第5章拉格朗日方程

1、5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 5.2 虚位移原理虚位移原理5.3 动能和势能动能和势能5.4 DAlembert原理原理 5.5 Lagrange方程方程5.6 哈密尔顿原理哈密尔顿原理自由度自由度 完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 分析力学分析力学 分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关它从能量的观

2、点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。 广义坐标广义坐标 用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的位置，则这组坐标称为广义坐标。位置，则这组坐标称为广义坐标。 一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目与自由度相等。与自由度相等。约束约束 对质点在空间的运动所加的限制称为约束。对质点在空间的运动所加的限制称为约束。 质点的自由度质点的自由度 质点在空间需要质点在空间需要3个独立坐

3、标才能确定它在任何瞬时的位置，因此，个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此，它的自由度为它的自由度为3。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为3n。5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 刚体的自由度刚体的自由度 一个刚体在空间需要一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置，因个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置，因此它的自由度为此它的自由度为6。m个无约束刚体组成的系统自由度为个无约束刚体组成的系统自由度为6m。振动系统的自由度振动系统的自由度 振动系统力学模型中若有振动系统力学模型中若有n个质点和个质点和m个刚体，

4、那么它的自由度个刚体，那么它的自由度DOF必定满足下列方程：必定满足下列方程：DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数）（约束方程数） 例例 5.1 图图 (a)中，质量用一中，质量用一根弹簧悬挂。图（根弹簧悬挂。图（b）中质）中质量用一根长度为量用一根长度为l，变形可忽，变形可忽略的悬丝悬挂。分析系统的略的悬丝悬挂。分析系统的自由度，并建立系统的广义自由度，并建立系统的广义坐标。坐标。2.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 这样，坐标这样，坐标 x 、 y 和和 z 就再不独立。若用球面坐标就再不独立。若用球面坐标r 、y y 和和j j 来表示，来表示，必须满足条件必须满足条件 r

5、 = l ，只要用，只要用y y 和和j j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬两个坐标就能完全确定质量在任何瞬时的位置，即时的位置，即广义坐标数为广义坐标数为2，自由度为，自由度为2。解解 对图（对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长，）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长，因此它的约束方程为零，自由度为因此它的约束方程为零，自由度为3。 对图（对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长，）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必因此在空间的位置必须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：须满足质量离悬挂点的距离保持不

6、变的条件，即满足下列方程约束方程：2222lzyx(a) （b）例例 5.2 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链连接成处用铰链连接成双摆，并通过铰链双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统的广义坐标。的广义坐标。 设刚性杆设刚性杆l 1与与x轴的夹角为轴的夹角为q q 1 ，刚性杆，刚性杆l 2与与x轴的夹角为轴的夹角为q q 2 ，方向如，方向如图所示，那么用和可以完全确定双摆在

7、任何瞬时的位置，图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， q q 1和和q q 2可以作可以作为双摆的广义坐标。为双摆的广义坐标。 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 解解 由于双摆只能在平面内摆动，因此，由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而双摆的长度而双摆的长度l 1和和l 2不变，即不变，即 利用自由度利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为计算的公式，可得到双摆的自由度为 212121lyx22212212lyyxxDOF 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 完整约束完整约束 当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的

8、形式表示时，当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时，称为完整约束。显然，例称为完整约束。显然，例5.15.1和例和例5.25.2的约束都是完整约束。的约束都是完整约束。0)(tz,y,x,fi定常约束定常约束当约束方程与时间当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例无关时，称为定常约束。例5.15.1和例和例5.25.2的约束都是定的约束都是定常约束。常约束。不完整约束不完整约束 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广有不

9、完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。义坐标数。5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 不完整约束不完整约束 当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。义坐标数。例例 5.3 刚体刚体A通过三个点放置通过三个点放置在在xoy 平面上，其中的两个接平面上，其中的两个接触点可在平面上作无摩擦自由触点可在平面上作无摩擦自由滑动，而滑动，而P点有一个刀

10、片，使点有一个刀片，使其只能沿刀片方向移动，分析其只能沿刀片方向移动，分析冰刀系统的广义坐标和自由度冰刀系统的广义坐标和自由度。解解 由于刚体由于刚体A在在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标平面中移动，因此需要三个广义坐标(x, y和和q q)描述其描述其在任意时刻的位置。在任意时刻的位置。 而刚体而刚体A只能只能沿刀片方向移动，因沿刀片方向移动，因此有约束方程：此有约束方程：自由度数为自由度数为2 2，小于广义坐标数。，小于广义坐标数。qtanxy5.2 虚位移原理虚位移原理 虚位移虚位移 所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许

11、约束所允许发生的发生的坐标微小改变量。坐标微小改变量。 虚位移只是约束允许的虚位移只是约束允许的可能位移可能位移 ，并，并不一定是不一定是系统的系统的真实位移真实位移。它。它与时间与时间t 的变化无关。的变化无关。 虚位移用虚位移用d d 表示，真实微小位移用表示，真实微小位移用d d表示。表示。虚功虚功 力在虚位移上的元功称为虚功。力在虚位移上的元功称为虚功。在系统运动或平衡中处于主导地位。在系统运动或平衡中处于主导地位。约束作用于系统的力。约束作用于系统的力。力的分类力的分类作用于系统的力可分为两类：作用于系统的力可分为两类：约束反力约束反力和和主动力主动力。理想约束理想约束 在虚位移上不

12、做功的约束称为理想约束。在虚位移上不做功的约束称为理想约束。虚位移原理虚位移原理 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。5.2 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理虚位移原理 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚

13、功之和等于零。01piiiWrFdd其数学表达式为其数学表达式为: :其中，其中，F Fi i为作用于质点系的主动力，为作用于质点系的主动力， dr ri i为虚位移。上式也称为为虚位移。上式也称为虚功方程虚功方程。虚位移原理的另一种表述虚位移原理的另一种表述 若系统有若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间个广义坐标和时间t来表示，即：来表示，即：)(21tqqqnii，rr由于虚位移与时间无关，则有：由于虚位移与时间无关，则有：nkkkiiqq1ddrr 代入虚功方程，得：代入虚功方程，得： pinkkkiiqqW11ddrF5.2

14、虚位移原理虚位移原理 对换求和的次序，得：对换求和的次序，得： nkkpikiiqqW11ddrF其中，其中， 为与广义坐标为与广义坐标q qk k 对应的广对应的广义力。义力。 ), 2, 1(1nkqQpikiikrF这样，虚功方程可以写成：这样，虚功方程可以写成：01nkkkqQWdd 由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立时，有：立时，有：), 2, 1(0nkQk 虚位移原理虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡个自由度的系统达到平衡的充要条件

15、是的充要条件是n 个广义力都等于零。个广义力都等于零。5.3 动能和势能动能和势能 动能动能 设质量为设质量为m i的质点在某位置时的速度是的质点在某位置时的速度是 ，则质点在此位置的动能为，则质点在此位置的动能为 ir iiimVrr 21其中其中,nkikkiitqq1rrr若振动系统由若振动系统由p个质点组成，则系统的动能为个质点组成，则系统的动能为 ipiiimVrr 121 当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显含时间含时间 t 。系统的动能可写成：。系统的动能可写成：pinlllinkkkiiqqqq

16、mV11121rr改变求和的次序，得：改变求和的次序，得： nknllkpilikiiqqqqmV11121rr5.3 动能和势能动能和势能 nknllklkqqmV1121或：或：其中，其中， 和和 为广义速度，为广义速度， 为广义质量系数，为广义质量系数， 。kq lq lkmpilikiilkqqmm1rr 引入广义质量矩阵引入广义质量矩阵 M ，并引入广义速度列阵，并引入广义速度列阵 ，则动能可表示为，则动能可表示为q 显然显然 有有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即

17、将平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将m k l取为与广义坐标无关的常数。取为与广义坐标无关的常数。21TqMqV显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。势力场和势力场和势力势力 质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路径质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、万有无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、万有引力场和弹性力场都是势力场。引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力在势力场中质点所受的力称

18、为势力。势能势能所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势能的定义，特别需要强调的是：能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关势能大小与规定的势能零点位置有关。5.3 动能和势能动能和势能 势能势能在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：21TqKqU 例例 5.4 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链连

19、接成双摆，并通过铰链处用铰链连接成双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振动时的质量矩阵和刚度矩阵。动时的质量矩阵和刚度矩阵。 解解 由于双摆只能在平面内摆动，可取由于双摆只能在平面内摆动，可取q q 1和和q q 2为广义坐为广义坐标。并以平衡位置标。并以平衡位置 q q 1q q 2 0 作为作为势能零点势能零点。则系统的势能为则系统的势能为)cos1()cos1()cos1(22112111qqqllgmlgmU 其中，其中， K 为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对

20、称、半正定矩阵。微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保留广义坐标的二次项：微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保留广义坐标的二次项：21)(21222221121qqlgmlgmmU5.3 动能和势能动能和势能 系统的动能为系统的动能为)(cos2212112212122222121221211qqqqqqqllllmlmV22222122121221212121)(cos)(21qqqqqqlmllmlmm通常，系数通常，系数 m i j 一般不是常数，这里一般不是常数，这里m 1 2和和m 21是广义坐标的函数是广义坐标的函数)(cos21122121221qqllmmm当系统在平

21、衡位置附近作小运动时，系数当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近台劳级取其在平衡位置附近台劳级数的第一项：数的第一项：212122121llmmm则系统的动能可写成则系统的动能可写成222222121221212121)(21qqqqlmllmlmmV5.3 动能和势能动能和势能 将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：21)(21222221121qqlgmlgmmU222222121221212121)(21qqqqlmllmlmmV2212100)(lgmlgmmK2222122122111)(

22、lmllmllmlmmM5.4 DAlembert原理原理 质系质系DAlembert原理原理 作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。), 2, 1(0pimiii rR其数学表达式为其数学表达式为: :其中，其中，R i 为主动力为主动力F i和约束反力和约束反力f i的向量和。的向量和。应用应用DAlembert原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质点上的合力，计算整个质系的虚功，有点上的合力，计算整个质系的虚功，有0)(1piiiiiimWr

23、rfFdd 在理想约束下，约束反力在理想约束下，约束反力虚功之和为零，因此有虚功之和为零，因此有0)(1piiiiimWrrFdd 动力学普遍方程动力学普遍方程作用在理想约束质系上所有的主动力和惯性力任意瞬时在虚位移上的虚功之作用在理想约束质系上所有的主动力和惯性力任意瞬时在虚位移上的虚功之和等于零。和等于零。 5.5 Lagrange方程方程 Lagrange方程方程 拉格朗日方程利用广义坐标来描述非自由质点系的运动，这组方程以系统拉格朗日方程利用广义坐标来描述非自由质点系的运动，这组方程以系统的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，具有以下形式：的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，

24、具有以下形式：)., 2, 1(ddniQqDqLqLtiiii Lagrange方程为非自由质点系的动力学问题提供了一个方程为非自由质点系的动力学问题提供了一个普遍、简单又普遍、简单又统一统一的方法。的方法。式中：式中：L 为为Lagrange 函数，它是系统动能函数，它是系统动能V和势能和势能U之差，之差， L = V - U 。 而而 和和 ( i = 1, 2, , n) 是系统的广义坐标和广义速度；是系统的广义坐标和广义速度；是耗散函数，其中是耗散函数，其中c i j为系统在广义坐标为系统在广义坐标q j方向有单位广义速度时，在广义方向有单位广义速度时，在广义坐标坐标q i方向产生的

25、阻尼力；方向产生的阻尼力； Q i 是在广义坐标方向是在广义坐标方向q i的广义力，的广义力， ，其中其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和和 分别是对广义分别是对广义坐标和对广义速度求偏导数，坐标和对广义速度求偏导数， 是对时间求一次导数。是对时间求一次导数。ninjjij iqqcD1121iiqWQiqiq tddiqiq5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链连接成双摆，并通过铰链处用铰链连接成双

26、摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振动时的振动微分方程。动时的振动微分方程。 解解 由于双摆只能在平面内摆动，可取由于双摆只能在平面内摆动，可取q q 1和和q q 2为广义坐为广义坐标。并以平衡位置标。并以平衡位置 q q 1q q 2 0 作为作为势能零点势能零点。由例由例5.4，系统的势能与动能分别为：，系统的势能与动能分别为：22222122121221212121)(cos)(21qqqqqqlmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121qqlgmlgmmU 112112212121sin)

27、()(sinqqqqqqlgmmllmL22221212122sin)(sinqqqqqqlgmllmL5.5 Lagrange方程方程 例例 5.522222122121221212121)(cos)(21qqqqqqlmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121qqlgmlgmmU )(cos)(122212121211qqqqqllmlmmL22221212122)(cosqqqqqlmllmL)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211qqqqqqqqqq llmllmlmmLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122

28、qqqqqqqqqq llmlmllmLt5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5由于系统无阻尼、无外力，因此只要把前面得到的项代入方程相由于系统无阻尼、无外力，因此只要把前面得到的项代入方程相应的位置就可以得到系统的振动微分方程应的位置就可以得到系统的振动微分方程0dd11qqLLt0dd22qqLLt)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211qqqqqqqqqq llmllmlmmLt112112122121sin)()(sinqqqqqqlgmmllmL0sin)()(sin)(cos)(1121122221212221212121qqqqqqqqlg

29、mmllmllmlmm 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.50dd22qqLLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122qqqqqqqqqq llmlmllmLt0sin)(sin)(cos222122122222121212qqqqqqqqlgmllmlmllm 一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动时，一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动时，将将 ， 代入，并只保留广义位移和广义速度的线性项时代入，并只保留广义位移和广义速度的线性项时系统的振动微分方程才是线性的。系统的振动微分方程才是线性的。qqsin1cosq

30、22221212122sin)(sinqqqqqqlgmllmL5.5 Lagrange方程方程 例例 5.50)()(1121221212121qqqlgmmllmlmm 022222221212qqqlgmlmllm 写成矩阵的形式写成矩阵的形式0000)(2122121212222122122121qqqqlgmlgmmlmllmllmlmm（ 0sin)()(sin)(cos)(1121122221212221212121qqqqqqqqlgmmllmllmlmm 0sin)(sin)(cos222122122222121212qqqqqqqqlgmllmlmllm 一般情况下，双摆的

31、振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动时，将时，将 ， 代入，并只保留广义位移和广义速度的线性代入，并只保留广义位移和广义速度的线性项时系统的振动微分方程才是线性的。项时系统的振动微分方程才是线性的。qqsin1cosq5.5 Lagrange方程方程 例例 5.6 图示系统中质量图示系统中质量M只能沿水平只能沿水平方向移动，一摆长为质量为方向移动，一摆长为质量为l 的单摆在的单摆在O点与质量点与质量M 铰接，其他参数如图。铰接，其他参数如图。试列出系统作微振动的方程。试列出系统作微振动的方程。 质量质量 M 的速度：的速度：质量质量m的速度：的速度： x 系统的动能系统的动能)cos2(21212222qqqlxlxmxMV22)sin()cos(qqqqllx系统的势能系统的势能221)cos1(xklgmUqLagrange函数函数 UVL耗散函数耗散函数 221xcD其他非保守力所做的功其他非保守力所