线性规划问题的数学模型

1、Page 1Page 2 基解：基解：某一确定的基某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件，令非基变量等于零，由约束条件方程方程解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过，基解的总数不超过 基可行解：基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。行解。 可行基：可行基：对应于基可行解的基称为可行基。对应于基可行解的基称为可行基。mnC非可行解非可行解可可行行解解基解基解基可行解基可行解Page 3例例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。求

2、线性规划问题的所有基矩阵。 5 , 1, 0226103524max53214321321jxxxxxxxxxxxxZj解解: 约束方程的系数矩阵为约束方程的系数矩阵为25矩阵矩阵 10261001115Ar(A)=2，2阶子矩阵有阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有个，其中基矩阵只有9个，即个，即 100116010211120101015061111005261161015987654321BBBBBBBBBPage 4线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法一一 般般 有有两种方法两种方法图图 解解 法法单纯形法单纯形法两个变量、直角坐标两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标三个变量、立体

3、坐标适用于任意变量、但必需将适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。探线性规划基本原理和几何意义等优点。Page 5max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2

4、 0例例1.5 用图解法求解线性规划问题用图解法求解线性规划问题Page 6x1x2oX1 - 1.9X2 = 3.8()X1 + 1.9X2 = 3.8()X1 - 1.9X2 = -3.8 ()X1 + 1.9X2 = 10.2()4 = 2X1 + X2 20 = 2X1 + X2 17.2 = 2X1 + X2 11 = 2X1 + X2 Lo： 0 = 2X1 + X2 （7.6，2）Dmax Zmin Z此点是唯一最优解，此点是唯一最优解，且最优目标函数值且最优目标函数值 max Z=17.2可行域可行域max Z = 2X1 + X2Page 7max Z=3X1+5.7X2x1

5、x2oX1 - 1.9X2 = 3.8 ()X1 + 1.9X2 = 3.8()X1 - 1.9X2 = -3.8()X1 + 1.9X2 = 10.2 ()（7.6，2）DL0： 0=3X1+5.7X2 max Z（3.8，4）34.2 = 3X1+5.7X2 蓝色线段上的所有点都是最蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值优解，但是最优目标函数值max Z=34.2是唯一的。是唯一的。可行域可行域Page 8min Z=5X1+4X2x1x2oX1 - 1.9X2 = 3.8 ()X1 + 1.9X2 = 3.8()X1 + 1.9X

6、2 = 10.2 ()DL0： 0=5X1+4X2 max Z min Z 8=5X1+4X2 43=5X1+4X2 （0，2）可行域可行域此点是唯一最优解此点是唯一最优解Page 9 006346321212121xxxxxxxx、246x1x2246无界解无界解( (无最优解无最优解) )max Z=x1+2x2例例1.6x1+x2=4()x1+3x2=6()3x1+x2=6() max Z min Zx1x2O10203040102030405050无可行解无可行解(即无最优解即无最优解)0,050305 .140221212121 xxxxxxxxmax Z=3x1+4x2例例1.7P

7、age 11学习要点：学习要点：1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）2. 作图的关键有三点：作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动目标函数的直线怎样平行移动Page 12凸集：如果集合凸集：如果集合C中任意两个点中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点，其连线上的所有点也都是集合也都是集合C中的点，称中的点，称C为凸集。为凸集。凸集凸集凸集

8、凸集不是凸集不是凸集顶顶 点点Page 13定理定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。凸集。定理定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。（或在某个顶点取得）解。（或在某个顶点取得）Page 14Page 15单纯形表单纯形表jcnmmcccc11BcBXbmcc 1mxx 1mbb 1nmmxxxx 11im 1mnmmnmaaaa1,11, 110010 0 ijijjacc j 0 kjkjiiaab其其中中：Page 16例例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最

9、优解用单纯形法求下列线性规划的最优解 0,30340243max21212121xxxxxxxxZ解：解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为则标准型为: 0,30340243max432142132121xxxxxxxxxxxxZPage 172）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。cj3400icB基基bx1x2x3x40 x34021100 x430130134003)1020(3)(2141131 acacc1 检验数检验数j Page 183）进行最优性检验）进行最优性检验如果表

10、中所有检验数如果表中所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。的最优解，计算停止。否则继续下一步。0 j4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表列出新的单纯形表确定换入基的变量。选择确定换入基的变量。选择 ，对应的变量，对应的变量xj作为换入变作为换入变量，当有一个以上检验数大于量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个时，一般选择最大的一个检验数，即：检验数，即： ，其对应的，其对应的xk作为换入作为换入变量。变量。确定换出变量。根据下式计算并选择确

11、定换出变量。根据下式计算并选择 ，选最小的选最小的对应基对应基变量作为换出变量。变量作为换出变量。0 j0|max jjk 0minikikiLaabPage 19用换入变量用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。一个新的单纯形表。5）重复）重复3）、）、4）步直到计算结束为止。）步直到计算结束为止。Page 20cj3400icB基变量基变量bx1x2x3x40 x34021100 x430130134000 x34x

12、23x14x2j j j 换入列换入列bi /ai2，ai204010换换出出行行将将3化为化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘乘以以1/3后后得得到到103/51/518011/52/540011Page 21例例1.9 用单纯形法求解用单纯形法求解 02053115232.2max321321321321xxxxxxxxxtsxxxZ、解：将数学模型化为标准形式：解：将数学模型化为标准形式： 5 , 2 , 1, 02053115232.2max53214321321jxxxxxxxxxtsxxxZj不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表

13、计算。可作为初始基变量，列单纯形表计算。Page 22cj12100icB基变量基变量bx1x2x3x4x50 x4152-32100 x5201/31501121000 x42x2j 201/3150120753017131/30902j 256011017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/3j Page 23学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤Page 24人工变量法：人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位

14、矩阵，很容易前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大MM法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。为人工变量法。Page 25

15、例例1.10 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划 012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式 5 , 2 , 1, 012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。Page 26故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： 7 , 2 , 1, 012210243423ma

16、x732153216432176321jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj其中：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 Page 27cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i0 x64-431-10104-Mx5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M0 x63-650-1013/5

17、-Mx58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/50-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3j j j j Page 28解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线则线 规划具有唯一最优解。规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,

18、则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个）无界解判别：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性）则线性规划具有无界解。规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并单纯形法计算得到最优解并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。存在某个基变量为零的基本可行解。Page 29单纯性法小结单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式

19、极大或极小极大或极小新加变量新加变量系数系数两两个个三个三个以上以上xj0 xj无无约束约束xj 0 bi 0bi mi 时，企业愿意时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为购进这种资源，单位纯利为yi*mi ，则有利可图；如果，则有利可图；如果yi* mi 则购进资源则购进资源i，可获单位纯利，可获单位纯利yi*mi 若若yi* mi则转让资源则转让资源i ，可获单位纯利，可获单位纯利miyiPage 723）影子价格在资源利用中的应用）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0 , YsX*=0表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某

20、种资源bi未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资源的影子价格为源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为0时，表明时，表明该种资源在生产中已耗费完。该种资源在生产中已耗费完。Page 734）影子价格对单纯形表计算的解释）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数单纯形表中的检验数 miiijjjBjjyacPBCc11其中其中c cj j表示第表示第j j种产品的价格种产品的价格; ; 表示生产该种产品所表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和消耗的各项资源的影子价格的总和, ,即产品的隐含成本。即产品的隐含成本。 miiijya1当产值大

21、于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源生产别的，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。产品更有利，不在生产中安排该产品。0 j 0 j Page 74 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。法。 找出一个对偶问题的可行基，

22、保持对偶问题为可行解的找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断条件下，判断XB是否可行（是否可行（XB为非负），若否，通过变换基为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。可得最优解。Page 75找出一个找出一个DP的可行基的可行基LP是否可行是否可行（XB 0）保持保持DP为可行解情况下转移到为可行解情况下转移到LP的另一个基本解的另一个基本解最优解最优解是是否否循循环环结束结束Page 76例例2.9 用对

23、偶单纯形法求解：用对偶单纯形法求解： )3.2.1(0145 1232102215129min321321321321jxxxxxxxxxxxxxZj解解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数0（求（求max问题）。问题）。Page 77 014 5 12 3210 2215129max61632153214321321xxxxxxxxxxxxxxxxZcj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-2-2-1100-100 x

24、5-2-3-1010-120 x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1. -15/-5)j-9-12-150000iPage 78cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/5-9/5010-1/5-36/50 x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342icj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/

25、-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14ij j Page 79cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3j 原问题的最优解为：原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），），Z* =72 其对偶问题的最优解为：其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），），W*= 72Page 80 对偶单纯形法应注意的问题：对偶单纯形法应注意的问题： 用对

26、偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解偶问题的最优解 初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则判别准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题 j j00，分母分母a aij ij0 0 这时必须取绝对值。在极大化问题中，这时必须取绝对值。在极大化问题中， j j00，分母，分母a aij ij00， 总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如总满足非负，这时绝对值符号不起作用，

27、可以去掉。如在本例中将目标函数写成在本例中将目标函数写成ijja 这里这里 j j 0 0在求在求 k k时就可以不带绝对值符号。时就可以不带绝对值符号。32134maxxxxz ijja Page 81 对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；量后确定进基变量； 普通单纯形法的最小比值是普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是

28、个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是 0minikikiiaab其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 0|minljljjjaa 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规则，任选一个小于零的规则，任选一个小于零的b bii对应的基变量出基，不影响计算结果，对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。只是迭代次数可能不一样。 0|min iilbbbPage 82学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟

29、练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型表上作业法表上作业法运输问题的应用运输问题的应用 Page 84例例3.1 某公司从两个产地某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？小？B1B2B3产量产量A1646200A2655300销量销量150150200Page 85解：产销平衡问题：总产量解：产销平衡问题：总

30、产量 = 总销量总销量500 设设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列运输量的运输量，得到下列运输量表：表：B1B2B3产量产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量销量150150200Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）Page 86运输问题的一般形

31、式：产销平衡运输问题的一般形式：产销平衡A1、 A2、 Am 表示某物资的表示某物资的m个产地；个产地； B1、B2、Bn 表示表示某物质的某物质的n个销地；个销地；ai 表示产地表示产地Ai的产量；的产量； bj 表示销地表示销地Bj 的销量；的销量； cij 表示把物资从产地表示把物资从产地Ai运往销地运往销地Bj的单位运价。设的单位运价。设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：的运输量，得到下列一般运输量问题的模型： minjijijxcz11min njmixnjbxmiaxtsijjmiijnjiij, 1;, 1, 0, 1, 1

32、.11Page 87变化：变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束约束条件（等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。地（产大于销时）。定理定理: 设有设有m个产地个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为量数为m+n-1。Page 88表上作业法是一种求解运

33、输问题的特殊方法，其表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯实质是单纯形法。形法。步骤步骤描述描述方法方法第一步第一步求初始基行可行解（初始调运方案）求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、最小元素法、元素差额法、元素差额法、第二步第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数检验数 ij ij全都非负时得到最优解，若存在检验全都非负时得到最优解，若存在检验数数 ij ij 00，说明还没有达到最优，转第三步。，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位闭回路法和位势法势法第三步第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运调整运量

34、，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步量进行调整得到新的基可行解，转入第二步Page 89例例3.2 3.2 某运输资料如下表所示：某运输资料如下表所示：单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量3 311113 310107 71 19 92 28 84 47 74 410105 59 9销量销量3 36 65 56 64321 BBBB321AAA问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？Page 90解：第解：第1步步 求初始方案求初始方案方法方法1：最小元素法：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调基

35、本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058341633Page 91总的运输费总的运输费(31)+(64) +(43) +(12)+(310)+(35)=86元元元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方最小运价先调运，否则会

36、增加总运费。例如下面两种运输方案。案。85102120151515510总运费是总运费是z=108+52+151=105最小元素法：最小元素法：Page 9285102120151551510总运费总运费z=105+152+51=85后一种方案考虑到后一种方案考虑到C11与与C21之间之间的差额是的差额是82=6，如果不先调运，如果不先调运x21，到后来就有可能，到后来就有可能x110，这，这样会使总运费增加较大，从而先样会使总运费增加较大，从而先调运调运x21，再是，再是x22，其次是，其次是x12用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称

37、为近似方案。以也称为近似方案。Page 93方法方法2：Vogel法法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058Page 942）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。时，划去

38、运价表中对应的行或列。重复重复1)和和2)，直到找出初始解为至。，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A3 9销量销量3656311310192741058Page 95单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71135215Page 96单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71352753Page 97单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产

39、量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA11351536312该方案的总运费该方案的总运费:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元Page 98求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记验数来判断，记xij的检验数为的检验数为ij由第一章知，求最小值的运由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方法有两种：求检验数的方

40、法有两种： 闭回路法闭回路法 位势法（位势法（）Page 99闭回路的概念闭回路的概念,132222111jsisjsijijijijixxxxxx称称集集合合),(2121互互不不相相同同；其其中中ssjjjiii为一个闭回路为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表量的连线为闭回路的边。如下表Page 100例下表中闭回路的变量集合是例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31共共有有8个顶点，这个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成个顶点间用水平或垂直

41、线段连接起来，组成一条封闭的回路。一条封闭的回路。 B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，表度与另一顶点连接，表33中的变量中的变量x 32及及x33不是闭回路的顶不是闭回路的顶点，只是连线的交点。点，只是连线的交点。 Page 101闭回路闭回路,123233434111xxxxxxB1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如变量组例如变量组 不能构成一条闭回路，不能构成一条闭回路，但但A中包含有闭回路中

42、包含有闭回路 ,121131352521xxxxxxA ,31352521xxxx变量组变量组 变量数是奇数，显然不是变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；闭回路，也不含有闭回路； ,2111123233xxxxxB Page 102用位势法对初始方案进行最优性检验：用位势法对初始方案进行最优性检验：1）由）由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势）计算位势Ui ， Vj ，因对基变量而言有，因对基变量而言有 ij=0，即，即Cij-（Ui+Vj） = 0，令，令U1=02）再由）再由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数）计算非基变量的检验数 ijB1B2B3B4UiA1

43、A2A3Vj311310192741058436313当存在非基当存在非基变量的检验变量的检验数数 kl 0，说，说明现行方案明现行方案为最优方案，为最优方案，否则目标成否则目标成本还可以进本还可以进一步减小。一步减小。Page 103当存在非基变量的检验数当存在非基变量的检验数 kl 0 且且 kl =min ij时，令时，令Xkl 进进基。从表中知可选基。从表中知可选X24进基。进基。第第3步步 确定换入基的变量确定换入基的变量第第4步步 确定换出基的变量确定换出基的变量以进基变量以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量调整量，

44、对应的基变量为出基变量，并打上对应的基变量为出基变量，并打上“”以示换以示换出作为非基变量。出作为非基变量。Page 104B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311197436 13 , 1minmin14,23 xx调整步骤为：调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量，标有负号的变量减去调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到一组新的，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。Page 105当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最

45、当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：优方案，如表此时最小总运费：Z =(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058536312Page 106表上作业法的计算步骤：表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小确定初始调运方案（最小元素法或元素法或Vogel法）法）求检验数（位势法）求检验数（位势法）所有检验数所有检验数0找出绝对值最大的负检验数，用闭合找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整，得到

46、新的调运方案回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，得到最优方案，算出总运价算出总运价Page 107（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为中最小者对应的变量为换入变量。换入变量。（2）无穷多最优解）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。，则该问题有无穷

47、多最优解。Page 108 退化解：退化解： 表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证，以保证有有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个任意空格处加一个0即可。即可。 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过最小运量（超过2个最小值）作为调整量个最小值）作为调整量，选择任意一个最，选择任意一个最小运量对应的基

48、变量作为出基变量，并打上小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为以示作为非基变量。非基变量。Page 109 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A116A210A322销量销量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)如下例中如下例中11检验数是检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。，经过调整，可得到另一个最优解。 Page 110 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A17A24A39销量销量365620114431377821060在在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选中任选一个变量作为基变量，

49、例如选x34例：用最小元素法求初始可行解例：用最小元素法求初始可行解Page 1112.目标函数求利润最大或营业额最大等问题。目标函数求利润最大或营业额最大等问题。 minjijijxCZ11max njmixnjbxmiaxijmijijnjiij, 2 , 1;, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 111，Page 112求解方法：求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为表为C ，用一个较大的数，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个）去减每一个cij得得到矩阵到矩阵C，其中，其中C=（Mcij）0,将将C作为

50、极小化问题的运作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。价表，用表上用业法求出最优解。Page 113例例3.3 下列矩阵下列矩阵C是是Ai（I=1，2，3）到）到Bj的吨公里利润的吨公里利润,运输运输部门如何安排运输方案使总利润最大部门如何安排运输方案使总利润最大. 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量ijijijccccM 10,10max/22取取Page 114 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。Page 1153.当总产量与总销量不相等时当总产量

51、与总销量不相等时,称为不平衡运输问题称为不平衡运输问题.这类这类运输问题在实际中常常碰到运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。化为平衡问题再按平衡问题求解。 当产大于销时，即：当产大于销时，即： minjjiba11数学模型为：数学模型为： minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiij, 2 , 1;, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 111，Page 116由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库

52、存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地销地Bn+1， bn+1作为一个虚设销地作为一个虚设销地Bn+1的销量的销量(即库存量即库存量)。各产地。各产地Ai到到Bn+1的运价为零，即的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的）。则平衡问题的数学模型为：数学模型为： minjijijxcZ11min , 2 , 1, 2 , 1, 01, 2 , 1, 2 , 1111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij；具体求解时具体求解时, ,只在只在运价表右端增加运价表右端增加一列一列B Bn n+1+1，运价

53、，运价为零为零, ,销量为销量为b bn n+1+1即可即可Page 117 当销大于产时，即：当销大于产时，即： minjjiba11 minjijijxCZ11min , 2 , 1;, 2 , 1, 0, 2 , 1, 2 , 111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij数学模型为：数学模型为：由于总销量大于总产由于总销量大于总产量量,故一定有些需求地故一定有些需求地不完全满足不完全满足,这时虚设这时虚设一个产地一个产地Am+1，产量，产量为：为： miinjjab11Page 118销大于产化为平衡问题的数学模型为销大于产化为平衡问题的数学模型为 ： minjijijxcZ1

54、1min njmixnjbxmiaxijmijijnjiji, 2 , 11, 2 , 1, 0, 2 , 11, 2 , 1111；具体计算时，在运价表的下方增加一行具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产，运价为零。产量为量为am+1即可。即可。 Page 119例例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。求下列表中极小化运输问题的最优解。 B1B2B3B4aiA1592360A2-47840A3364230A448101150bj20603545180160 4141160180ijjiba因为有：因为有：Page 120所以是一个产大于销的运输问题。表中所以是一个产大

55、于销的运输问题。表中A2不可达不可达B1，用一个，用一个很大的正数很大的正数M表示运价表示运价C21。虚设一个销量为。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，表的右边增添一列 ，得到新的运价表。，得到新的运价表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj2060354520180Page 121下表为计算结果。可看出：产地下表为计算结果。可看出：产地A4还有还有20个单位没有运出。个单位没有运出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A42010205

56、0Bj2060354520180Page 1223. 生产与储存问题生产与储存问题例例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。的情况下，使该厂全年生产

57、总费用为最小的决策方案。季度季度生产能力生产能力/台台单位成本单位成本/万元万元2510.83511.130111011.3Page 123解：解： 设设 xij为第为第 i 季度生产的第季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那季度交货的柴油机数目，那么应满足：么应满足：交货：交货： x11 = 10 生产：生产：x11 + x12 + x13 + x14 25 x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 35 x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 30 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 10把第把第 i 季度生产的柴油机

58、数目看作第季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第个生产厂的产量；把第 j 季季度交货的柴油机数目看作第度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设个销售点的销量；设cij是第是第i季度生季度生产的第产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：Page 124 ji产量产量10.810.9511.111.2525M11.1011.2511.4035MM11.0011.1530MMM11.3010销量销量1015252

59、0 10070由于产大于销，加上一个虚拟的销地由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。即可应用表上作业法求解。Page 125该问题的数学模型：该问题的数学模型：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44 jiD产量产量10.810.9511.111.25025M11.1011.2511.40035MM11.0011.15030MMM11.30010销量销量1015252

60、030 100100Page 126 jiD产量产量1015025053035255301010销量销量1015252030 100100最优生产决策如下表，最小费用最优生产决策如下表，最小费用z773万元。万元。整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用分支定界法分支定界法分配问题与匈牙利法分配问题与匈牙利法Page 128要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问成的规划问题称为该整数