212空间中直线与直线之间的位置关系实用教案

1、复习(fx)(fx)引入：1 1、同一平面内不重合两条直线有几种(j (j zhn)zhn)位置关系？2 2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么(shn me)(shn me)位置关系？(1)、相交：有且仅有一个公共点。(2)、平行：在同一平面内没有公共点。互相平行提出问题：空间中的两条直线呢？第1页/共29页第一页，共30页。1.1.空间(kngjin)(kngjin)中两条直线的位置关系观察(gunch)：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右(zuyu)(zuyu)两侧所在的直线, ,想一想: :它们相交吗? ?平行吗? ?共面吗? ?观察上方体的棱所在直线,回答类似的问题

2、.思考：思考：我们把具有上述特征的两条我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？直线取个怎样的名字才好呢？结论：它们既不相交，也不平行，也不共面，即不能处在同一平面内。第2页/共29页第二页，共30页。异面直线异面直线(zhxin)(zhxin)的定的定义义: :我们把不同在任何一个我们把不同在任何一个(y )(y )平面内的两条平面内的两条直线叫做异面直线（直线叫做异面直线（skewskewlineslines）。）。想一想: :怎样通过图形(txng)(txng)来表示异面直线? ?为了表示异面直线a a，b b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图: :lmlm第

3、3页/共29页第三页，共30页。想一想, ,做一做：1.1.已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C1D1C1D1与与CC1CC1上的上的点，那么点，那么MNMN与与ABAB所在所在(suzi)(suzi)的直线是异面的直线是异面直线吗？直线吗？MNC1D1C1B1ADBA第4页/共29页第四页，共30页。2.下图是一个正方体的展开图，如果(rgu)将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想, ,做一做：HGFEDCBA三对AB与CDAB与GHEF与GH一定是异面直线吗？则2121,llll3.第5页/共29页第五页，共30页。空间

4、两条直线(zhxin)的位置关系有且只有三种平行直线共异面直线面直线相交直线平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面没有没有(miyu)只有只有(zhyu)一个一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面空间中两条直线的位置关系第6页/共29页第六页，共30页。2.2. 空间两平行(pngxng)(pngxng)直线问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行(pngxng)(pngxng)，那么这两条直线互相平行(pngxng)(pngxng)。在空间中，是否有类似的规律？平行吗?中,ABCDABC DBBDD观察：如图2.1.2-5,长方体与那么DD

5、AABB AA第7页/共29页第七页，共30页。公理4：平行于同一条(y tio)直线的两条直线互相平行。公理公理4 4实质上是说平行具有传递性，在平面实质上是说平行具有传递性，在平面(pngmin)(pngmin)、空间这个性质都适用。、空间这个性质都适用。公理公理4 4作用：判断空间作用：判断空间(kngjin)(kngjin)两条直线平行的依两条直线平行的依据。据。abcbac符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若第8页/共29页第八页，共30页。例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别(fnbi)是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析

6、(fnx)：欲证EFGH是一个(y )平行四边形只需证EHFG且EHFGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH BD且EH BDFG BD且FG BD1212AB DEFGHC第9页/共29页第九页，共30页。例1： 在空间(kngjin)四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。AB DEFGHC EH是ABD的中位线 EH BD且EH = BD同理，FG BD且FG = BDEH FG且EH =FGEFGH是一个平行四边形证明：连结BD2121第10页/共29页第十页，共30页。变式一：在例1中，如果再加上条件(tio

7、jin)AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?EHFGABCD分析：在例题2的基础上我们(wmen)只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形(lnxn)第11页/共29页第十一页，共30页。变式二： 空间四面体A-BCD中,E,H分别(fnbi)是AB,AD的中点,F,G分别(fnbi)是CB,CD上的点,且 ，求证:四边形ABCD为梯形.23CFCGCBCDABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行(pngxng)，但不相等。第12页/共29页第十二页，共30页。例3:3: 如图， 是平面 外的一点 分别(fnbi)(fnbi)是 的重心， 求证： 。 证明(zhngmn

8、g)(zhngmng)：连结 分别交 于 , ,连结 , , G,HG,H分别是ABC,ACDABC,ACD的重心,M,N,M,N分别是BC,CDBC,CD的中点, , MN/BD,MN/BD,又 GH/MN, GH/MN,由公理4 4知GH/BD. GH/BD. 23AGAHAMAN第13页/共29页第十三页，共30页。3.3. 等角定理(dngl)(dngl)提出问题提出问题: :在平面上在平面上, ,我们我们(w men)(w men)容易证明容易证明“如如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补么这两个角相等或互补”。在空

9、间中。在空间中, ,结论是否仍结论是否仍然成立呢然成立呢? ?观察观察(gunch)(gunch)思考：如图思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？大小关系如何？第14页/共29页第十四页，共30页。3.3. 等角定理(dngl)(dngl)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么(n me)(n me)这两个角相等或互补。这两个角相等或互补。ABCDEF第15页/共29页第十五页，共30页。3.3. 等角定理(dngl)(dngl)定理

10、定理(dngl)(dngl)：空间中如果两个角的两边分别对应平：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。行，那么这两个角相等或互补。ABCDEF定理的推论定理的推论: :如果两条相交直线和另两条相交直如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行线分别平行, ,那么这两条直线所成的锐角那么这两条直线所成的锐角( (或直角或直角(zhjio)(zhjio)相等相等. .第16页/共29页第十六页，共30页。4.4. 异面直线(zhxin)(zhxin)所成的角如图，已知两条异面直线如图，已知两条异面直线a a，b b，经过空间，经过空间(kngjin)(kngjin)任一点任一点O

11、 O作直线作直线aaaa，bbbb，我们，我们把把aa与与bb所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a a，b b所成的角（或夹角）。所成的角（或夹角）。为了简便，点为了简便，点O O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线取在直线b b上，然后经过点上，然后经过点O O作直线作直线aaaa，aa和和b b所成的锐角所成的锐角(rujio)(rujio)（或直角）就是异面直线（或直角）就是异面直线a a与与b b所成的角。所成的角。想一想想一想:a:a与与bb所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置有关吗的位置有关吗?

12、?第17页/共29页第十七页，共30页。4.4. 异面直线(zhxin)(zhxin)所成的角如果两条异面直线所成的角为直角如果两条异面直线所成的角为直角(zhjio)(zhjio)，就说两条直线互相垂直，就说两条直线互相垂直，记作记作abab。ba aOab 记记作作：第18页/共29页第十八页，共30页。5.5. 异面直线(zhxin)(zhxin)的判定定理异面直线定理异面直线定理(dngl)(dngl)：连结：连结平面内一点与平面外一点的直平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线的直线是异面直线,ABlBl 与与是异面直线是异面直线

13、(zhxin)第19页/共29页第十九页，共30页。探究(tnji)：（1）如果两条平行(pngxng)直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？答案：是。（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行(pngxng)？答案：不一定。第20页/共29页第二十页，共30页。例题(lt)(lt)示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角的夹角(ji jio)(ji jio)是多少？是多少？（3 3）哪些

14、棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线的判定）由异面直线的判定(pndng)(pndng)方法可知，与直线方法可知，与直线成异面直线的有直线成异面直线的有直线，第21页/共29页第二十一页，共30页。例题(lt)(lt)示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些）哪些(nxi)(nxi)棱所在直线与直线棱所在直线与直线BABA是异面直是异面直线？线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些）哪些(nxi)(nxi)棱所在的直线与直线棱所在

15、的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可知，可知， 等于异面直线等于异面直线(zhxin) (zhxin) 与与 的夹角的夹角, ,所以异面直线所以异面直线(zhxin) (zhxin) 与与 的夹角为的夹角为450 450 。 ,AB BC CD DA A BB C C D D A (3)直线与直线都垂直.AA第22页/共29页第二十二页，共30页。练习(linx)(linx)反馈：1. 1. 判断: :（1 1）平行于同一直线的两条直线平行. .（ ）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行. .（ ）（3 3）过直线外一点，有且只有(zhyu)(zhyu)一条直线与已

16、知直线平行 . . （ ）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有(zhyu)(zhyu)两条. . （ ）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ） 第23页/共29页第二十三页，共30页。练习(linx)(linx)反馈：2 2选择题 （1 1）“a a，b b是异面直线”是指 ab=, ab=,且a a不平行于b b； a a 平面(pngmin)a(pngmin)a，bb平面(pngmin)b(pngmin)b且ab= ab= a a 平面(pngmin

17、)a(pngmin)a，bb 平面(pngmin)a(pngmin)a 不存在平面(pngmin)a(pngmin)a，能使a aa a且b ab a成立上述结论中，正确的是（ ）（A A） （B B） （C C） （D D）（2 2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成(z chn)(z chn)的异面直线有（ ） （A A）2 2对 （B B）3 3对（C C）6 6对 （D D）1212对C CC C第24页/共29页第二十四页，共30页。（3 3）两条直线a,ba,b分别和异面直线c,dc,d都相交(xingjio)(xingjio)，则直线a a，b b的位置关系是（ ） （A A）

18、一定是异面直线（B B）一定是相交(xingjio)(xingjio)直线 （C C）可能是平行直线 （D D）可能是异面直线，也可能是相交(xingjio)(xingjio)直线（4 4）一条直线和两条异面直线中的一条平行, ,则它和另一条的位置关系是( )( )（A A）平行（B B）相交(xingjio)(xingjio)（C C）异面（D D）相交(xingjio)(xingjio)或异面3 3两条直线(zhxin)(zhxin)互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定(ydng)，还可能异面D DD D第25页/共29页第二十五页，共30页。4.4.垂直于同一直线的两条直线, ,有几种

19、位置(wi (wi zhi)zhi)关系？答：三种：相交(xingjio)(xingjio)，平行，异面5 5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条(y (y tio)tio)直线使它们成为（1 1）平行直线；（2 2）相交直线；（3 3）异面直线第26页/共29页第二十六页，共30页。6 6选择题 （1 1）分别在两个平面内的两条直线(zhxin)(zhxin)间的位置关系是 （ ） （A A）异面（B B）平行（C C）相交（D D）以上都有可能 （2 2）异面直线(zhxin)a,b(zhxin)a,b满足a a,b b,ab=l, a a,b b,ab=l, 则l l与a,ba,b的位置关系一定是（ ）(A)l(A)l至多(zhdu)(zhdu)与a