浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第10章108 空间的计算问题

1、1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点，且 则BE1与DF1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.111111,4ABB ED F81715173212解析： 在A1B1上取一点G，并使 连接AG,再取AB的中点H，连接GH.则AGH为异面直线BE1与DF1所成的角.不妨设A1B1=4，则所以在AGH中，1114ABAG ，24117.AGGH 22217174cos.215172 1717AGGHAHAGHAGGH2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为 .解析： 如图，过点C作平面的垂线，

2、垂足为D，过D作DE垂直AB于E，连接CE.由三垂线定理得CED为 -AB-的平面角.由题意可知CED=30.303.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面所成角的大小为 .解析： 如图所示，过S作SO平面ABCD,则O是正方形ABCD的中心，AO是SA在平面ABCD上的射影，所以SAO为侧棱与底面所成的角.又在ABO中，易得所以SAO=45.452,2AOa4.如图，已知AB为平面的一条斜线，B为斜足，A O ， O 为 垂 足 ， B C 为 内 的 一 条 直 线 ，ABC=60,OBC=45,则斜线AB和平面所成的角为 .解析： 由斜线和平面所成的角的定义可知,ABO

3、为斜线AB和平面所成的角.又因为所以ABO= 45 .coscos602cos,coscos452ABCABOCBO一、异面直线所成的角1.异面直线所成的角：在空间中任取一点O，过O点分别作两异面直线的 线，所成的 叫做两条异面直线所成的角.2.异面直线所成的角的范围是 。 当 时，这两条异面直线垂直.(0,22平行锐角或直角二、直线与平面所成的角1.直线和平面所成的角：(1)如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为 .(2)如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为 .(3)如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的 所成的 角，称之为直线和平面所成的角.02射影锐2.直线和

4、平面所成的角的范围是 . 三、二面角的平面角1.二面角的平面角：从一条直线出发的两个 组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上 一点为端点，在两个半平面内分别作 两条射线.这两条射线所成的角叫做 .平面角是 角的二面角叫做直二面角.0,2半平面任意垂直于棱的二面角的平面角直 2.二面角的范围是 . 3.作二面角的平面角的常用方法有 . . 四、求空间角的基本方法 （1）构造法（传统法）； （2）空间向量法.0,定义法、线面垂直法、垂面法五、空间距离1.空间距离包括两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，直线与平面间的距离，两平行平面间的距离，但高考对空间距离的要求已经淡化.

5、其中两点间距离，点到直线的距离和两平行线间的距离可转化为平面几何问题处理，点到平面的距离，直线与平面间的距离，两平行平面间的距离都可归结为“点面距”.2.求空间距离的一般步骤找出或作出有关距离的图形；证明它符合定义；在平面图形中计算. 考点1：异面直线所成的角的求法例题1： 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=2，BD=BC=1，AA1=2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点.（1）求异面直线AD1与BE所成角的正切值；（2）当DF为何值时，EF与BC1所成的角为90?分析：依异面直线所成角的定义寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角.解析：

6、（方法一）（1）连接EC1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1中，AD1BC1，则EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.底面ABCD侧面DCC1D1BD=BCE为CD的中点 BE侧面DCC1D1 BEEC1.在RtBEC1中，所以BECD22113 22ECCCCE，1222BEDC，11t3an.ECEBCEB（2） 当 时，EF与BC1所成的角为90.由（1）知，BE侧面DCC1D1 BEEF.又当 时，14DF 1122.2DEECCCAA，14DF 因为所以DEFCC1E，所以DEF+CEC1=90，所以FEC1=90，即FEEC1.又EBEC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFB

7、C1,即EF与BC1所成的角等于90.112224242422DFDECECC，(方法二)由BC2+BD2=DC2可知，BDBC，分别以BD、BC、BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0,0,0),A(1,-1,0), D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), 1 1(,0).2 2E，（1）因为所以所以所以即AD1与BE所成的角的正切值为3.111102cos1021052AD BE ， ，13 10sin10AD BE ， ，1tan3AD BE ， ，11 1(0,1,2)(,0),2 2ADBE ，（2）设F(1,0,q)，则

8、又由得即 时，EFBC1.11(, ).22EFq ，1(0,1,2)BC ，111012022EF BCq ，14q ，14DF 点评： 异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用. 考点2:直线与平面所成角的求法例题2：如图，在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为CD的中点,将ADE沿AE折起,使平面ADE平面ABCE,得到几何体D-ABCE. (1)求证：BE平面ADE，并求AB与平面ADE所成的角的大小；解析： （1）在矩形ABCD中，连接BE，因为AB=2AD，E为CD的中点，所以AD=DE，EAB=45，从而EBA=45，故AEEB.过D作D

9、OAE于O,因为平面ADE平面 ABCE，所以DO平面ABCE，所以DOBE.又AEDO=O，所以BE平面ADE.可知AE为AB在平面ADE上的射影，从而BAE为AB与平面ADE所成的角，大小为45.（2）求BD与平面CDE所成角的正弦值.解析： 由（1）可知，DO平面ABCE，BE AE，过O作OFBE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0,0, 2)2,0,0 , (2,2 2,0)2 2, 2,0 . DEBC，设平面CDE的法向量n=(x,y,z).又则 得z=-x，y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又(2 22, 2)( 2,2,0)C

10、DCE ，2 2220220CDxyzCExy ，nn(2 2 2,2)DB ，则BD与平面CDE所成角的正弦值为121 2 2( 1) (2)2cos,.332 3DB n23. 点评：本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角. 考点3：二面角的求法例题3： 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1 D1中, AB=AD=2， ADDC, ACBD,垂足为E.12 3,3,DCAA(1)求证：BDA1C；解析： （方法一）(1)证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为AA1平面A

11、BCD，则AA1BD.因为BDAC，所以BD平面AA1C，故BDA1C.(2)求二面角A1-BD-A的大小.解析： 连接A1E，与(1)同理可证，BDA1E，BDAE，所以A1EA为二面角A1-BD-A的平面角.因为ADDC，所以ADC=90.又 ,且ACBD,可得AC=4.又AD2=AEAC，所以AE=1.又所以所以A1EA=60，即二面角A1-BD-A的大小为60.122 3,3ADDCAA，13AA ，11tan3AAAEAAE，（方法二）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADDC，故建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0),A(2,0,0),设B(x,y,0).因为AB=2，A

12、CBD，10,2 3,0 ,2,0, 3 .CA又所以 (x-2)2+y2=4 -2x+23y=0，解得x=3, 或x=0,y=0（舍）,即（1）因为所以所以 所以DBA1C.2,2 3,0 ,( , ,0)(2, ,0),ACDBx yABxy ，3y 3, 3,0 .B1(3, 3,0)2,2 3, 3 ,DBAC ，1323 2 3030DB AC ，DBAC1 ，（2）平面ABD的法向量为又设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，则 nDA1=2x+3z=0 nDB=3x+y=0，10,0, 3 ,AA 1(2,0, 3)( 3,1,0)DADB ，取得故从而二面角A1-BD-A的大

13、小为60.3x ，3, 3, 2 ,n130( 3) 0321cos,234AA ， n1120AA ， ，n备选题：备选题：如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1 D1中，E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.(1)试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F;(2)当D1E平面AB1F时，求二面角C1-EF-C的正切值的大小.分析：欲使D1E平面AB1F，只需D1E垂直于平面AB1F内的两条相交直线AF和AB1.而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明； (2)的解决关键是由二面角的定义，作出棱EF的垂面，计算平面角的大小即可.解析： (1)如图，连接A1B、DE.因为A1B

14、AB1,A1D1AB1,所以AB1平面A1BED1,所以AB1ED1.又因为E为线段BC的中点，且D1DAF,所以F为线段DC的中点时，有DEAF,则AF平面D1DE,所以D1EAF，故D1E平面AB1F.由（1）知，ACEF.又C1CEF,所以EF平面C1HC,所以C1HC就是二面角C1-EF-C的平面角.在RtC1HC中，所以121,4CCCH11tan.2 2CCC HCCH(2) 连接C1E、C1F、AC、EF,且AC与EF交于点H,连接C1H.1.空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法求解；当上述目标实现较困难时，可考虑用向量方法求解.2.构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算.作（找）出所求的角是计算的基础.异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找.最后，一般通过解三角形求出角的大小. 一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所夹角的余弦值为 .错解： 不能推出折叠后BDCD，ADCD仍然成立，找不到RtADB，求不出AB的长度，所以导致错误.错解分析