判定平行四边形的五种方法

1、判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1如图1,在平行四边形abcB,e、f在对角线AC上，且AE=CF试说明四边形DEBF是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用”两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此，需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABC星平行四边形，所以AO=CO,BO=DOIAE=CF,所以AO-AE=CO-CF,EO=FO.所以四边形DEB匿平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2如图2,是由九根完全一样的小木棒搭

2、成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析：设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABC匿平行四边形.同样可知四边形FCDE四边形ACD嘟是平行四四边形.图3因为AE=DB=2,AB=DE=1f以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3如图3,E、F是四边形ABCD勺对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DFBE,试说明四边形ABC星平行四边形.分析：题目给出的条件都

3、不能直接判别四边形ABC堡平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADFACBfE由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF/BE,所以/AFDhCEB.因为AE=CF所以AE+EF=CF+EF即AF=CE.又DF=BE,所以人口已ACBE,所以AD=BC,/DAFhBCE所以AD/BC.所以四边形ABC虚平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4如图4,在平行四边形ABCD中，/DAB/BCD勺平分线分别交BCADi于点E、F,则四边形AECF平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF/EC又题目中给出的是有关角的条件，

4、借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AEC度平行四边形.理由：因为四边形ABC堡平行四边形，所以AD/BC/DABhBCD所以AF/EC.又因为/1=1/DAB,2/2=1/BCD2所以/1=/2.因为AD/BQ所以/2=/3,所以/1=/3,所以AE/CF.所以四边形AEC匿平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边1一、两组对边

5、分别平行如图1,已知ABC是等边三角形，DE分另U在边BGAC上，且CD=CE连结DE并延长至点F,使EF=AE连结ARBE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：(1)选证BD自AFEC证明：.ABB等边三角形，BC=AC/ACD=60;CD=CBbBD=AEED混等边三角形 .DE=EC/CDENDEG60 ./BDE=FE(=120XvEF=AE,BD=FE.ABDfSAFEC(2)四边形ABD匿平行四边形理由：由(1)知，AABCAEDCAAEF都是等边三角形 /CDENABChEFA=60.AB/DF,BD/AF 四

6、边形ABD匿平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2已知：如图2,在正方形ABCD,G是CD上一点，延长BC至UE,使CE=CG连名BG并延长交DE于F(1)求证：BC8ADCE(2)将DC遴点D顺时针旋转90°得至ODAE,判断四边形E'BG混什么特殊四边形？并说明理由。分析：(2)由于ABCD正方形，所以有AB/DG又通过旋转CE=AE已知CE=CG所以E'A=CG这样就有BE'=GD可证E'BG奥平行四边形

7、。解：(1).ABC匿正方形,/BCDNDC=90又;CG=CE,BCG2ADCE(2) .DC遴D顺时针旋转90°得到DAE, .CE=AE,;CE=CG=CG=AE, .BE/DGAB=CD .AB-AE=CD-CG即BE'=DG 四边形DEBG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在ABC中，分别以ABACBC为边在BC的同侧作等边ABD等边ACE等边4BCF求证：四边形DAE匿平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形：DAE用勺两组对边分别相等，从而四边形DAE匿平行四边形。解：

8、.ABDffiFBCS是等边三角形 /DBF吆FBA/ABCyFBA=60 /DBFhABC又BD=BABF=BC.ABCDBFAC=DF=AE同理ABCEFC .AB=EF=AD四边形ADF曳平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4,平行四边形ABCD勺对角线AC口BD相交于O,AE!B叶E,BF±AC于F,CGLBD于G,DKAC于H求证：四边形EFGK平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH勺对角线有关，若能证出OE=OGOF=OH则问题可

9、获得解决。证明：vAE!BDCGLBQ/AEONCGO/AOEMCOGOA=OC.AO。ACOG同理ABO已ADOH.OF=OH四边形EFGK平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。(1)如图2,将RtzBCD&射线BD方向平移到RtzB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由:分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABCD平行四边形，理由如下：/ABCh

10、ABDVDBG30+90=120/ADCMADBVCD=90+30=120又/A=60,/C=60,/ABCWADC/A=/C(2)四边形ABC1D建平行四边形，理由如下：将RtABCD沿射线方向平移到R1AB1C1D1的位置时，有C1BBBRtAADD1/C1BB1hAD1D/BC1B1hDAD1有/C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=/AD1C1/BC1D1=/BC1B1+B1C1D1HD1AD+DAB=D1AB所以四边形ABC1D是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABC诞平行四边形，AB/CD将RtABCD沿射线BD方向平移到R1AB1C1D1的位置时，始

11、终有AB/C1D1故ABC1D是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1:证明两组对边分别相等例1如图1所示，在ABC中，/ACB=90,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且AF=CE.求证：四边形ACEF平行四边形.证明：:DE是BC的垂直平分线，BD/.DFXBQDB=DC./FDB=/ACB=90.DF/AC./.CE=AE=1AB.2./1=Z2.又EF/ACAF=CE=AE,./2=/1=/3=/F.AC国AEFA.AC=EF.四边形ACEFM平行四边形.思

12、路2:证明两组对边分别平行例2已知：如图2,在4ABC中，AB=AQE是AB的中点，D在BC上，延长ED到F,使ED=DF=EB.连结FC.求证：四边形AEFCM平行四边形.证明：:AB=AC,./B=/ACB.ED=EB,./B=/EDB./ACB=/EDB.EF/AC.E是AB的中点,BD=CD./EDB=/FDCED=DF,.EDBAFDC.,.ZDEB=/F.AB/CF.四边形AEFB平行四边形.思路3:证明一组对边平行且相等例3如图3,已知平行四边形ABC时，E、F分别是ABCD上的点，AE=CF,MN分别是DEBF的中点.求证：四边形ENF雇平行四边形.证明：四边形ABC虚平行四边

13、形，.AD=BC,/A=/C.又AE=CF,.AD自CBF.f-/1=/2de=bf.MN分别是DEBF的中点，EB.EM=FN.DC/ZAB,/3=/2./1=/3./.EM/FN.四边形ENF雇平行四边形.、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4如图4,在正方形ABC附，点EF（图4）F分别是ADBC的中点.求证：（1）ABMACDF（2）四边形BFD曳平行四边形.证明：（1）在正方形ABCD中，AB=CD,AD=BC,/A=/C=90,AE=1AD,CF=BC22.AE=CF,.ABMACDF.（2）由（1）AABEACD依口，/1=/2,/3=/4./BED=/DFB. 在正方

14、形ABCM,/ABC=/ADC./EBF=/EDF. 四边形BFDEM平行四边形.三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5如图5,在平行四边形ABCM,P1、P2是对角线BD的三等分点.求证：四边形AP1CP窗平行四边形.证明：连结AC交BD于O. 四边形ABCEM平行四边形， .OA=OC,OB=OD./BPI=DP2,OP1=OP2. 四边形AP1CP况平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四

15、边形，我们把这些条件总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1 两组对边分别平行，如图1,AB/CD,AD/BG1.2 两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC1.3 两组对角分别相等，如图1,/ABC=ADC/BADWBCD1.4 一组对边平行且相等，如图1,AB/CD,AB=CD1.5 两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB/CD,/ABC=ADC证明：AB/CDABC+BCB180又./ABC之ADC/ADO/BCD=180.AD/BC四边形ABCDM平行四边形（两组对边分别平行）

16、2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1,AB/CDOA=OC证明：:AB/CD./BAC=DCA在/AOB和/COD中，/BACWDCAOA=OC/AOBNCOD/AOB/COD（ASA）.AB=CD四边形ABCD平行四边形（一组对边平行且相等）2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图1,/DAB+AB(=180，/ABC+BCB180证明：./DAB+ABG180.AD/1BC又/ABC吆BC=180.AB/CD.四边形ABC混平行四边形（两组对边平行）3不能识别为平行四边形3.1 两组不同的邻角互补，如图2,/A+/B=180,/C+/D=180,可以画出

17、梯形。3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3,AB=AD,CB=CD不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4,/A=/D,/B=/C,可以画出等腰梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，3.4 ,AD/BC,AB=CDB可以画出等腰梯形。3.4一组对边相等，一组对角相等，不一01定是平行四边形。反例作图方法，如图5:作/ABC在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,过点AB、C作。O1,以点C为圆心，以线段AB长为半径作。C,以AC为弦作。O1的等圆。O2,交。C于口E两点，则四边形ABCD为平行

18、四边形，而四边形ABCESP为符合条件的非平行四边形，即AB=CE/ABCWAEC3.5一组对边相等，对角线交点一、平分一条对角线，不一定是平行四边C-A形。反例作图方法，如图6:作线段卜滓三三工4-DB图6AB,过线段AB的中点O作直线CD,过点B作BE!CD,垂足为E,以点E为圆心，小于线段OE的长为半径作。E,交CD于F、G两点，以点A为圆心，BF长为半径作。A,交直线C叶H、I两点，则四边形AGB侨口四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBI和四边形AHBFIP为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG,OA=OB说明一个四边形是平行四边形的思路山东于秀坤平行四边形是

19、最基本、最重要的一类特殊四边形.如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明.一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.例1如图1,在ABC,AD是角的平分线，DEAC交AB于点E,EFBC交AC于点F,试说明AE=CF图1分析：由AD是角的平分线，可知/1=/2,由DEAC,可知/2=/3,所以/1=/3,即可得AE=ED要说明AE=CF可转化为说明ED=EC因此，只需说明四边形EDC层平行四边形就可以了.解：因为/1

20、=/2,/2=/3,所以/1=/3,所以AE=ED又因为DE/AC,EF/BC,所以四边形EDC呢平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.所以ED=CF所以AE=CF二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”.例2如图2,AECF纪别是ABCD的内角/DAB/BCD勺平分线，试说明四边形AECF是平行四边形.解：建ABCD中，因为/DABWBCD又因为/1=1/DAB/2=1/BCD22所以，/1=/2,因为ABCD,所以/3=/1,/4=/2,所以/3=/4,所以/5=/6,所以四边形AEC匿平行四边形.三、当已知条件出现在四边形的对角

21、线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3如图3,在UABCM,AGBD相交于O,EF过O分别交ADBC于E、F,GhfctO分别ARCW于GH.试说明四边形EGFK平行四边形.图3解：在UABCDK因为AB/CD,所以/1=/2,因为OA=O。/3=/4,所以AO。COH所以OG=OH同理OE=OF所以四边形EGF层平行四边形.构造平行四边形解题山东邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决.一、求线段的长例1如图1,在正AB31,P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ

22、今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cni则P点到C点的距离等于cm.分析：作QD/AB,交BC于点D,连接PD,MD由ABC正三角形，易知BP=BDAP=DQA所以四边形APD平彳所以AM戋平行四边形APDQ0X线.所以AD=2AM2X19=38/4CBP可得D图2PC=AD所以PC=38cm二、证明线段相等问题例2如图2,在梯形ABCD中,AB=CD延长CB至UE,使EB=AD连接AE求证：AE=AC分析：连接BD由AD与BE平行且相等，易知四边形AEB堡平行四边形，所以BD=AE因为AC=BD所以AE=AC三、证明线段和差问题例3如图3,zABC中，D,F是AB边上两点，且AD=BF作DEZ/BC,FG/BC