第五章边界层理论

1、第五章边界层理论第五章边界层理论在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或管道限制的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的管道限制的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速度的梯度很小。度的梯度很小。首先由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速首先由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将无度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将无粘性力存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程粘性力存在，视为理想流体，用

2、欧拉方程或伯努利方程就可求解。就可求解。而靠近固体壁面的一个薄层而靠近固体壁面的一个薄层称为流动边界层，称为流动边界层，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程简化后再去求解。简化后再去求解。这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。第一节边界层理论的基本概念第一节边界层理论的基本概念一、边界层的定义

3、一、边界层的定义流体在绕流过流体在绕流过固体壁面流动时紧固体壁面流动时紧靠固体壁面形成速靠固体壁面形成速度梯度较大的流体度梯度较大的流体薄层称为边界层。薄层称为边界层。把流速相当于主流区速度的把流速相当于主流区速度的 0.99 处处(即即 v 0.99 v0)到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。二、边界层的形成与特点二、边界层的形成与特点流体流过管道时，两种不同的流动形态的判别标流体流过管道时，两种不同的流动形态的判别标准是雷诺数准是雷诺数 Re = Dv/。对于流体绕平板的流动，两种不同的流态的分界线对于流体绕平板的流动，两种不同的流态的分界线仍然由雷

4、诺数给出，只不过这时的雷诺数表示形式为仍然由雷诺数给出，只不过这时的雷诺数表示形式为Rex = xv0/ （1）层流区：流体统流进入平板后，当进流长度不是）层流区：流体统流进入平板后，当进流长度不是很长，很长，xxc(xc为对应为对应Rex2105的进流深度的进流深度)，这时，这时Rex 2105，边界层内部为层流流动，这一个区域称，边界层内部为层流流动，这一个区域称为层流区。为层流区。（2）过渡区：随着进流深度的增长，当）过渡区：随着进流深度的增长，当x xc，使得，使得Rex 2105 ，且，且Rex 3106时，边界层内处于一种时，边界层内处于一种不清楚的流动形态，部分层沉，部分湍流，故

5、称为过渡不清楚的流动形态，部分层沉，部分湍流，故称为过渡区。在这一区域内边界层的厚度随进流尺寸增加的相对区。在这一区域内边界层的厚度随进流尺寸增加的相对较快。较快。（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex 3106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流底层

6、，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动既可以为层流，也可以为湍流。既可以为层流，也可以为湍流。第二节平面层流边界层微分方程第二节平面层流边界层微分方程应用边界层理论的思想与边界层厚度

7、很薄的特点来应用边界层理论的思想与边界层厚度很薄的特点来把该方程在边界层内部简化并求解；至于边界层之外的把该方程在边界层内部简化并求解；至于边界层之外的主流区，则由欧拉方程或伯努利方程描述。主流区，则由欧拉方程或伯努利方程描述。对于二维平面不可压缩层流稳定态流动，在直角坐对于二维平面不可压缩层流稳定态流动，在直角坐标系下满足的控制方程为标系下满足的控制方程为(5-1)式中已去掉了质量力，这主要考虑到对于二维平面式中已去掉了质量力，这主要考虑到对于二维平面的不可压缩流体，质量力对流动状态产生的影响很小。的不可压缩流体，质量力对流动状态产生的影响很小。式式(5-1)中的第一式为连续性方程；第二式为

8、中的第一式为连续性方程；第二式为x方向方向的动量传输方程，可简化为的动量传输方程，可简化为(5-2)式式(5-1)中的第三式为中的第三式为 y 方向的动量传输方程，因为方向的动量传输方程，因为边界层厚度边界层厚度 很小，除很小，除 1/(p/y)项外，其它各项与项外，其它各项与 x 方方向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为(5-3)因为因为p/y=0故故x方向动量中方向动量中 p/x 可以写为全微可以写为全微分分dp/dx。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时，。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时，特别是式中特别是式中 p/x 成为全微分后

9、，其值可由主流区的运成为全微分后，其值可由主流区的运动方程求得。对主流区同一动方程求得。对主流区同一 y 值，不同值，不同 x 值的伯努利值的伯努利方程可写为方程可写为(5-4)由于由于 与与 v0 为常量，故为常量，故 p 也为常量，即也为常量，即dp/dx=0，所以式所以式(5-2)可进一步简化可进一步简化(5-5)该方程称为普朗特边界层微分方程，它与连续性方该方程称为普朗特边界层微分方程，它与连续性方程式构成了求解边界层内流体流动的控制方程组，即式程式构成了求解边界层内流体流动的控制方程组，即式(5-1)方程组简化为方程组简化为(5-6)再加上如下的边值条件，就构成完备的定解问题。再加上

10、如下的边值条件，就构成完备的定解问题。边界条件：边界条件：(5-7)第三节边界层内积分方程第三节边界层内积分方程以二维绕平面以二维绕平面流动为例来导出边流动为例来导出边界层积分方程，如界层积分方程，如固固5-2所示。所示。首先对控制体首先对控制体（单元体）做动量平（单元体）做动量平衡计算（在计算过程衡计算（在计算过程中取垂直于纸面中取垂直于纸面 z 方方向为单位长度）：向为单位长度）：1）流体从）流体从AB面单位时间流入的动量记为面单位时间流入的动量记为 Mx 。由。由图图5-2知，从知，从 AB 面单位时间流入的质量为面单位时间流入的质量为2）流体从）流体从 CD 面单位时间流出的动量记为面

11、单位时间流出的动量记为 Mx+x： 从从 CD 面单位时间流出的质量为面单位时间流出的质量为(5-10)(5-11)3）流体从）流体从 BC 面单位时间流入的动量为面单位时间流入的动量为 Ml 由质由质量守恒可知，因为量守恒可知，因为 AD 面没有流体的流入与流出，所以面没有流体的流入与流出，所以 BC 面流入的质量流量必须等于面流入的质量流量必须等于 CD 面及面及 AB 面上的质面上的质量流量之差，即量流量之差，即又因为又因为 BC 面取在边界层之外，所以流体面取在边界层之外，所以流体沿沿 x 方向方向所具有的速度近似等于所具有的速度近似等于 v0 由由 BC 面流入的动量的面流入的动量的

12、 x 分量分量为为(5-12)4）AD 面上的动量由于面上的动量由于 AD 是固体表面，无流体是固体表面，无流体通过通过 AD 流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决定的粘性动量通量是存在的，其量值为定的粘性动量通量是存在的，其量值为 0 ，所以在控，所以在控制体内由制体内由 AD 面单位时间传给流体的粘性动量为面单位时间传给流体的粘性动量为 0 x。沿沿 x 方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以作用在作用在 AB 面与面与 CD 面上的压力差而施加给控制体的冲面上的压力差而施加给控制体的冲量为量为(5-13

13、)由讨论边界层微分方程时我们知道由讨论边界层微分方程时我们知道 p/y=0，所以：，所以：(5-14)由动量守恒可得由动量守恒可得(5-15)(5-16)本章小结本章小结本章重点叙述了边界层的概念、特点，建立了边界本章重点叙述了边界层的概念、特点，建立了边界层的微分方程、积分方程，并介绍了求解方法。对平板层的微分方程、积分方程，并介绍了求解方法。对平板绕流摩擦阻力的计算也进行了简要介绍。实际上，边界绕流摩擦阻力的计算也进行了简要介绍。实际上，边界层理论是在数值模拟技术没有发展起来之前，人们为了层理论是在数值模拟技术没有发展起来之前，人们为了运用流体流动的控制方程去解决工程实际问题的一部分运用流体流动的控制方程去解决工程实际问题的一部分重要工作。尽管现在数值模