带摩擦的平衡问题

1、3.5考虑有摩擦时考虑有摩擦时物体的平衡问题物体的平衡问题ProblemsInvolvingFriction联轴器联轴器3-4考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题一、摩擦及其分类一、摩擦及其分类摩擦力摩擦力当两个物体沿接触面当两个物体沿接触面公切线公切线方向有方向有相对运动相对运动或或相对运动趋势相对运动趋势时，在接时，在接触面间产生触面间产生阻碍运动的力（阻力）阻碍运动的力（阻力）。产生摩擦的原因产生摩擦的原因接触面间的凹凸不平；接触面间的凹凸不平；接触面间的分子吸引力。接触面间的分子吸引力。摩擦产生的机理属固体物理研究内容，理力中仅研究摩擦产生的机理属固体物理研究内容，理力中仅研究摩擦的力

2、学效应。摩擦的力学效应。研究摩擦的目的研究摩擦的目的克服（或减少）摩擦；克服（或减少）摩擦；利用摩擦。利用摩擦。方法：提高零件表面光洁度、加润滑油等方法：提高零件表面光洁度、加润滑油等。如：皮带传动、摩擦制动装置等。如：皮带传动、摩擦制动装置等。摩擦的分类摩擦的分类按两物体的按两物体的相对运动形式相对运动形式分，有分，有按两物体间按两物体间有无相对运动有无相对运动分，有分，有滑动摩擦；滑动摩擦；滚动摩擦。滚动摩擦。静摩擦；静摩擦；动摩擦。动摩擦。本书主要讨论本书主要讨论静滑动摩擦，静滑动摩擦， 重点为：重点为：具有摩擦的平衡问题。具有摩擦的平衡问题。粗糙面粗糙面二、静摩擦力及其性质二、静摩擦力

3、及其性质滑动摩擦现象滑动摩擦现象PFNPFNFTF(1)当当FT =0，则，则F =0。（平衡）。（平衡）(2)当当0FTFT1时，物体处于运动状态（不平衡）。时，物体处于运动状态（不平衡）。静摩擦力：静摩擦力：物体物体仅有相对滑动趋势仅有相对滑动趋势时，在接触面间产生的摩擦力。时，在接触面间产生的摩擦力。静摩擦力的性质静摩擦力的性质F存在一个最大值存在一个最大值Fmax。（1）静摩擦力的大小具有一定范围，即：）静摩擦力的大小具有一定范围，即：max0FF NsFfFmax此时此时F由平衡条件决定（同约束反力）。由平衡条件决定（同约束反力）。（2）静摩擦力的方向：）静摩擦力的方向：与相对运动趋

4、势方向相反（沿接触处的公切线）与相对运动趋势方向相反（沿接触处的公切线）。（3）Fmax由库仑静摩擦定律确定：由库仑静摩擦定律确定：（317）Fmax称为最大静摩擦力；称为最大静摩擦力；fs静摩擦因素（无量纲系数）；静摩擦因素（无量纲系数）；FN 为法向压力。为法向压力。 fs 的物理意义的物理意义：表示单位正压力所能产生的摩擦力表示单位正压力所能产生的摩擦力。fs 仅与接触面的材料性质、表面状况、湿度、温度等有关。仅与接触面的材料性质、表面状况、湿度、温度等有关。fs 值需由实验测定。值需由实验测定。静摩擦因素现场静摩擦因素现场测量方法之一测量方法之一思考题：思考题：两面具有摩擦，F = 1

5、2.5N问：当问：当 F=30N 时，物块与夹板物块与夹板间的摩擦力多大间的摩擦力多大？答案：10NMFF?NFF?答案：Fmin=25N三、摩擦角与自锁现象三、摩擦角与自锁现象摩擦角摩擦角(AngleofFriction)全反力全反力FR：摩擦力与法向压力的合力。摩擦力与法向压力的合力。 表示全反力FR与法向反力FN的夹角。NRFFF随摩擦力F的增加而增加。当F = Fmax时，max全反力全反力FR与接触面法线方向的最大夹角与接触面法线方向的最大夹角f称为摩擦角，用符号称为摩擦角，用符号表示。表示。sNNsNffFFfFFmaxtan即：摩擦角的正切等于静摩擦因素。摩擦角的正切等于静摩擦因

6、素。主动合力的作用线主动合力的作用线自锁现象自锁现象由于全反力由于全反力FR只能在摩擦角范围只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内作用线在摩擦角范内，不管主动不管主动力大小如何，都能平衡，力大小如何，都能平衡，这种现这种现象叫象叫自锁自锁(Self-lock)。fAFRAFR自锁条件：自锁条件： f 如：如：（1）斜面自锁条件）斜面自锁条件自锁现象自锁现象由于全反力由于全反力FR只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内合力的作用线在摩擦角范内，不管主动力大小如何，都能不管主动力大小如

7、何，都能平衡，平衡，这种现象叫这种现象叫自锁自锁。又如：（又如：（2）斜面自锁条件的应用）斜面自锁条件的应用自锁现象自锁现象由于全反力由于全反力FR只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内合力的作用线在摩擦角范内，不管主动大小如何，都能平不管主动大小如何，都能平衡，衡，这种现象叫这种现象叫自锁自锁。四、动滑动摩擦力四、动滑动摩擦力当两接触面有相对滑动时，接触面间摩擦力当两接触面有相对滑动时，接触面间摩擦力称为称为动滑动摩擦力动滑动摩擦力。NfFF （318）f 动摩擦因素，由实验测定。库仑动摩擦定律库仑动摩擦定律一般有：fs f 。滑

8、动摩擦力变化曲线滑动摩擦力变化曲线注：注：动滑动摩擦力是一个值，而不是一个变化范围。动滑动摩擦力是一个值，而不是一个变化范围。五、具有摩擦的平衡问题特点及其求解五、具有摩擦的平衡问题特点及其求解特点：特点：（1） 受力分析时，需分析摩擦力受力分析时，需分析摩擦力F（方向）。（方向）。F方向与相对运动趋势方向相反 （2）临界平衡时，除满足平衡条件外，还需满足摩擦的物理条件临界平衡时，除满足平衡条件外，还需满足摩擦的物理条件：NsFfFFmax（3）解答是以不等式表示的平衡范围，而不是一个值。解答是以不等式表示的平衡范围，而不是一个值。（通常先求临界状态时的两个极限值，（通常先求临界状态时的两个极

9、限值，所求范围即为两个极限值之间。）所求范围即为两个极限值之间。）1例：例：解：解：重量为重量为P 的物块放在固定斜面上，斜面的倾角为的物块放在固定斜面上，斜面的倾角为。已知：物块与斜面间的摩擦因素为。已知：物块与斜面间的摩擦因素为 fs(摩擦角摩擦角为为)，且，且。为使物体在斜面。为使物体在斜面上保持静止，在其上作用一水平力上保持静止，在其上作用一水平力F，如图所示。，如图所示。试求力试求力F 的大小。的大小。sffarctanf分析：分析：当当F 较小时，物块将有较小时，物块将有向下的滑动趋势向下的滑动趋势。当当F 较大时，物块将有较大时，物块将有向上的滑动趋势向上的滑动趋势。（1）当具有

10、）当具有向下滑动趋势向下滑动趋势时，并处于时，并处于临界平衡临界平衡状态。状态。FNF1minxymax:0 xiF0sincosmaxmin1FPF:0yiF0cossinmin1NFPF(1)(2)摩擦的物理条件：摩擦的物理条件：NsFfFmax(3)由由(1)、(2)、(3)求得求得：sincoscossinmin1ssffPF(4)或利用fsftansintancoscostansinmin1ffPF)tan(fP(5)（2）当具有）当具有向上滑动趋势向上滑动趋势时，并处于时，并处于临界平衡临界平衡状态。状态。11FNFmaxmaxxy:0 xiF0sincosmaxmax1FPF(6

11、):0yiF0cossinmax1NFPF(7)摩擦的物理条件：摩擦的物理条件：NsFfFmax(8)由由(6)、(7)、(8)求得求得：sincoscossinmax1ssffPF(9)或利用fsftansintancoscostansinmax1ffPF)tan(fP(10)综合式（综合式（5）、（）、（10）得，）得，F1的值在下列范围时，物的值在下列范围时，物块可静止在斜面上。块可静止在斜面上。)tan()tan(1ffPFP(11)说明与讨论：说明与讨论：（1）当）当，F1max 为负值，说明无需为负值，说明无需F1 物块也能平衡，即产生物块也能平衡，即产生自锁现象。自锁现象。f（2

12、）两种情况）两种情况下的下的FN 与与Fmax 是不同的。是不同的。（3）利用摩擦角的概念，结合几何作图法求解。）利用摩擦角的概念，结合几何作图法求解。解法二、解法二、 几何法几何法11FNminFmax（1）当具有）当具有向下滑动趋势向下滑动趋势，并处于，并处于临界平衡临界平衡状态时状态时fRFP、F1min、FR 构成一汇交力系。构成一汇交力系。作力多边形（力三角形），得作力多边形（力三角形），得PFRF1minf)tan(min1fPF（2）当具有）当具有向上滑动趋势向上滑动趋势，并处于，并处于临界平衡临界平衡状态时状态时1FNmaxFmaxFRfP、F1max、FR 构成一汇交力系。构

13、成一汇交力系。作力多边形（力三角形），得作力多边形（力三角形），得PFRF1maxf)tan(max1fPF)tan()tan(1ffPFP综合上述结果，得综合上述结果，得例：例：解：解：梯子梯子AB 靠在墙上，与水平面成靠在墙上，与水平面成角。梯子长角。梯子长AB =l，重量可，重量可略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静擦因素为略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静擦因素为fsA，fsB。重量为。重量为P的人沿梯上登，他在梯上的位置的人沿梯上登，他在梯上的位置C 不能过不能过高，即距离高，即距离AC =s，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试求求s

14、 的范围。的范围。梯子梯子AB 研究对象研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax:0yiF:0 xiF0maxANBFF(1)(2)0maxPFFBNA:0AiM0cossincosmaxmaxlFlFPsBNB(3)临界平衡时有：临界平衡时有：NAsAAFfFmax(4)NBsBBFfFmax(5)解上述5个方程，得lffffssBsAsBsA1)(tanmax(6)所求所求s 值为值为lffffssBsAsBsA1)(tan0(7)设= 60， fsA= 0.4，fsB= 0.2则：则：smax = 0.7156 l。讨论：讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax

15、lffffssBsAsBsA1)(tanmax(6)repeat（1）当 时，)90tan(cot1tanfAfAsAf即： ，此时有fA90lsmax（2）当当fsB = 0，即墙面为光滑时，由式（即墙面为光滑时，由式（6）得）得lfssA)tan(max但当但当fsA = 0，即地面为光滑时，由式（即地面为光滑时，由式（6）得）得0maxs此时人无法登上梯子。此时人无法登上梯子。lffffflffffssBsAsAsBsAsBsAsBsA)1()(tan1)(tanmax例：例：解：解：已知：已知：F1=20kN，F2=20kN，fsA = fsB = 0.3，如图如图所示。试问圆柱是否运

16、动所示。试问圆柱是否运动？问题问题：A，B 处摩擦力是否达到最大值处摩擦力是否达到最大值Fmax？（1）杆）杆OA 研究对象研究对象F1FOxFOyFANFA:0OiM0421FFANkN40ANF（2）圆轮圆轮C 研究对象研究对象AFANFBNFBFxy:0yiF0ANBNFFkN40ANBNFF:0CiM0 rFrFBAABFF:0 xiF02BAFFFkN10AABFFF（3）与极限摩擦力比较与极限摩擦力比较kN12403 . 0maxmaxANsABAFfFF显然有：显然有：maxmax,BBAAFFFF所以圆柱所以圆柱C 静止。静止。（其中，（其中，r 为轮的半径）为轮的半径）思路思

17、路：先假定平衡，求出先假定平衡，求出FA、FB，再与再与Fmax比较。比较。例：例：解：解：已知：已知：F1=20kN，F2=25kN，fsA = fsB = 0.3，且圆柱且圆柱重重P = 10kN，如图所示。试问此时圆柱是否运动如图所示。试问此时圆柱是否运动？先假定圆柱平衡先假定圆柱平衡（1）杆）杆OA 研究对象研究对象F1FOxFOyFANFA:0OiM0421FFANkN40ANF（2）圆轮圆轮C 研究对象研究对象AFANFBNFBFxyP:0yiF0PFFANBNkN50BNF:0CiM0 rFrFBAABFF:0 xiF02BAFFFkN5 .12AABFFF（3）与极限摩擦力比较

18、与极限摩擦力比较kN12403 . 0maxANsAAFfF比较有：比较有：maxmax,BBAAFFFF所以圆柱所以圆柱在在A点可动点可动 ，而在而在B点不可运动。点不可运动。（其中，（其中，r 为轮的半径）为轮的半径）kN15503 . 0maxBNsBBFfF轮子的这种运动称为轮子的这种运动称为纯滚动，纯滚动，纯滚动时接触点的纯滚动时接触点的摩摩擦力为静摩擦力擦力为静摩擦力。例：例：解：解：已知摇臂重已知摇臂重P，与立柱间的摩擦因素与立柱间的摩擦因素fs = 012，L = 450mm，试求摇臂不致卡住时的高度试求摇臂不致卡住时的高度h。（1）摇臂和立柱之间有间隙，在）摇臂和立柱之间有间

19、隙，在P的作用的作用下只能有两点接触下只能有两点接触（A、B）。（2）摇臂不致卡住的力学意义）摇臂不致卡住的力学意义。摇臂摇臂 研究对象（先假定摇臂平衡）研究对象（先假定摇臂平衡）FNAFNBFAFBxy:0 xiF0NBNAFF)(NBNAFF:0yiF0PFFBA:0BiM0)2(dLPhFdFNAA（1）（2）（3）将（2）代入（3）得)2()2(dLFdLFhFBANA摩擦平衡的物理条件：,NAsAFfF NBsBFfF （4）（5）将（5）和（1）代入（4）得)2()2(dLFfdLFfhFNBsNAsNA0)2(hLfFsNA0NAF0)2(hLfsmm10845012. 022L

20、fhs要使摇臂不被卡住的要使摇臂不被卡住的 h 值为：值为：mm108h例：例：解：解：已知摇臂重已知摇臂重P，与立柱间的摩擦因素与立柱间的摩擦因素fs = 012，L = 450mm，试求摇臂不致卡住时的高度试求摇臂不致卡住时的高度h。摇臂摇臂 研究对象（先假定摇臂平衡）研究对象（先假定摇臂平衡）FNAFNBFAFBxy所以，要使摇臂不被卡住所以，要使摇臂不被卡住的的 h 值为：值为：mm108hfdLhtan)2( fdLtan)2( fLtan2mm10845012. 0230 解：解：作法线AH和BH 作A,B点的摩擦角 交E,G两点 E,G两点间的水平距 离l为人的 活 动范围练习练

21、习4 水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？l31090AGBAEB)60cos()30sin()60cos()30cos()60sin()30cos(000000ABBGBDABAEAC所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理，只有在只有在CD段段活动时活动时，才能满足三力平衡必汇交，能交上（有交点）证明证明：由几何关系ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC解解:(1)取取AB杆为研究对象杆为研究对象02, 0)(lFlFFMBNCA

22、设设C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：NCCCCFfFFmax解得：解得：FNC=100N， FC=40N(2)取轮为研究对象取轮为研究对象060sin60cos0060cos60sin, 00, 0)( NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF已知：已知：P=100N，FB=50N，fc =0.4， 求：求：(1)若若fD =0.3， 轮心轮心O的水平推力的水平推力Fmin =60，AC = CB = l /2，r。(2)若若fD =0.15， 轮心轮心O的水平推力的水平推力FminACBFBFAxFAyFNCFC设设C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态

23、，则有：NCCCCFfFFmax解得：解得：FNC=100N， FC=40N(2)取轮为研究对象取轮为研究对象060sin60cos, 0060cos60sin,0, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFFrFrFMFoDFPFDFNDFCFNC解得：解得：FD=40N，F = 26.6N，FND=184.6NN39.556 .1843 . 0maxNDDDFfF由于由于FDFDmax，D处无滑动，上述假定正确处无滑动，上述假定正确N6 .26minF(3)当当fD =0.15 时时N7 .276 .18415. 0maxNDDDFfF因因FDFdmax 故应设故应设D 处达

24、到临界状态处达到临界状态060sin60cos, 0060cos60sin, 00, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF补充方程：补充方程：NDDDDFfFFmax解得：解得：FD= FC =25.86N，F = 47.81NN40N86.25maxNCCCCFfFF而而此此时时故上述假定正确故上述假定正确N81.47minF?如何求得系统平衡时如何求得系统平衡时FmaxACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC思考题：思考题：重量均为重量均为的小球的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数

25、为在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为 ，一水平力一水平力作用于作用于A球，系统平衡时球，系统平衡时 30ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：解：（1）取取小球小球A为研究对象为研究对象sSAPfF（2）取取小球小球B为研究对象为研究对象sSBPfFsSBSAPfFFF330cos)(max思考题：思考题：均质杆质量为均质杆质量为m，长，长l，置于粗糙的水平面上，两者间，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为的静摩擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力。现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求，试求使杆处于平衡时的使杆处于平衡时的。设杆的高度忽略不计。设杆的高度忽略不计。xOFABl解：

26、解：取杆取杆AB为研究对象为研究对象02)(2, 0)(0)(, 022lxlmgflxmgfxFFMxllmgfxlmgfFFssOssxsmgfFlx) 12(22maxSample Problem 8ThemaninFig(a)istryingtomoveapackingcrateacrossthefloorbyapplyingahorizontalforceP.Thecenterofgravityofthe250-Ncrateislocatedatitsgeometriccenter.DoesthecratemoveifP=60N?Thecoefficientofstaticficti

27、onbetweenthecrateandtheflooris0.3.Solution Theproblemstatementdoesnotspecifyimpendingmotion.Todetermineifthecratemovesfortheconditionsstated,wefirstassumeequilibriumandthenchecktheassumption.However,thecheckmustanswertwoquestions-doesthecrateslideand(1) (2)doesthecratetip?Thefree-bodydiagramofthecra

28、teisshowninFig.(b).Iftheblockisassumedtoremaininequilibrium,thethreeequilibriumequationscanbeusedtocalculatethethreeunknowns:thenormalforce N1,thefrictionforceF1,andthedistancexlocatingthelineofactionofN1,asshowninthefollowing.AssumeEquilibrium0Fx 0Fy N60PF0FP11 N250N0250N11 0M0 0)9 . 0(PxN1 Whichgives m216. 0250/9 . 060N/9 . 0Px1 Check Thelargestpossiblevalueforxis0.3m(halfthewidthofthecrate)Becausex=0.216m,asobtainedfromequilibriumanalysis,issmallerthanthat,weconcludethattheblockwillnottip .ThelimitingstaticfrictionforceisCratewill not movewhenP=60N.whichislargerthant