2021-2022学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件教师用书新人教A

1、1. 4充分条件与必要条件考点学习目标核心素养充分条件、必要条件的概念理解充分条件、必要条件、充要条件的概念数学抽象充分条件、必要条件的判断结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法逻辑推理充分条件、必要条件的应用掌握证明充要条件的一般方法逻辑推理甜俄.寻学，J问题导学预习教材P17 P22,并思考以下问题:1 .什么是充分条件？2 .什么是必要条件？3.什么是充要条件？1 .充分条件与必要条件命题真假“假设p,那么q为真命题“假设p,那么q为假命题推出关系p?_qp q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件 q不是p的必要条件名师点拨对于“ p? q，蕴含以下

2、多种解释(1) “假设p,那么q形式的命题为真命题.(2)由条件p可以得到结论q.(3) p是q的充分条件或q的充分条件是p.(4)只要有条件p,就一定有结论q,即p对于q是充分的.(5) q是p的必要条件或p的必要条件是q.(6)为得到结论q,具备条件p就可以推出.显然，“p是q的充分条件与“ q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p? q,只是说法不同.提醒不能将“假设p,那么q”与p? q”混为一谈，只有“假设p,那么q为真命题时，才有 p? q”,即 p? q” ? 假设p,那么q为真命题.2.充要条件如果“假设p,那么q和它的逆命题“假设 q,那么p均是真命题，即既有 p? q,

3、又 有q? p,就记作p? q.此时，p既是q的充分条件，也是 q的必要条件，我们说 p是q的芨 分必要条件,简称为充要条件.名师点拨(1) p是q的充要条件意味着“ p成立，那么q一定成立；p不成立，那么q 一定不成立.(2)要判断p是不是q的充要条件，需要进展两次判断：一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.假设p能推出q, q也能推出p,就可以说p是q的充要条件，否那么，就不能说p是q的充要条件.(3)对充分条件和必要条件的进一步划分:条件p与结论q的关系结论p? q,且 q? pp是q的充分不必要条件q? p,且 p7 qp是q的必要不充分条件p? q,且 q? p,即 p? qp是q

4、的充要条件p ? q,且 q 7 pp是q的既小充分也不必要条件式自我检测0判断正误(正确的打，错误的打X)(2) “x= 0”是(2 x1)x=0的充分不必要条件.()(3) q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(3)假设p是q的充要条件，那么命题 p和q是两个相互等价的命题.()(4) q不是p的必要条件时，p? q”成立.()答案：(1)，(2)， (3) V (4)，再设p： “四边形为菱形，q： 四边形的对角线互相垂直那么 p是4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件p? q；反之，当四C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.假设四边形为菱形，那么该四边形的对角线互

5、相垂直，即边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故q7 p,所以p是q的充分不必要条件.设p： xv 3, q： - 1x3,那么p是q成立的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.因为x 1x3 x|x0”是 ab0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选D.假设a+b0,取a= 3, b=2,那么ab0不成立；反之，假设 ab0,取a =2, b=- 3,那么a+b0也不成立，因此“ a + b0是 ab0”的既不充分也不必要条 件.ac=bc是a=b”的 条件.解析：假设ac=

6、 bc,当c=0时不一定有a=b；反之假设a= b,那么有ac=bc成立.故 ac= bc是a= b的必要不充分条件.答案：必要不充分楹究点m充分、必要、充要条件的判断例|以下各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分 也不必要条件)(1) p： x= 1 x= 2, q： x 1 =51;(2) p：四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直平分;(3) p： xy0, q： x0, y0.(4) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.【解】(1)因为 x= 1 或 x=2? x- 1 =x- 1, x- 1 =.x 1 ? x= 1 或 x = 2,所以

7、 p 是q的充要条件.(2)假设一个四边形是正方形，那么它白对角线互相垂直平分，即p? q.反之，假设四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即 q? p.所以p是q的充分不必要条件. 因为 xy0 时，x0, y0 或 x0, y0.故 p7 q,但 q? p.所以p是q的必要不充分条件.四边形的对角线相等？四边形是平行四边形，(4)因为四边形是平行四边形 ?四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件.国0的陶充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法假设p? q, q7 p,那么p是q的充分不必要条件；假设p7 q, q? p,那么p是q的必要不充分条件；假设p? q

8、, q? p,那么p是q的充要条件；假设p7 q, q7 p,那么p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合法对于集合A=x|x满足条件p, B=x|x满足条件q,具体情况如下：假设A? B,那么p是q的充分条件；假设A? B,那么p是q的必要条件；假设A= B,那么p是q的充要条件；假设A B,那么p是q的充分不必要条件；假设A B,那么p是q的必要不充分条件.1. (2021 潮州期末)条件p： 1x- 2,那么p是4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.依题意可知p? q成立，反之不成立.即p是q的充分不必要条件，应选 A.2. (202

9、1 金华期末) xa 是 x|a|的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.假设a0,由x|a|得xa,假设a|a|得xa,此时xaa 成立，即必要性成立，当 a-1,不一定推出x| 1 ,即充 分性不成立，那么 xa是x|a| 的必要不充分条件，应选 B.3. x2是-0/,的()x 2A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.由0得x 20得x2,即x2是0”的充要条件，应选 A. x 2x 2.究点团一充分条件、必要条件、充要条件的应用例 2 p： - 2 x 10, q： 1 - mr x 0),

10、假设p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解】 p： -2Wxwio, q： 1 - m xwi+rmm 0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1 - mx1+ n x| -2x 一 2故有或1 + me 101 + me 10解得mim0,所以实数m的取值范围为m0mc 3.耳动探究1 .(变条件)假设本仞中“ p是q的必要不充分条件改为“ p是q的充分不必要条件其他条件不变，求实数 m的取值范围.解：p： 2WxW10, q： 1 mexW1+mm0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为 A, q代表的集合为B,所以A B.所以1- me -

11、 21-m10 - 1 + m 10.解不等式组得m9或m 9,所以m9,即实数m的取值范围是m 9.2 .(变问法)本例中p, q不变，是否存在实数 m使p是q的充要条件？假设存在，求出 m 的值；假设不存在，说明理由.解：因为 p： 2WxW10, q： 1 mex0).2=1 m假设p是q的充要条件，那么，无解，10= 1+ m所以m不存在.故不存在实数 簿 使得p是q的充要条件.回建茴西由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.跟踪训绦1 . p： - 4x-a4, q： (x2)( x 3)

12、0,假设q是p的充分条件，那么 a的取值范围为.解析：化简 p： a4vxa+4, q： 2vx3,答案：1w a62 .假设p： x2+x6 = 0是q： ax+ 1 = 0的必要不充分条件， 那么实数a的值为.2解析：p: x+x6=0,即 x= 2 或 x= 3.q： ax+1=0,当a = 0时，方程无解；当 awo时，x=-.a由题意知p? / q, q? p,故a=0舍去；当aO时，应有一1=2或一1=3,解得a= a aa= 3.1 、1综上可知，a= - 5或a=,. 23-1,1答案：2或3究点1充要条件的证明例3 求证：一元二次方程 ax2+bx+c= 0有一正根和一负根的

13、充要条件是ac0.【证明】 充分性：（由ac0推证方程有一正根和一负根 ）因为ac0,所以方程一定有两个不等实根.、一一，一，一， c设两根为x1, x2,那么x1x2= a0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c= 0有一正根和一负根.必要性：（由方程有一正根和一负根推证ac0）因为方程ax2+bx+c= 0有一正根和一负根，设为 x1, x2,那么由根与系数的关系得x1x2c rr=一0,即 ac0. a综上可知，一元二次方程 ax2+bx+ c= 0有一正根和一负根的充要条件是ac0,所以 a+b1 = 0,即 a+b=1.充分性：假设a+ b= 1,那么一匚一十+ 2b aa a

14、+ 1+ b b+ 1+ 2ab一aba2+b2+2ab+a+b一ab2a+b+ a+ b1 + 1 2abababa+1 b+12,、,故丁+丁+2 =五的充要条件正a+b=1.1 . “两个三角形面积相等是“两个三角形全等的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.由两个三角形全等可得两个三角形面积相等.反之不成立.所以“两个三角形面积相等是“两个三角形全等的必要不充分条件.应选B.2 .设集合 M= 1 , 2, N= a2,那么 a= 1是 N? M 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选

15、 人.当a= 1时，N1，此时N?M；当N?M时，a2=1或a2=2,解得a= 1或1或。2或平.故“a=1”是 N? M的充分不必要条件.3 . （2021 佛山检测）p： x=2” , q： x 2 = 2=X,那么 p是 4的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.由q： “x-2 = 12-x,解得x=1（舍去）或x=2,由p可推出q,充分性成立，反之，由 q可推出p,即必要性成立.所以p是q的充分必要条件，应选C.4 .假设“ x- 1是“ xw a的必要不充分条件，那么a的取值范围是 .解析：假设“ x-1是“xw a的必要不充分

16、条件，那么x|xWa x| x- 1,那么a - 1,即实数a的取值范围是a-1.答案：a-1强化:即剧关.A 根底达标1 .设 xC R,那么 1x2是 1x3的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B. 1x2 ? 1x3,反之不成立.所以“ 1 x2是“1x013. “ 是“ 一0 的(y0xyA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件xyx0解析：选A. “y01x0 x” ? y0或 y01所以“ 是“ 一0的充分不必要条件.应选 A.y0xy4. .设A、B、C是三个集合，那么 An B= An C是 B

17、= C的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.由An B= An C,不一定有 B= C,反之，由B= C, 一定可得 An B= An C.所以“An B= An C是 B= C的必要不充分条件.应选B.5. a, b为实数，那么 a+b4是“a, b中至少有一个大于 2的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A. “a+b4 ？ a, b中至少有一个大于 2，反之不成立.所以“ a+b4 是“a, b中至少有一个大于 2的充分不必要条件.应选 A.6. a0,即1-4a0,即a4,1 , ,1又“

18、a/能推出“ aw/ , 441 1但“aw4不能推出 a1,即a；是一元二次方程 x2 x+a=0有实数解的充分不必要条件. 4答案：充分不必要7. p： - 1x3, q： 1xm 1,假设q是p的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是.解析：由p： 1x3, q： 1xmu 1, q是p的必要不充分条件，即 32.答案：m28. .指出以下各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件.(1) p： x20, q: x0.(2) p： x+2wy, q： (x+2)2wy2.(3) p： a能被6整除，q： a能被3整除.(4) p：两个角不都是直角，q:两个角不相等.解：(1) p： x

19、20,那么x0或x0,故p是q的必要条件，q是p的充分条件.(5) p： x + 2wy, q： (x+2)2wy2,那么 x+2w y 且 x+2- y,故 p 是 q 的必要条件，q 是p的充分条件.(6) p： a能被6整除，故也能被3和2整除，q： a能被3整除，故p是q的充分条件，q 是p的必要条件.(7) p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，那么这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.9.假设集合 A= x|x2, B= x|xwb, bC R,试写出：(1) AU B= R的一个充要条件；(2) AU B= R的一个必要不充分条件；(3

20、) AU B= R的一个充分不必要条件.解：集合 A=x|x 2, B= x|x- 2,故AU B= R的一个充要条件是 b- 2.(2)由(1)知AU B= R的充要条件是 b-2,所以AU B= R的一个必要非充分条件可以是b-3.(3)由(1)知AU B= R的充要条件是 b-2,所以AU B= R的一个充分非必要条件可以是b- 1.B 能力提升10 . xC R,那么 x2=x + 6是 x = x+6的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B.由于x2 = x+6 ,那么x= .x+ 6,故x2= x + 6 是x = 的必要不充分条件，应选B.11 .下面四个条件中，使 ab成立的充分不必要条件是()A. ab+ 1B. ab1C. a2b2D. | a| | b|4+ 1,解析：选 A.由 a b+1 b,从而 a b+1? ab；反之，如 a =4, b, ? /故 ab? / ab+ 1,故 A正确.12 . a+bw0,证明a2+b2ab+2ab= 0成立的充要条件是 a+ b= 1.证明：先证充分性：假设a+b=1,那么 a2+ b2-a-b+ 2ab=(a+ b)2-(a+ b) = 1 - 1 = 0,即充分性成立.必要性：假设 a2+ b2-a-b+ 2ab=0,那么(a+ b)2 (a