月数学建模培训徐昌贵

1、1数学建模竞赛讲座基础课部基础课部 2009年年5月月2一、结构化建模方法一、结构化建模方法二、中国象棋跳马问题二、中国象棋跳马问题三、第二次预选及相关三、第二次预选及相关内容提要内容提要机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、叠砖问题评讲四、叠砖问题评讲五、十六宫填数游戏五、十六宫填数游戏3一、结构化建模方法一、结构化建模方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 实际或竞赛实际或竞赛的建模问题的建模问题课程学习与培训中课程学习与培训中的数学建模案例的数学建模案例 引用案例引用案例 借鉴案例借鉴案例数学建模数学建模数学荐模数学荐模+数学引模数学引模 数学建模本质上是一个创造性的过程！数学建数学建

2、模本质上是一个创造性的过程！数学建模不仅是为了竞赛，更是为了数学应用与研究！新模不仅是为了竞赛，更是为了数学应用与研究！新问题不一定有借鉴的先例！问题不一定有借鉴的先例！4机动 目录 上页 下页 返回 结束 没有可引用、借鉴的案例时怎么建模？没有可引用、借鉴的案例时怎么建模？数学模型定义：数学模型定义：数学模型是关于以部分现实世界为数学模型是关于以部分现实世界为一定目标而作的抽象、简化的一定目标而作的抽象、简化的数学结构数学结构。分析原型的结构，抽象并表示结构分析原型的结构，抽象并表示结构, 结构是核心！结构是核心！结构主义学派：数学结构主义学派：数学 = 集合集合 + 结构结构5机动 目录

3、上页 下页 返回 结束 模型模型: 原型结构的适当表示；原型结构的适当表示；数学数学：集合：集合+结构，数学是研究结构的；结构，数学是研究结构的；数学模型数学模型：原型结构的数学表示。：原型结构的数学表示。数学建模数学建模: 分析原型的结构，建立与数学分析原型的结构，建立与数学结构的对应（同构）并用数学语言表示。结构的对应（同构）并用数学语言表示。6机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题的目标问题的目标 原型的结构分析原型的结构分析 同构分析：同构分析： 数学结构和原型结构的联系数学结构和原型结构的联系 数学模型表示数学模型表示建模过程建模过程7机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学的三种

4、基本结构：数学的三种基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构代数结构、序结构和拓扑结构8二、中国象棋跳马问题二、中国象棋跳马问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 中国象棋跳马问题：中国象棋跳马问题：中国象棋中的马开始在中国象棋中的马开始在(0,0)点，点，问它走到问它走到(11,9)点最少要走多少步？有多少种走法？点最少要走多少步？有多少种走法？9机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析：分析：假设马在(x,y)位置，根据规则，它可以跳向8个位置，所谓跳马，就是在马原来的位置上加上一个向量，如图：A1(2,1), A2(1,2), A3(-1,2), A4(-2,1), A5(-2,-1), A

5、6(-1,-2), A7(1,-2), A8(2,-1)10机动 目录 上页 下页 返回 结束 假设马按假设马按Ai类走法跳了类走法跳了xi步，则得原问题的数学模型：步，则得原问题的数学模型：1234567812345678min(0,0)(2,1)(1,2)( 1,2)( 2, 1). .(2,1)(1,2)( 1,2)( 2, 1)(11,9),1,2,.,8imxxxxxxxxxxxxstxxxxxN i11机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用利用Lingo软件编程如下：软件编程如下：model:sets:S/1.8/:x,a,b;endsetsmin=Sum(S:x);Sum(S:

6、x*a)=11;Sum(S:x*b)=9;For(S:Gin(x);data: a=2,1,-1,-2,-2,-1,1,2; b=1,2,2,1,-1,-2,-2,-1;enddataend12机动 目录 上页 下页 返回 结束 运算结果如下运算结果如下:!Global optimal solution found at iteration: 94 Objective value: 8.000000 Variable Value Reduced Cost X( 1) 4.000000 1.000000 X( 2) 2.000000 1.000000 X( 3) 1.000000 1.00000

7、0 X( 4) 0.000000 1.000000 X( 5) 0.000000 1.000000 X( 6) 0.000000 1.000000 X( 7) 0.000000 1.000000 X( 8) 1.000000 1.00000013机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用利用Mathematica软件解不定整数方程得结果如下：软件解不定整数方程得结果如下：利用排列组合知识得到有多少种走法：利用排列组合知识得到有多少种走法：12531421141168758548654876C C CC C CC C C CC C C=168+280+840+56=1344种。14机动 目录 上页

8、 下页 返回 结束 三、第二次预选及相关三、第二次预选及相关u明天起将进行第二次预选，挑选35人左右,加上参加过08年数学建模的同学20人共计54人左右,参加暑假的培训和9月的正式的全国比赛。u第二次预选采取分组进行的方式，每两人一组，自由组合；也可独立完成;u第二次预选试题明天9点在 210.41.95.14 - 210.41.95.14 - 高等数学精品课程高等数学精品课程 现代教育中心现代教育中心 - - 专题资源网专题资源网 - - 数学建模资源库数学建模资源库15机动 目录 上页 下页 返回 结束 u文件编辑Word(必须含公式编辑器公式编辑器,mathtype 5.2 )u电子表格

9、ExcelExcel :处理表格数据和大量数据u数学软件: 3M软件: Mathematica 5.0 , matlab , maple 规划专用软件: lingo 8.0 统计软件: spss 13.0u资料查询:图书,网络(搜索,) 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 17机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、叠砖问题评讲四、叠砖问题评讲18机动 目录 上页 下页 返回 结束 u叠砖问题叠砖问题 评分标准(满分:80分)(1)摘要:10分分(2)假设:5分分(3)问题1的模型:15分分(4)问题1的算法:10分分(5)问题1的结果:15分分(6)问题2的模型:5分分(7)问题2的结果

10、:5分分(8)问题3的结果:5分分(9)问题3的证明:5分分(10)写作:5分分 19机动 目录 上页 下页 返回 结束 目标目标: 伸出的总距离尽可能远伸出的总距离尽可能远 ?11maxniiZx约束条件约束条件: 保持平衡保持平衡平衡原理平衡原理: 物体的重心不落在底面之外物体的重心不落在底面之外总共有总共有n-1个约束条件个约束条件20机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）先建立坐标系）先建立坐标系21机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）确定每块砖的重心）确定每块砖的重心x坐标坐标第第1块砖的重心块砖的重心x坐标：坐标：12第第2块砖的重心块砖的重心x坐标：坐标：第第3块砖的重

11、心块砖的重心x坐标：坐标：第第n块砖的重心块砖的重心x坐标：坐标：1212xx112x 121.2nxxx22机动 目录 上页 下页 返回 结束 111max112. .0Lxxstx（3）n=2,3,4的模型的模型111max12. .0Lxxstx21212121211220,0maxxxxxxLxxn=2n=323机动 目录 上页 下页 返回 结束 123323123123max1211222113320,0,0Lxxxxxxxxxxxxn=424机动 目录 上页 下页 返回 结束 1211213211231max.121122211332.2311.11120,1,2,.,1nnnnn

12、nnniLxxxxxxxxxnnxxxxnnnxinn时时25机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、十六宫填数游戏五、十六宫填数游戏x11x12x13x14x21x22x23x24x31x32x33x34x41x42x43x44 将将116填入下列填入下列16个格子中，使得每行，每个格子中，使得每行，每列，两对角线上列，两对角线上4个数之后都相等。个数之后都相等。数学模型？数学模型？不定整数方程模型不定整数方程模型26model:data:n=4; ! 4阶方阵阶方阵16宫情况宫情况;nn=16; ! 4*4=16宫宫;enddatasets:S/1.n/; SS(S,S):x; ! 矩阵表

13、示的元素矩阵表示的元素;BS/1.nn/:y; ! 按数列排列的元素按数列排列的元素;BSS(BS,BS)|&1 #lt# &2:b; !产生二维稀疏向量产生二维稀疏向量(数数组组)b(1,1),b(1,2),.b(1,nn),b(2,3),.,b(nn-1,nn);endsets27min=x(1,1); !该目标只说明一种排法该目标只说明一种排法,实际上可以去掉该目标实际上可以去掉该目标,只寻找满足只寻找满足下列约束条件的一个可行解就可以了下列约束条件的一个可行解就可以了;For(SS(i,j):x(i,j)=y(n*(i-1)+j); ! x与与y的关系的关系;For(S(j):Sum(S(i):x(i,j)=m); ! 每列之和为每列之和为m;For(S(i):Sum(S(j):x(i,j)=m); ! 每行之和为每行之和为m;x(1,1)+x(2,2)+x(3,3)+x(4,4)=m; ! 主对角线之和为主对角线之和为m;x(1,4)+x(2,3)+x(3,2)+x(4,1)=m; ! 副对角线之和为副对角线之和为m;For(BSS(i,j):y(i)-y(j)+1999*b(i,j); For(BSS(i,j):1-y(i)+y(j)999*(1-b(i,j); !这两个约束说明这两个约束说明x(i)与与x(j)互不相等互不相等,最小相