劳斯判据PPT学习教案

1、会计学1劳斯判据劳斯判据q 控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定； q 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t时，其输出也是有界值；q 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。第1页/共18页一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）全部具有负实部。 q 解析方法 求解系统的特征方程q 高阶系统求解困难q 劳斯稳定判据第2页/共18页已知系统的特征方程式为：00111 asasasannnn(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 必要条件；(2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 充分条件；(3) 第一列的系数符号改变的次数等于

2、实部为正的根的个数。第3页/共18页043214321432175316424321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnnn ,13211 nnnnnaaaaab15412 nnnnnaaaaab,17613 nnnnnaaaaab,121311bbaabcnn ,121211ccbbcd 131512bbaabcnn ,141713bbaabcnn ,131312ccbbcd 系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。劳斯稳定判据：00111 asasasannnn第4页/共18页利用劳斯稳定判据，

3、判断下列系统的稳定性。 102118712)()(234 ssssssRsY解：它的特征方程式是： 01021187234 ssss特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，劳斯行列式： 劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。实际上该系统的4个根为： jsss73. 015. 1,76. 2,94. 14,321 01234sssss0217101810100001010517157105第5页/共18页若一系统的特征方程为： 05432234 ssss利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。 解：列写劳斯行列式： 该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。 系统的4个根为：j

4、sjs42. 19 . 2,87. 029. 14,32, 1 符号改变一次 符号改变一次 01234sssss04253105006051 第6页/共18页（1）第一列有零值出现q 用一很小的正数来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算；q 当得到完整的劳斯行列式后，令0，检验第一列的符号变化次数；q 若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可利用辅助方程求出；q若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。第7页/共18页014222345sssssS5 1 2 1S4 2 4 1S3 0 0S2 1 0S1 0 0S0 0 0 021 21 114系统不稳定，第一列元素两

5、次变号，有两个正根在右半平面。特征根（Matlab:c=1 2 2 4 1 1;roots(c) 例例5.3 第8页/共18页015106322345 sssss试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：解：计算劳斯行列式如下：15621031012345ssssss0首列整理为:1510/25/521012345 ssssss系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。 方程解为： 1.3690j 0.9073- -1.84231.5272j 0.82844,532, 1 s ss15151012302530562 05/2 符号改变一次 符号改变一次 第9页/共18页l 表明系统具有成对的实根

6、或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 的系数代替零行，继续 劳斯行列式的计算；dssdP)(l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。第10页/共18页05025482422345 sssss试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： 解：计算劳斯行列式0123455048225241ssssss 辅助多项式： 50482)(24 sssP00求p(s)对s 的导数:ssdssdP968)(3 导数方程的系数代入s3 行。896507 .1125024 第11页/共18页)2)(5)(5)(1)(1

7、( sjsjsss原原方方程程5007 .1125024)96(0)8(05048225241012345 ssssssjss5, 1 可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根： 50482)(24 sssP行列式第一列系数符号变化一次，说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。0)1)(25(22 ss辅助方程是系统特征方程的一个因子式。第12页/共18页1、判断系统的稳定性2、分析系统参数对系统稳定性的影响第13页/共18页解题思路：1、列出闭环传递函数2、写出闭环特征方程式3、利用劳斯行列式判断 控制系统方块图如图所示，确定能保证该系统稳定的K值范围。KssssKsRsY )2)(1()

8、()(2解：系统的闭环传递函数为：R(s)Y(s)2)(1(2 ssssK其闭环特征方程为：劳斯行列式为：02331K为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足:, 0279 K914 K即即01234sssssKKK)7/9(23/7 因此，保证系统稳定的K值范围是。9/140 K0233234 Kssss第14页/共18页(2) 若要求闭环极点全部位于s = -1垂线的左侧，求K的取值范围。 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 )177()(20 sssKsG确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，并求振荡频率。分析： (1) 若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。系统的振荡频率就

9、是此根的虚部值。1 ss (2) 只要把虚部向左平移1，构成新的s 复平面: 用劳斯判据求出所有落在s平面的根对应的K值。-10ss第15页/共18页确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，确定振荡频率。（1）系统闭环传递函数 )(1)()(00sGsGsG 闭闭KsssK 17723劳斯行列式： 007K11971710123KssKss ,07119 K令令由为零的上一行组成辅助方程：则K=119。07)(2 KssP可求出：。17,17,172 njss （振荡频率）)177()(20 sssKsG119？第16页/共18页代入闭环特征方程： ,1 ss令令, 0)1(17)1(7)1(23 Ksss011642