第一章 弹塑性力学的数学基础

1、第一章弹塑性力学的数学基础 在弹塑性力学中经常采用矢量和张量符号，这些符号具有简洁的优点,可以将各种力学关系用简明的数学形式表示出来。这样，就可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身。1.1.1标量场的梯度1.1.2矢量场的散度1.1.3矢量场的旋度1.1 矢量1.1.1 标量场的梯度 假定在空间某区域定义一个标量函数假定在空间某区域定义一个标量函数 ，那么可以得到，那么可以得到 别别对三个坐标的导数，对三个坐标的导数，3,2,1ixGii gradG其中，三个其中，三个 为矢量为矢量 的分量，称为的分量，称为 的梯度，它描述了标量的梯度，它描述了标量场变化最大的方向和最大的变化率场变

2、化最大的方向和最大的变化率, ,也可表示为也可表示为iGG即即123Tjxxxx1.1.1 标量场的梯度可以证明，可以证明， 垂直于垂直于 的曲面。的曲面。算子矢量算子矢量 自身没有实际意义，而是一种方便运算的符号。自身没有实际意义，而是一种方便运算的符号。332211xexexe123,xxx常数123jxxxx 1.1.2 矢量场的散度 算子 与一个矢量V 的点积定义为这个矢量场的散度312123vvvdivxxx VV 是一个标量；不像矢量那样有三个分量。由于 不存在，因而点积 不能互相交换： VVVVV1.1.3 矢量场的旋度 与与 的叉积可写成的叉积可写成 的形式，称之为的形式，称之

3、为 的旋的旋度。度。 123123curlxxxvvv123eeeVV如果 的偏导数存在，可以证明称为称为 的拉普拉斯算子。的拉普拉斯算子。2232222212xxxVVV2 220 TkTt(4) 泊松方程泊松方程(2) 拉普拉斯方程拉普拉斯方程(1) 热传导方程热传导方程1.21.2 常见的数学物理方程常见的数学物理方程 20 T2 Tf(3) 波动方程波动方程22220 uaut一维热传导方一维热传导方程的展开形式程的展开形式tTkxT222波动方程的波动方程的展开形式展开形式tuzuyuxu222222222介绍与张量有关的几个记法和概念：介绍与张量有关的几个记法和概念：1.3.1 1

4、.3.1 指标记法指标记法1.3.2 1.3.2 求和约定求和约定1.3.3 1.3.3 微分的记法微分的记法1.3.4 1.3.4 符号符号1.3.5 1.3.5 符号（置换符号）符号（置换符号）1.3.6 1.3.6 笛卡尔张量的定义笛卡尔张量的定义1.3.7 1.3.7 张量性质张量性质ijr s te1.3 张 量 代表矢量代表矢量 的所有分量，即当的所有分量，即当 写作写作 时，指标时，指标 的值的值 从从 1 到到 3 变化。变化。注：注： 321,xxxfxfxfXfjiivVivi 和和 代表同一个矢量代表同一个矢量。ixjx1.3.11.3.1 指标记法指标记法 一个矢量一个

5、矢量 可采用不同的方式表示：可采用不同的方式表示：iiiivevevevevvvvV31332211321,VV123,iVv vvv矢量的指标记法矢量的指标记法1.3.2 1.3.2 求和约定求和约定举例说明求和约定的规则。考虑下面的方程组：举例说明求和约定的规则。考虑下面的方程组：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa作为第一步缩写，可以写成：作为第一步缩写，可以写成：112233jjjjjjaxbaxbaxb最后可以缩写为：最后可以缩写为：ijjia xb其中其中 称为称为自由标自由标， 称为称为哑标哑标。ij第一行第一行第

6、二行第二行第三行第三行关于下标的约定可以总结为以下三条规则：关于下标的约定可以总结为以下三条规则：1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为次，则称之为“自由指标自由指标”，自由指标在表达式或方程的，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。每一项中必须只出现一次。2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为两次，则称之为“哑标哑标”，它表示从，它表示从1到到3求和。哑标在其求和。哑标在其他任何项中可以正好出现两次，也可以不出现。他任何项中可以正

7、好出现两次，也可以不出现。3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。数多于两次，则是错误的。1.3.3 1.3.3 微分的记法微分的记法矢量矢量 的散度：的散度：312123, i iiivvvvvxxxx V3 , 32, 21 , 1,vvvviiV在上边的连等式中，在上边的连等式中， 就是一种典型的微分记法。在下标中，第一就是一种典型的微分记法。在下标中，第一个指标表示个指标表示 的分量，逗号表示对第二个指标的偏导数，第二个指的分量，逗号表示对第二个指标的偏导数，第二个指标对应于相应的坐标轴，所以标对应于

8、相应的坐标轴，所以iiv,V123jxxxx 1.3.3 1.3.3 微分的记法微分的记法同理，同理， 的梯度可作如下表示：的梯度可作如下表示：2,11,22,33,ii 123123jjeeeexxxx123,xxx偏导数的记法：逗号后面紧跟一个下标偏导数的记法：逗号后面紧跟一个下标 i 时，表示某物时，表示某物理量对理量对 x i 求偏导数。求偏导数。利用偏导数的记法，偏导数均可缩写为：利用偏导数的记法，偏导数均可缩写为： 偏导数的记法偏导数的记法,( )( )iix,ii jjuux,ijij kkx,ijij kkx,ijij klklxx,ijij klklxx,ii klkluux

9、x1.3.4 1.3.4 符号符号ij100010001ij称为称为KroneckerKronecker符号，也称符号，也称置换算子置换算子。后一名称源于下式后一名称源于下式: :jiijvv在将在将 作用于作用于 时时,只是将只是将 中的中的 用用 置换；置换；ijjvjijv对于单位矢量，当对于单位矢量，当 时时, 点积点积 ； 当当 时，点积时，点积 。这正好与这正好与 的的 分量一致，因此有分量一致，因此有 ji 1jieeji 0jieeijijije e10ijijij显然显然 111113212223313233100010001ij运算规律运算规律 1122333iimimii

10、mmjijaaTTKroneckerKronecker符号符号 1.3.5 1.3.5 符号（符号（置换符号置换符号）rste 符号有符号有27个元素，这些元素根据下标值规定个元素，这些元素根据下标值规定为为 +1， -1，0。例如。例如 ， ，这种，这种定义是根据将下标交换成定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所需交自然顺序所需交换的次数而定的。换的次数而定的。若若下标交换次数为偶数，则元素的值为下标交换次数为偶数，则元素的值为1；若若下标交换的次数为奇数，则元素的值为下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1；若若下标出现重复，则元素的值为下标出现重复，则元素的值为0。1123e1132e

11、rste11 2 311 3 20ijkijkijke， ， 为 ，等的偶排列， ， 为 ， ，等的奇排列有相等下标时偶排列偶排列：有序数组有序数组1 1，2 2，3 3逐次对换两个相邻的数字逐次对换两个相邻的数字, ,对对换次数为偶数而得到的排列；换次数为偶数而得到的排列；奇排列奇排列：有序数组有序数组1 1，2 2，3 3逐次对换两个相邻的数字逐次对换两个相邻的数字, ,对对换次数为奇数而得到的排列。换次数为奇数而得到的排列。12323131213232121311eeeeee 1.3.5 1.3.5 符号（符号（置换符号置换符号）rste如如 1.3.5 1.3.5 符号（符号（置换符号

12、置换符号）rste 采用图解法确定交错张量的符号。假设将数字采用图解法确定交错张量的符号。假设将数字1，2，3放在一个圆的圆周上，放在一个圆的圆周上，如果下标是按如果下标是按顺时针方向顺时针方向排列，则排列，则符号为正符号为正，如果下标是按如果下标是按逆时针方向逆时针方向排列，则排列，则符号为负符号为负。 置换符号置换符号为缩写提供了另一种方法，如：为缩写提供了另一种方法，如：111213212223313233123rstrstaaaaaaea aaaaa同理有同理有ijjiijkkijkku vu veeUVee在证明时，可以省去证明冗长的中间步骤，如表达式在证明时，可以省去证明冗长的中间

13、步骤，如表达式 ，由于下标，由于下标 必须互不相同必须互不相同，所以可，所以可能的组合有能的组合有 。 因而因而3jjkkeu v3jk， 和3,1,2,2,1jkjk和311232 31323 22 33 2jjkkeu veu veu vu vu v用同样的方法可以证明其他两项。用同样的方法可以证明其他两项。231 3 1213 1 33 11 32jjkkeu veu veu vu vu v312 1 2321 2 11 22 13jjkkeu veu veu vu vu v下面用一个例子来说明置换符号的用途：下面用一个例子来说明置换符号的用途：例：利用指标证明例：利用指标证明0其中其中

14、 为一标量函数。为一标量函数。123123123kkiiijkijkjjkkxxxxxxxeexxxx eeeeee证：证：( , , )x y z对于对于 ，表达式，表达式 产生产生矢量的一个分量。矢量的一个分量。对于对于 ，非零项为，非零项为 和和 。所以所以3 ,2, 1i/jijkkixxe e1i2,3jk3,2jk22222332123132123320jkjkxxx xx xx xx xeee 对于对于 ，可得到同样的结果，可得到同样的结果，2i 和 i = 322221221312321312210jkjkxxx xx xx xx xeee 222231132312132311

15、30jkjkxxx xx xx xx xeee 得证。得证。 1.3.6 1.3.6 笛卡尔张量的定义笛卡尔张量的定义 有些量既不是矢量也不是标量。例如物体的转动惯有些量既不是矢量也不是标量。例如物体的转动惯量。引入与物体转动惯量有关的量量。引入与物体转动惯量有关的量 。当坐标系转动。当坐标系转动时，此量按下式变化时，此量按下式变化ijx xijikjlklx xl lx x引入张量的概念。如果每个笛卡尔坐标系都有引入张量的概念。如果每个笛卡尔坐标系都有 个数个数 与之对应，且这些数当笛卡尔坐标系变到另一个时，按规与之对应，且这些数当笛卡尔坐标系变到另一个时，按规律律23ijTijijikjl

16、TTll变化则这变化则这 个数全体就称为三维空间中的二阶张量。个数全体就称为三维空间中的二阶张量。 ：是：是 过渡到新坐标系的系数。过渡到新坐标系的系数。23ijlijT一阶张量一阶张量：ii kkTlT二阶张量二阶张量：i jisjks kTllT三阶张量三阶张量：ijkimjnkpm n pTlllT张量可以有任意阶，从以上表达式中可以得出张量一般张量可以有任意阶，从以上表达式中可以得出张量一般的变换规则。由于受笛卡尔坐标系的限制，所以这些张的变换规则。由于受笛卡尔坐标系的限制，所以这些张量称为笛卡尔张量。量称为笛卡尔张量。同理可定义其它阶张量同理可定义其它阶张量在高等数学中有坐标的在高等

17、数学中有坐标的旋转变换旋转变换，如下图中所示：，如下图中所示：可以证明如下结论：可以证明如下结论：irjrijri rjijlllloldoldnewnew下面证明其中一个结论：下面证明其中一个结论：irjrijl l112233123123iiiiiiiij jee e ee eee e el el el el e所以所以rijijirjk kirir jrjkrkeel elel ll l即即irjrijll证毕证毕r i r jijll同理同理1.3.7 1.3.7 张量性质张量性质张量相等即对应分量相等；张量相加即对应分量相加；张张量相等即对应分量相等；张量相加即对应分量相加；张量相乘

18、构成一个新的张量量相乘构成一个新的张量,通常其阶数是原张量的阶数之通常其阶数是原张量的阶数之和；和；n阶张量缩并后变为阶张量缩并后变为n-2阶张量等等。下面简单的举例阶张量等等。下面简单的举例说明说明:1. 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所有，则在所有坐标系中的所有分量都为坐标系中的所有分量都为0。这个结论在减少数学和物理。这个结论在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考虑由力证明方面很有帮助，如：要考虑由力 产生的应力产生的应力 ，以后将证明，为满足平衡条件以后将证明，为满足平衡条件 ，现将它重写，现将它重写为为 ，因为，因为 是零矢量，因

19、此只需在一个是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。坐标系中证明即可。 iFijijijF,0,ijijiFDiD2.一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。 证明：证明： r s tirjsijlltm vu vk mk uAlllABllBrstm vuvirjsijlkmltkuClllAllBCABrstuvrstuvm vrstuvirjsijklmlt kuCl ll llC则则令令所以所以 为五阶张量。为五阶张量。3.三阶张量缩并成一阶张量三阶张量缩并成一阶张量证明：证明：因为因为所以所以又因为又因为irisrsl l所以所以rsrstrstrsiikktktAlAlAr s tirjsijkk tAlllAr s tirisiikk tAlllA()ri rjijll又又100010001r s所以所以112233rstrstttrrtssttAAAAAAC112233()iikkttttkttAlAAAl C因因则则iikkAC得证。得证。kttkl CC二阶对称张量二阶对称张量反对称张量反对称张量 jiijTTjiijTT任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。