控制理论lesson11-§1.8多变量系统的传递函数阵

1、.1.8 多变量系统的传递函数阵 一一. .传递矩阵的概念传递矩阵的概念 1.1.传递函数阵的概念传递函数阵的概念 在经典理论中，我们常用传递函数来表示单入、单出线性定常系统输入输出间的传递特性。 其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 即 或,)()()(sUsYsG)()()(sUsGsY. 对于双输入双输出系统(见下图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出。如：u1(s),u2(s)为输入，y1(s),y2(s)为输出。 Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。1u2u11( )Gs21( )Gs12( )Gs22( )Gs1y2y)()()()()()

2、()()()()(22212122121111sUsGsUsGsYsUsGsUsGsY.表示成矩阵形式：111121221222( )( )( )( )( )( )( )( )Y sGsGsU sY sGsGsUs122212 )s(U)s(G)s(Y即 则G G(s)称为系统的传递函数阵或称传递矩阵。. 对于多输入、多输出线性定常系统，也可把传递函数阵的概念如上推广。设系统有r个输入变量，m个输出变量。则传递矩阵的形式为：)()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsmrmmrrG.U(s):输入矢量.Y(s):输出矢量E(s):误差矢

3、量G0(s):前向通道的传递矩阵H(s):反馈通道的传递矩阵2.闭环传递函数矩阵： 系统闭环传递函数的概念也可推广到多输入多输出系统中，称为闭环传递矩阵。设多输入多输出闭环系统如下：( )U s( )E s0( )G s( )H s( )Y sF(s)-.而)()()()()()(sYsHsUsFsUsE)()()()()()()(00sYsHsUsGsEsGsY )s(U)s(G)s(Y)s(H)s(GI00 100G( )( )( )( )sIG s H sG s所以闭环传递矩阵为：故 )s(U)s(G)s(H)s(GI)s(Y010 左乘逆阵 得 10I )s(H)s(G( )U s(

4、)E s0( )G s( )H s( )Y sF(s)-由结构图知：.( )(1,1, )ijGs im jr表示第i个输出与第j个输入之间的传递函数。其中：2).传递矩阵是一个mr 阶矩阵，其一般形式为：1). 矢量不能写成 的比值形式。也不能任意交换运算顺序。如：几点讨论：( )/( )Y sU s)()()()()(00sGsEsEsGsY)()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsmrmmrrG.1122( )0( )( )0( )mmGsGsG sGs即表示系统的第i个输出只与第i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。

5、3).若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为对角形，称为传递矩阵的解耦形式。.例：机械位移系统 设系统原处于静止状态。 输入：F1,F2 输出：Y1,Y2求传递矩阵。二.传递函数阵的求法：1.1.由微分方程的拉氏变换式求由微分方程的拉氏变换式求传递矩阵传递矩阵. .解：写微分方程211211112()d yd yymfk yFdtdt222122222()d yd yymfk yFdtdt211121( )( )( )m sfsk Y sfsY sF s212212( )( )( )m sfskY sfsY sF s211111222212( )( )( )( )Y sF sm sf

6、skfsY sF sfsm sfsk写成矩阵形式：设初始条件为零，取拉氏变换：.DuCxyBuAxx ( )( )( )( )( )( )sX sAX sBU sY sCX sDU s)()(1sBUAsIsX1211222( )m sfskfsG sfsm sfsk得设零初始条件，取拉氏变换 . 2. 2.由状态空间表达式求传递函数阵：由状态空间表达式求传递函数阵： 已知状态空间表达式为已知状态空间表达式为: :.DBAsICsG1)(nnnasasAsIadjAsIAsIadjAsI111)()det()(111111()( )rnnnmmrGGC adj sIABD sIAG ssa s

7、aGG可见 是G(s)中每一项的分母多项式，故A的特征值就是 G(s)的极点。)()(1sUDBAsICsY代入输出sIA.uxxxx52131521212121xxy52131521)(11ssBAsICsG)4)(2(591252865311212sssssss解：求传递函数阵。例：已知标量系统：.例： 1.求出每个输出与各个输入的传递函数 2.将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传递形式. 3.按图中输入输出关系写传递矩阵. 3. 3.由系统结构图求传递函数阵：由系统结构图求传递函数阵：1u2u1G2GHy-.即11212111GGGGGUY1221221GGGGUY211211)(U

8、UGGsY1211)(GGsG1u2u11G12GYuY( )G s定理：线性变换不改变系统得传递矩阵.三.传递矩阵的性质：.DDCPCBPBAPPA,11DBPAPPsPPCP1111DBPPAsIPCP111DBPPAsIPCP111)()(1sGDBAsIC则变换后：取线性变换P：1( )G sC sIABD证明：设原系统的传递矩阵为：DBAsICsG1)(.v图1-44 子系统串联)()()(111sssUGY)()()()()()()()()()(111212222ssssssssssUGUGGYGUGY四、子系统串并联组合系统传递函数阵四、子系统串并联组合系统传递函数阵.图1-45 子系统并联)()()(11sssUGY)()()(22sssUGY)()()()()()()()()()()()( 212121ss