数值分析课件2015xin王兵团-数值分析整理

1、数值分析1 .数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化,导致计算结果的剧烈变化.病态问题：因初始数据微小变化,导致计算结果剧烈变化的问题良态问题：初始数据微小变化,只引起计算结果微小变化的计算问题.数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有误差,而计算过程中产生的舍入误差不断增长.例子2 .误差的来源：模型误差：在数学建模时,由于忽略了某些次要因素而产生的误差；观测误差：在采集原始数据时,由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；截断误差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差；舍入误差：计算机因数系不全,由接受和运算数据的舍入引起的误差.科学计算中值得注意的地方：预防两个相近的数相减；合理

2、安排量级相差很大的数之间的运算次序,预防大数吃小数；预防绝对值很小的数做分母；简化运算步骤,减少运算次数.3 .用计算机做科学计算时的溢出错误.机器数系是有限的离散集,机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M和m,假设一个非零实数的绝对值大于M,那么计算机产生上溢错误,假设其绝对值小于m,那么计算机产生下溢错误.上溢错误时,计算机中断程序处理；下溢错误时,计算机将此数用零表示并继续执行程序.4 .解非线性万程f(x)=0单根的牛顿法具有二阶收敛.简单迭代法具有一阶收敛性.当f(X)10且有2阶导数时,Newton迭代法才有二阶敛速.5 .又t(n+1)个节点的Newton-cotes求积公式,在

3、n£7时,Cotes系数大于0,而在n>7时,考虑到公式的稳定性不实用该公式.6 .当系数矩阵A是严格对角占优矩阵,Jacobi格式、Seidel格式都收敛.7 .用高斯消元法求解线性方程组,一般使用选主元的技术是由于要减少舍入误差.8 .解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域内取初值,有初值限制.9 .二分法是全部收敛,简单迭代法是局部收敛.10 .四种插值方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多项式插值.11 .截断误差是对参与计算的数学公式作简化处理后所产生的误差,在所学的数值方法中插值和数值积分都涉及截断误

4、差处理的内容,分别为插值余项和积分余项.例：ex=1+*+'+±+无穷项相加我们用ex=1+x+"L+匕近似计算ex就产生截断误差.2!n!2!n!12 .线性方程组迭代解法的根本思想是将现行方程组作等价变形,得到同解的易于作迭代计算的线性方程组,用计算出的迭代序列来逼近解.考虑线性方程组Ax=b及由次方程组构造的迭代格式x(k+1)=Bx(k)+g,判断此迭代格式的收敛方法有：(1)假设r(B)<1,那么迭代格式收敛；(2)假设|b|<1,那么迭代格式收敛,Ib|是矩阵B的某种算子范数；(3)假设矩阵A是严格对角占优矩阵,那么线性方程组Ax=b的Jac

5、obi迭代和Seidel迭代对任意初值都收敛；(4)假设矩阵A是对称正定矩阵,那么线性方程组Ax=b的Seidel迭代对任意初值都收敛；(5)Sor法收敛的必要条件是松弛因子w满足0<w<2.町x?a,b?定收敛于阴,b?上的为一根x13.Newton迭代公式的收敛条件：(1)f(a)Xf(b)<0(2)f(x)10,、-'',、那么x0?我,b?只要f(x0)f(x0)>0,那么迭代公式产生的数列14.引入分段插值的原因及目的.Runge现象：随着节点n的增加,误差不但没减小,反而不断增大.原因是当节点n较大时,对应的是高次插值多项式,而高次多项式的舍

6、入误差是随次数的增加而不断变大的,用高次多项式插值作数值计算时舍入误差将淹没了增加节点提升的精度.Runge现象否认了用高次插值公式提升逼近精度的做法,因此引入了分段插值法.定义如下：取华,b?上的n+1个节点xk：a=x0<x1Vx2V<xn=b,并给出这些节点上的函数值f(xk)=gk,k=0,1J,n.假设函数j(x)茜足条件：(i)j(x)?a,b?±连续；(2)j(x)=yk,k=0,1：,n;(3)j(x猴每个/J区间公卜及+1m次多项式,k=0,1：,n-1,那么称jf(x)在月,b?上的分段m次插值多项式.15. Newton法的根本思想：将函数f(x)故

7、线性化处理,把方程L(x)=0中构造迭代公式.Newton法在x附近是平方收敛的.16. Seidel格式比Jacobi格式占用的内存空间大.f(x)=0转化为对应的近似方程L(x)=0,再从17.列范数:n间1=mjOx?ajJi=1;行范数:n料¥=嗝ax?%|；F范数:j=12范数：Ia|2=J匚二,lmax是ATA最大特征值；谱半径：r(A)=融含lk条件数：Cond,(A)=IApkZo特征值：ml-A=0求得的m即为A的特征值.矩阵的条件数可反映系数的敏感性,其值越大,解对系数越敏感,因而方程组越病态.18.2点Newton-Cotes公式【梯形公式】bb-a0f(x&g

8、t;x?丁尹(a)+f(b)?3点Newton-Cotes公式【Simpson公式】：b0f(x?x?b-a6,?a+b?,、立丁)+4f?+f(b)?复化梯形公式:b/、ba6n1立备OX?方faH"2?1f(Xk)5余项:,工)=-翳的0>卜为力?复化Simpson公式:Sf(x>x?b6a；f(a)+f(b)+4?/:?+2?f(xk»6n?、,>k=0e2?k=1,44余项：R(f,Sn)二-?h?f(4)(h)=-(一a)f(4)(h),h?a,b?()180?2?()2880()?19.插值与拟合的区别.插值与拟合都是有一组数据点构造一个近似函

9、数,但他们的近似要求不同.二者都属于函数逼近范畴.插值函数在几何上的描述为过所有给定数据点集散点图的任何一条曲线.插值是对个互异的点x0,x1,x2,xn及各个点对应的函数f(x0),f(x,),f(x2)；,f(xn)f区间a,b?上的n+1找出f(x)的一个近似函数P(x),使得P(xi)=f(xi),P(x)即为插值函数.拟合函数在几何上的描述为穿越所有给定数据点集散点图的任何一条曲线.拟合是对f(x,区间?a,b?kb的n+1个点x0,x1,x2,xn(不一定互异),根据各个点对应的函数f(x0),f(x1),f(x2,.,f(xny出的点图来选择用什么类型的函数做逼近函数j(x),逼

10、近函数j(x)通过件获得,那么这样求出的j(x)称为拟合函数.min|d|,d=&&&Jdj,di=f(x)j0)的拟合条20.Lagrange插值步骤：利用互异插值节点x0,x1,x2,xn,算出插值基函数lin(x),i=0,11,n；利用插值基函数构造插值多项式Ln(x)o优点：利用插值基函数很容易得到Lagrange插值多项式,公身构紧凑,在理论分析中很方便.lin(x产部要随之变化,在实际计算中很不方便.缺点：当插值节点增减时,余项：Rn(x)=f+1(x)Wn+1(xYx?,b»中:(n+1)n次Lagrange插值多项式至少需要n+1个插值节点数

11、据.与其相比,Newton插值具有承袭性和易于变动节点的特点.21 .L-插值和N-插值的异同./、n?x-xk?/、nn?x-xk?FWlin(x)=?-Ln(x)=?V?一k=0,k1iCxi-xk?i=0k=0,k1iCxi-xk?nwn+1(x)=?(x-xk),xk?a,b?'kk=0、N-插值f?x0,x1,x2；,xn?=?fd)=f(n)(x)余项：E二f?x0,x1；'L,xn,x?wn+1(x)-i=0Wn+1(x)n!f(x)=f(%)+f?x0,x1?(x-x0)+f?x0,x1,x2?(x-x0)(x-x1)+f?x0,x1,x2；,Xn%X-4系-%

12、)(x-Xn-1)同:Ln(x)=Nn(x>余项R,6)=En(x);表达式均为基函数的线性组合.异：L-基与N-基不同；计算L-插值主要计算基函数,计算N-插值主要计算组合系数或各阶商差;高次N-插值包含低次N-插值,而L-插值不然.22 .数值分析中,线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类.直接法使用有限次计算就能求出线性方程组“准确解的方法,这里的“准确解是指在求解过程中不考虑舍入误差影响得出的解.迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式,然后以一个猜想的向量作为迭代计算的初始向量,逐步迭代计算,来获得满足精度要求的近似解,是一种逐次逼近的方法.23 .三对角线性方程组用追

13、赶法计算求解效果最好,对称线性方程组用LDLT法.24 .假设n点的求积公式具有2n-1次的代数精度,那么称该求积公式为Gauss型求积公式.n点插值型求积公式的代数精度至少是n-1,至多为2n-1.【注意：假设下标从1开始,那么代数精度为2n-1,假设下标从0开始,那么代数精度应为2n+125 .刿断迭代的收敛险二.写出迭代方程计算各阶导数,判断各阶导数在根处是否为0,假设j(n)(x)10,那么最高为n阶收敛.判断求积公式的代数精度：取f(x)=xk,k=0,1,代入R(xk)=f(x,x-V,验证R(xk)=0是否成立,R(x0)=R(x1)=R(x2)=-L=0,第一个使R(xk)10

14、的k值,那么对应的代数精度为k-1.26 .求微分方程初值问题的Euler方法的绝对稳定域是1+lh£1,绝对稳定区间是f2,0?.第一章绪论.*i,绝对误差e:e=x-x绝对误差限e:e=x-x£e.*相对误差er：*一*ee=r岂相对误差限2,绝对误差计算公式:*er:一*£ee(x±y)=e(x)±e(y)e(x内)*?y*?y?笠户即汽方?ye(x)-,*xe(y3,相对误差计算公式:er*.*±yxe(x)±ye(y)xx±y.,*、4,绝对误差：e(x)=dx相对误差:e(V)=e(abc)=?V?ae

15、(a)+?V?b&(y)*?x?*4(x>y)?er(x)+(y)er?T?er(x)*e(x)dx/=dInxxx(b)+?c?V?V(c)e(/)=e(abc)=e(a)+瓦e*er(y)?V(b)+?ce(c)5,有效数字:£0.5'10mhn,那么称x*有n位有效数字.假设x*有n个有效数字,那么*.x的相对误差为:1£2a11-n10；假设x的相对误差为:eg)£1,101-n,贝1x*有n2(ai+1)个有效数字.第二章非线性方程的球根方法i.二分法：精度e,X-xk<e,1/、ln(b-a)-Ine产(b-a)<e,

16、即迭代次数：k>'1nj-1xk-xk-1<e2,简单迭代法：将f(x)=0转化为不动点方程x=j(k),构造迭代公式xk+1=j公式求的：=j(%),x2二je),收敛判别一:一当x?a,b?f寸,有j(x)?a,b?；任取x1,x2?a,b尹在与(xk),取定一个初值x1,x2无关的正常数x0,由迭代L<1,满足j(X)-j(x2)£Lxx2,那么j(x户a,b?中有唯一的不动点x*,且迭代公式xk+1=j1寸任取的_一*x0?a,b夕产生的数列都收敛于x.可替换为:j(x)£L<1,x?a,b夕定理同样成立x*是j(x)的不动点,j(x

17、)在x*处连续,j(x)<1时,xk+i误差估计式:精度e,Xr-xkLk-xk<e,1-xi-x0<e,xr-xk=j(人产部收敛;xi-x0可得迭代次数：k3ln1-L)exi-xoj(x)>1Ht,xk+i=j(xk)>0?InLxk-xk-i<e步骤：说明方程在所取区间内有唯一解:证实采取的迭代公式具有收敛性:f(a)X(b)<0,f'(xp再b?上不变号;x?a,b0j(x)?%,b夕j'(x)£L<1；迭代求解,用xk-xk_1<e判断.3.判断迭代的收敛阶：写出迭代方程计算各阶导数,判断各阶导数在根处

18、是否为0,假设j(n)(x)l0,那么最高为n阶收敛.步骤：确定迭代格式：xk+1=j(xk)；据条件建立方程组：f'(x)=0,f求出未知系数,建立迭代公式,计算f(n)''*1(x)=0,?；(x*)10,那么迭代收敛阶最高为4.Newton迭代法：xk+1=xk-frXkf(Xk)当f(x)10时,且有二阶导数,那么至少是平方收敛,否那么为线性收敛.(x)存在且在?a,b?上不变号;收敛判别：f(x)?C2?a,b?x满足以下三个条件：当f(a)X(b)<0；f(x)10,x?a,b夕f那么在?a,b?内任取一点x0,只要f(x0)f(%)>0,那么迭

19、代公式产生的数列xk,一定收敛于?a,b?止的唯一根第三章线性方程组的解法1.数值分析中,线性方程组的数值解法主要分为直接法和.迭代法的人类直接法使用有限次计算就能求出线性方程组“准确解的方法,这里的“准确解是指在求解过程中不考虑舍入误差影响得出的解.迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式,然后以一个猜想的向量作为迭代计算的初始向量,逐步迭代计算,来获得满足精度要求的近似解,是一种逐次逼近的方法.2.迭代法：i(k+1)?x()(k)(k)(k)x-42x()-a13x()-amxi)?xT1)?x2Jacobi迭代法：('2-通炉一a23镇-也即)x)?b-?ajx%=1,2,nai

20、i6j=1,j1i?-an*)-42婷-ann-1淄)Ax=b(D-L-U)x=bx(k+1)=d-1(L+U)x(k)+D-1bBJ=d1x(k+1)-工加ax(k)x?)aX、?x1-b1-a12x2-a13x3-anxnI?a11()(L+U)gj=D-1bSeidel迭代法:?(k+1)1(k+1)(<).?)?=就2-ML.-a2n巧(k+1).1?i-1aH?"-?j=1n,adj.)-?axf)j=i+1'?xn(k+1)=1为'1",1)-f/)?ann'(D-L)x(k+1)Sor迭代法：以=Ux(k)+bx(k+1)=(D-

21、L)1Ux(k)+(D-L)1bBs=(D-Seidel迭代法为根底,可以改变收敛速度.-1L)Ug-1S=(D-L)bX)-x=x?+1)i-1x(k+1)=(1-w)x(+1)+w?bi-?a*"'aaiiej=1A?)?2凶,+1=1,2,nj=i+1?(k)-1=(d-wl)於u+(1-w)D?x',+(d-wl)WbBw=(D-wl)?Wu+(1-w)D?gw=(D-wL)wbfAie其中：A=D-L-UD=1a22ann00an20口60a12ain立nueu0%=_©00a2n口ue；:口ue,u0?000?3.判断收敛性：当不能用范数或者矩阵

22、本身性质判定时:对Jacobi,对其求特征值,r(BJ尸段axlk,假设r(bj)<i,那么Jacobi迭代收敛对Seidel,求特征值,det(I-Bs)=0,即det(D-L)-U)=0,r(Bj)=林家k,假设r(bj)<1,贝u迭代收敛.4 .范数：列范数:nnlAli=max?%I；行范数:|AY=max?ai=ij=i;F范数:2范数：|a2=、：max,lmax是ata最大特征值.特征值:5 .Gauss消元法：消元过程一一回代过程,计算量为+n2-33适用条件：Ax=b的系数矩阵A的顺序主子式都不为0.ml-A=0求得的m即为A的特征值.消="3(|2-i

23、)+2(n-1)；N回='(n+i)列主消元法和全主消元法(首选)6 .LU分解法：Ax=b,将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积.LUx=b,Ly=b,Ux=yDoolittle分解：非奇异矩阵A的Doolittle分解是唯一的、u,u,u,u,u,u?加：uau22MU2Mo,He;?-、u,u,u0u,u,u,uGrout分解:22n2、u,u,u,u,u,u,u,u?nnn1ZTU21LDU分解:、u,u,u,u,u,u,u,u?16©see?-、u,u,uuu,u,u?nd+2d1d6©se?-D、u,u,u,u,u,u,u自37 .ldlt法

24、：专用于对称线性方程组,计算量为n.4A=AT,A=LDU,AT=(LDU)=utdlt=ldu=A,由矩阵A的LDU分解的唯一性可得u=lt,Ly=b,Dz=y,L,x=z,5n-48 .追赶法：求解三对角方程组的专用方法,计算量仅为ebe1ea：三对角方程组的系数矩阵A:A=6eCib2c2UUUUU1P2an-1bn-1anCn-1bnu-eueu?u-eq11胫晔?jriq2r2qn-1JiqnUUUUUUUU4=6,rk=ck,Pk-ak/qk-1,qk-bk-pkc<-19.条件数：设A?Rnn为非奇异矩阵,称Condp(A)=|A|p机为矩阵A的条件数.矩阵的条件数可反映系

25、数的敏感性,其值越大,解对系数越敏感,因而方程组越病态.第五章插值与拟合方法1.插值与拟合的区别.插值与拟合都是有一组数据点构造一个近似函数,但他们的近似要求不同.二者都属于函数逼近范畴.插值函数在几何上的描述为过所有给定数据点集散点图的任何一条曲线.插值是对区间a,b科的n+1个互异的点x01x11x2；,L,xn及各个点对应的函数f(x0),f(x),f住户,f(xn),找出f(x)的一个近似函数P«),使得P(Ki)=f(Ki),P(x)即为插值函数.拟合函数在几何上的描述为穿越所有给定数据点集散点图的任何一条曲线.拟合是对f(x)在区间a,b?止的n+1个点毛凶42,xn(不

26、一定互异),根据各个点对应的函数f(x0),f(x1),f(x2)J,f(xny出的点图来选择用什么过min|d|,d=&&d),di=f(xi)-j(xi)的拟合条类型的函数做逼近函数j(x),逼近函数j0)®j(x)秒为拟合函数件获得,那么这样求出的2. Lagrange插值./、n?x-xk?/、nn?x-xk?Iin(x)=?Ljn(x)=?yi?一k=0,k1iexi-xk?i=0k=0,k1iexi-xk?余项：Rn(x)=f'J(,n+1/、-Jln+1)Wn+1(x),x?(a,by中:nWn+1(x)=?(x-xk),xk?a,b?3. 商差

27、表:xy一阶商差二阶商差?n阶商差x0Nof?x0,X1?f?x0,X1,X2?f亦0,人,x2?x1y1f?X1,x2?f?x1,x2,x3?Xn-2yn-2f?Xn-2,Xn-1?f?Xn-2,Xn-1,Xn?Xn-1yn-1f?xn-1,Xn?Xnyn4. Newton插值nff?x0,Xi,X2,Xn?=?i=0Wn+1(x)n!余项：En(X)=f夕0,Xi；、Xn,X?Wn+l(X)f(X)=f(%)+f?X0,Xi?(X-X0)+f?X0,Xi,X2?(X-X0)(x-Xi)+f夕0,Xi,X2,Xn5.Newton前插公式：Dfi=f(Xi+h)-f(为)Dm:二口：Ifi+i

28、-D一1f?(X-x0)(X-Xl)(x-xn-l)Nn(X)=Nnt(t-1)2t(t-1)(t-n+1)n(%+th)=f(Xo)+tDf.+-d2f.+n1DDnf0x=x0+tht?0,n?Newton后插公式：=f0)-f(-h)?mfi=?m-1fi-?m-1fi+1Nn(X)=Nn(A+th)=f(Xn)+t?fn+等?2t(t+1)(t+n-1)nfn+Ln?fnX=Xn+tht?-n,0?当X值靠近X0时,用Newton前插公式,5.Hermite插值：有(2n+2)个条件,所以有而当X靠近4时,用Newt0n后插公式.(2n+1)次多项式.2n+1次Hermite插值多项式

29、是唯一的2n+1次Hermite插值多项式的余项为:(2n+2)f()(X)R2n+1(X)=工A/W(2n+2)!n+i(x)x?(a,b)Wn+i(X)=?(x-Xk)6.分段多项式插值：Runge现象：随着节点n的增加,误差不但没减小,反而不断增大.原因是当节点n较大时,对应的是高次插值多项式,而高次多项式的舍入误差是随次数的增加而不断变大的,用高次多项式插值作数值计算时舍入误差将淹没了增加节点提升的精度.Runge现象否认了用高次插值公式提升逼近精度的做法,因此引入了分段插值法.定义如下：取a,b时的n+i个节点xk：a=x0<x1Vx2V<xn=b,并给出这些节点上的函数

30、值f(xk)=gk,k=0,1J,n.假设函数j(x)首足条件：(i)j(xp?a,b?it连续；(2)j(x)=yk,k=0,1J,n；(3)j(x尸每个小区间?Xk,xk+1泮m次多项式,k=0,1,n-1,那么称j(x,f(x/?a,b?iH的分段m次插值多项式.7 .曲线拟合法一一最小二乘曲线拟合方法:步舞根据题意取基函数：屋的二xk,kWE建立m次曲线拟合函数：,j(x)=a0+aix+a2x2amxm;求建立法方程组：假设题中有c组数据,那么n=c-i,法方程组如下:ene?WiXi=i=0n?WiXyi=0m?WiXiy、u口u口9U?II幅幅leletele?II、u-u-u-

31、u-u-u-u-u-u-umiXwo?ymiX1won?m2iXwn?i=01X1wn?i=o2iXw?i=0f11wn?on7-1)0in?,6<e<<<<08 .最正确平方逼近：曲线拟合是用离散数据点来求拟合函数,假设用连续函数取代离散数据去求拟合函数,那么为换成定积分符号函数逼近的内容,即最正确平方逼近.只要将曲线拟合中设计节点累加的符号第六章数值积分与数值微分方法bn1 .假设存在实数x1,x2;,xn；A,A2,An,且任取f(x)?C?a,b?,都有窃f(x>x?Af(xi),那么称为一个数值求积,i=1公式.a称为求积系数,xi称为求积节点.2

32、 .评价一个求积公式的优劣可以用求积余项来说明,通常用与求积余项有关的代数精度来评价求积公式.判断求积公式的代数精度：取f(x)=xk,k=0,1,一,代入R(xk)=f(x,x-V,验证R(xk)=0是否成立,)二於下照=0,第个使R(xk)10的k值,那么对应的代数精度为k-1o3 .插值型求积公式：当f(x)为次数小于n的多项式时,f(n)(x)o0,R(f)=0,插值型求积公式的代数精度至少为n-1bbnbf(n)仪.、求积系数：A=6lin-1(x>x求积公式：6f(x>x?Af(x)求积余项：R(f)?(n(>wn(x)dx4.Newton-Cotes求积公式：当

33、求积节点个数为奇数时,Newton-Cotes求积公式代数精度至少为n；为偶数时,代数精度至少为n-1为使求积系数A计算简单,将求积节点xi取为夕,b?上的等距节点,b-ah=n-1i=1,2,nn点的Newton-Cotes求积公式:nnb(n)(n)1n-1?fx/©/GW、i口k+1?_dt2点Newton-Cotes公式【梯形公式】卜声与夕(a)+f(b»,余项:4)=-哈飞),h3点Newton-Cotes公式【Simpson公式】：b.xb-a6/、?a+b?立人,、6f(x>x?-6-ef(a)+4f?於f(b);,余项:R(f)=%对n个节点的Newt

34、on-cotes求积公式,在n£8时,Cotes系数大于0,而在n>8时,考虑到公式的稳定性不实用该公式.5.Gauss型求积公式：Gauss型求积公式是稳定的一?假设n点的求积公式具有2n-1次的代数精度,那么称该求积公式为Gauss型求积公式.【注意：假设下标从1开始】Gauss型求积公式的求积余项:R(f)=(2n)!b26r(x)w(x)dxh?a,b?6.复化求积公式xi=a+ih,h=bz-a5i=0,1,2：,n,将积分区间a,b我等分,有n+1个节点nb复化梯形公式(代数精度为1)：备f(x?x?n-1、b-ae/、-u17y(a)+f(b)+2?1f(Xk),

35、余项:b-a2R(f,Tn)=-1Th2f(h)假设f''(x)£M2,对于给定精度e,令R(f,Tn)£-bM2£e,得出h;(b-a)M2复化Simpson公式(代数精度为3):b6f(x)dxob-ae.、:1?xk+1+xk?:117?f(a)+f(b)+4?0f?-?+2?1fu仅k)u,?44b-a?h?,(4),、h(b-a),(4),、示项：VW户=?i/S=-8fO,3御婚1.Euler公式：第七章常微分方程初值问题数值解法yk+1=yk+hf(Xk,yk)k=0,1,2n-1,h=xk+1-x<h一一一一.假设用数值积分法：利用梯形公式得,yk+i=丫卜+万履(xk,yk)+f(4+1乂+1»k=0,1,2n-1显示方法一一可以直接解出yk+1;隐式方法一一需要解方程组解出yk+1,后退Euler方法2 .误差：局部截断误差是指计算一步所产生的误差局部截断误差：Tk+1=y(Xk+1)-y(Xk)-hjgy(xk),h)假设某种数值解法的局部截断误差为Tk+1=o(hP+1),那么称该方法具有P阶精度或该方法是p阶方法数值方法的阶越高,该方法越好,这是由于步长h一般小于1,故hP+1随p的增大而减小,从而使局部截断误差更小如果某方法是p阶方法,主要关心其局部截断误差Tk+1