在塔底C处测得A处的俯角=501 ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 据已知条件(tiojin),大家能设计出解题方案吗？【解题(ji t)关键】若在ABD中求BD，则关键需要求出哪条边呢？那又如何求BD边呢？第9页/共35页第十页，共35页。【解析】在ABC中，BCA=90+,ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦(zhngxin)定理，BCABBCAB=，=，sin（sin（-） sin（sin（9090）BCsin（BCsin（9090）BCcosBCcos所所以以AB =AB =sin（sin（-）si

7、n（sin（-）解解RtRtABD，ABD，得得BCcBCc + + + +osossinsinBD = ABsinBD = ABsinBAD =.BAD =.sin（sin（-）第10页/共35页第十一页，共35页。答：山的高度(god)约为150米.把测量(cling)数据代入上式，得CD=BD-BC177.4-27.3150(m).sin54sin50sin54si140401140177.439n 27.35027.350= =27.35027.350coscosBDBD（5454）coscos= =4 4（m m）第11页/共35页第十二页，共35页。【互动探究】有没有别的解题(ji

8、 t)思路呢？先在ABC中，根据正弦(zhngxin)定理求得AC.再在ACD中求CD即可.第12页/共35页第十三页，共35页。B 【变式练习(linx)】第13页/共35页第十四页，共35页。例3 如图,一辆汽车(qch)在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25的方向上,仰角为8,求此山的高CD(精确到1 m).第14页/共35页第十五页，共35页。【解析】在ABC中，A=15, C= 25-15=10.根据(gnj)正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81 047(m).答：山的高约为1 04

9、7米.正确(zhngqu)转化为数学模型si7.452 4n5sin15sinsin10ABAB= =，ACACABAABABC=BC=C C （kmkm）BCBCsinsinsinsin第15页/共35页第十六页，共35页。【变式练习(linx)】100 6第16页/共35页第十七页，共35页。第17页/共35页第十八页，共35页。例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次(xi c)航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?(角度精确到

10、0.1,距离精确到0.01 n mile)探究点2 测量(cling)角度问题第18页/共35页第十九页，共35页。【解题关键(gunjin)】首先求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB.第19页/共35页第二十页，共35页。【解析(ji x)】在 ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据正弦(zhngxin)定理,sinBCBCsinsinsinsinACAC= =，CABABCCABABCBCABCBCABCsin CAB=sin CAB=ACAC22222cos67.554.02 67.5 54.0 cos1371

11、13.15 AC= ABBCAB BCABCAC= ABBCAB BCABC= =，第20页/共35页第二十一页，共35页。 0.325 5，0.325 5，所所以以，CAB =19.0CAB =19.054.0si54.0si，7575 -n137n137= =1 1CAB =56CAB =5613.1513.15.0.0. .此此船船沿沿北北偏偏56.056.0的的方方向向航航行行，需需要要航航行行113.15n m l113.15n m l答答e.e.：i i应应该该东东第21页/共35页第二十二页，共35页。【解析(ji x)】如图，在ABC中，由余弦定理得： 我舰在敌岛A南偏西50的

12、方向(fngxing)上，且与敌岛A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10的方向(fngxing)以10海里/小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向(fngxing)航行才能用2小时追上敌舰？(精确到1）ACB405010【变式练习(linx)】第22页/共35页第二十三页，共35页。所以(suy)我舰的追击速度为14海里/小时.2222222222BC = AC +AB -2ABBC = AC +AB -2ABACACcoscosBACBAC1 1 = 20 +12 -2 = 20 +12 -212122020 （- ）- ）2 2 =784， =784，所所以以BC = 2

13、8.BC = 28.第23页/共35页第二十四页，共35页。答：我舰需以14海里(hil)/小时的速度，沿北偏东12方向航行才能用2小时追上敌舰.ABCACBCsinBsinAACsinA5 3si3850 -3812nBBC14B.又在中，由正弦定理得：，故，所故航行的方向为北偏东以 第24页/共35页第二十五页，共35页。C 第25页/共35页第二十六页，共35页。B 第26页/共35页第二十七页，共35页。7第27页/共35页第二十八页，共35页。第28页/共35页第二十九页，共35页。4.3.5 m长的木棒斜靠(xi ko)在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2

14、.8 m的地方，求堤对地面的倾斜角. (精确到0.01）第29页/共35页第三十页，共35页。答：堤对地面(dmin)的倾斜角为63.77.钝钝钝钝为为【解解析析】222222 -. .由由余余弦弦定定理理得得，1.2 +2.8 -3.51.2 +2.8 -3.5cos（cos（180180 -） = =221.21.22.82.8 -0.442. -0.442.所所以以 棒 棒、石石堤堤及及地地面面构构成成一一角角三三角角形形，其其角角大大小小1 1coscos=0.442，=0.442，所所以以 6 680803.773.77第30页/共35页第三十一页，共35页。1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景(bijng)资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.第31页/共35页第三十二页，共35页。实际(shj)问题抽象概括示意图数学模型推理演算