第三章 晶体的宏观对称

1、第二章第二章晶体的宏观对称晶体的宏观对称crystal symmetry 晶体的对称性是晶体的晶体的对称性是晶体的基本性质基本性质之一。之一。 内部特征内部特征 格子构造格子构造 外部现象外部现象 晶体的几何多面体形态晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质晶体的物理性质 化学性质化学性质 一、对称的概念一、对称的概念 是宇宙间的普遍现象。是宇宙间的普遍现象。 是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密码。自然的密码。 对称对称是指物体是指物体相等部分相等部分作有作有规律规律的的重复重复。对于。对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、晶体外形而言

2、，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。角顶与角顶的有规律重复。二、晶体的对称二、晶体的对称1.由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就是质点在三维空间周期重复的体现，因此，是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所所有的晶体都是对称的有的晶体都是对称的。2.晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，此，晶体对称又是有限的。晶体对称又是有限的。3.晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶

3、体的对称不仅体现在对称不仅体现在外形外形上，也体现在上，也体现在物理性质物理性质上上（光学、力学、热学、电学性质）。（光学、力学、热学、电学性质）。4.是晶体的基本性质之一。是晶体的基本性质之一。5.是晶体科学分类的依据。是晶体科学分类的依据。三、晶体的对称操作和对称要素三、晶体的对称操作和对称要素 在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素（点、线、面）进行一定的操作（如反伸、旋（点、线、面）进行一定的操作（如反伸、旋转、反映等）才能实现，这些操作称为转、反映等）才能实现，这些操作称

4、为对称操对称操作作(symmetryoperation)，在操作中所借助的几，在操作中所借助的几何要素，称为何要素，称为对称要素对称要素()。 对称中心对称中心(centerofsymmetry) 对称面对称面(symmetryplane) 对称轴对称轴(symmetryaxis) 倒转倒转轴轴(rotoinversionaxis)对称轴为一假想的通过晶体几何中心的直对称轴为一假想的通过晶体几何中心的直线，其对称操作为绕此直线的旋转。当晶体围线，其对称操作为绕此直线的旋转。当晶体围绕该直线每旋转一定角度后，晶体上的相同部绕该直线每旋转一定角度后，晶体上的相同部分便出现一次重复。在旋转过程中，相

5、等部分分便出现一次重复。在旋转过程中，相等部分出现重复时所必须的最小旋转角，称为出现重复时所必须的最小旋转角，称为基转角基转角（）。在晶体旋转一周的过程中，相等部分。在晶体旋转一周的过程中，相等部分出现重复的次数，称为出现重复的次数，称为轴次轴次（n）。显然：显然： 对称轴（对称轴（Ln）360/n或或n360/ 对称轴出露的位置二次对称轴(two-fold rotation) (L2)= 360/2 =18066180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementthe symbol for a two-f

6、old rotationfirst operation stepsecond operation step三次对称轴(Three-fold rotation) (L3)= 360/3 =120666step1step2step3120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternthe symbol for a three-fold rotation66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold其他的对称轴其他的对称轴(没有没有5-fold和和6-fold的的)晶体对称定律晶体对称定律

7、内容：只能出现轴次内容：只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。证明：证明：轴次轴次n 的确定的确定:n=360 /a aa+2acosa a=macosa a=(m-1)/2 1由于平行行列的结点间由于平行行列的结点间距相等，距相等，m只能取整数只能取整数m=3,2,1,0,-1a a=0,60,90,120,180n=1,6,4,3,2对称面（对称面（P）对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操作是此平面的作是此平面的反映

8、反映。由这个平面将物体平分后的两。由这个平面将物体平分后的两个相等部分互成个相等部分互成镜像镜像的关系。对称面必通过晶体的的关系。对称面必通过晶体的中心。中心。=symbolforamirrorplanem对称面对称面(mirror) Reflection across a “mirror plane” reproduces a motif 晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：（1）垂直并平分晶面；垂直并平分晶面；（2）垂直晶棱并通过它的中点；垂直晶棱并通过它的中点；(3)包含晶棱。包含晶棱。对称面可能出现的位置对称面可能出现的位置 对称面(a)与非对称面(

9、b) 对称中心（对称中心（C）对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作为对此一点的为对此一点的反伸反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心。当晶体具有对称中心时，通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等时，通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。间距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。 在晶体中，若存在对称在晶体中，若存在对称中心时，其晶面必两两中心时，其晶面必两两平行、形状相同、取向平行、形状相同、取向相反。这可用来判断晶相反。这可用来判断晶体有无对称中心。体有无对称中心。具有对称中心的晶体形态具有

10、对称中心的晶体形态 L66L27PC L33L24P旋转反伸轴（旋转反伸轴（Lin ） 也称为也称为倒转轴倒转轴。其对称操作是围绕直线旋转一定的角度。其对称操作是围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸。和对于一定点的反伸。对称轴对称心对称轴对称心 种类：种类： Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4Li6 = L3 +P（ Rotoinversion ）Li1 = C2-foldrotoinversionStep1:rotate360/2Note:thisisatemporarystep,theintermediatemotifelementdoesnotexisti

11、nthefinalpattern.Step2:invertThisisthesameasm,sonotanewoperationStep 1Step 2Li2 = P三次、四次、六次旋转反伸轴的操作三次、四次、六次旋转反伸轴的操作 3-foldrotoinversionStep 1: rotate 360o/3 Again, this is a temporary step, the intermediate motif element does not exist in the final patternStep 2: invert through center12Rotate anothe

12、r 360/3Complete second step to create face 3Third step creates face 4 (3) (1) (4)Fourth step creates face (4) (5) (2) Fifth step creates face 6(2) (6) (3)Sixth step returns to face 112341265Li3 = L3 +C4-foldrotoinversion1: Rotate 360/42: Invert3: Rotate 360/44: InvertABDCABCD4-fold rotoinversionA mo

13、re fundamental representative of the patternThis is a unique operation6-fold rotoinversion4213Note: this is the same as a 3-fold rotation axis perpendicular to a mirror planeTopViewSo Li6 = L3 +P对称要素的组合对称要素的组合我们首先回忆一下列举模型的对称性我们首先回忆一下列举模型的对称性：例如：例如：L44L25PC L66L27PC L33L24P从上面的结果可以看出什么规律？从上面的结果可以看出什么

14、规律？对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；的组合定律；当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。对称要素组合定理：对称要素组合定理：定理定理1：Ln L2 LnnL2 (L2与与L2的夹角是的夹角是Ln基转角的一半基转角的一半)逆定理：逆定理：L2与与L2相交，在其交点且垂直相交，在其交点且垂直两两L2会产生会产生Ln，其基转角是两其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他夹角的两倍。并导出其他n个在垂直个在垂直Ln平面内的平面内的L2。例如例如:L4 L2 L44L2 ,L3 L2 L33L2思考思考:

15、两个两个L2相交相交30,交点处并垂直交点处并垂直L2所在平面会产生什所在平面会产生什么对称轴么对称轴?定理定理2：Ln P LnP C(n为偶数为偶数)逆定理：逆定理：Ln C LnP C(n为偶数为偶数)P CLnP C(n为偶数为偶数)这一定理说明了这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可三者中任两个可以产生第三者。以产生第三者。因为偶次轴包含因为偶次轴包含L2 。定理定理3：Ln P/ LnnP/（P与与P夹角为夹角为Ln基转角的一半）；基转角的一半）；逆定理：逆定理：两个两个P相交，其交线必为一相交，其交线必为一Ln，其基转角为，其基转角为P夹夹角的两倍，并导出其他角的两倍，并导出其

16、他n个包含个包含Ln的的P。（定理（定理3与定理与定理1对应）对应）思考思考:两个对称面相交两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴?定理定理4：Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n为偶数）为偶数）Linn L2 nP/（n为奇数）为奇数）32个对称型（点群）及其推导个对称型（点群）及其推导 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的体形态的对称型对称型 或或 点群点群。一般来说，当强调。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。 为什

17、么叫点群？为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。作时有一点不动，所以称为点群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有仅有3232个。那么，这个。那么，这3232个对称型怎么推导出来？个对称型怎么推导出来？ A A类对称型（高次轴不多于一个）的推导：类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1 1）对称轴）对称轴L

18、 Ln n单独存在，可能的对称型为单独存在，可能的对称型为L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。 2 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑虑L Ln n与垂直它的与垂直它的L L2 2的组合。根据上节所述对称的组合。根据上节所述对称要素组合规律要素组合规律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6

19、66 6L L2 2 如果如果L L2 2与与L Ln n斜交有可能斜交有可能出现多于一个的高次轴，出现多于一个的高次轴，这时就不属于这时就不属于A类对称型了。类对称型了。 3）对称轴）对称轴Ln与垂直它的对称面与垂直它的对称面P的组合。考虑的组合。考虑到组合规律到组合规律Ln(偶次偶次)PLn(偶次偶次)PC，则可能的，则可能的对称型为：对称型为：（L1P=P）；）；L2PC；（；（L3P=Li6）；）；L4PC；L6PC。 4）对称轴）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据与包含它的对称面的组合。根据组合规律组合规律Ln PLnnP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L1P=P）L22P

20、；L33P；L44P；L66P。 5）对称轴）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直称面的组合。垂直Ln的的P与包含与包含Ln的的P的交线必的交线必为垂直为垂直Ln的的L2，即，即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n +1)P（C）（C只在有偶次轴垂直只在有偶次轴垂直P 的 情 况 下 产 生 ）的 情 况 下 产 生 ） ， 可 能 的 对 称 型 为 ：， 可 能 的 对 称 型 为 ：(L1L22P=L22P ）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 6 6

21、）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：为：L Li i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6= =L L3 3P P。 7）旋转反伸轴）旋转反伸轴Lin与垂直它的与垂直它的L2（或包含（或包含它的它的P）的组合。根据组合规律，当）的组合。根据组合规律，当n为为奇数时奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；当当n为偶数时为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的，可能的对称型为

22、：对称型为：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 这样推导出来的对称型共有这样推导出来的对称型共有27个，见表个，见表32。 还有还有5个是个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。导。 请同学们将表请同学们将表32中空格的内容填上，空格中的内容中空格的内容填上，空格中的内容与表中其他内容是重复的。与表中其他内容是重复的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln P(C)Ln nPLn nL L2 2(n+1)P(C)L Li in nL Li in n nL L2 2nPL Li in n n/2L L

23、2 2n/2PL L1 1L Li in n =CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 23PCL Li i2 2 =PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li in n =L L3 3CL3 3L L2 23PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 25PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 27PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L L2 23P= L L3 3 3L L2 24P六、晶体的对称分类六、

24、晶体的对称分类1、晶族、晶系、晶类的划分，见表、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-4。这个表非常重要，一定要熟记。这个表非常重要，一定要熟记。从这个表可知有从这个表可知有7个晶系，在第一章我们已经知道个晶系，在第一章我们已经知道有有7种空间格子形式，对应种空间格子形式，对应7个晶系。个晶系。请同学们思考：由对称形式可以划出请同学们思考：由对称形式可以划出7个晶系，由个晶系，由空间格子形式也可以划出空间格子形式也可以划出7个晶系，两种方法怎么统一？个晶系，两种方法怎么统一？（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。）（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。） 各种晶体的对称程度有很大的差别，主要各种晶体的对称程度有很大的差别，主要表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和数目上。数目上。在结晶学中，把结晶多面体中全部对称要在结晶学中，把结晶多面体中全