现代控制理论最优控制

1、现代控制理论现代控制理论第七章第七章 最优控制最优控制1.1.最优控制是什么最优控制是什么? ? 什么是最优控制问题什么是最优控制问题? ? 1.1 数学上的最优方法或提法是极值问题，数学上的最优方法或提法是极值问题， 极值问题是函数的极值问题极值问题是函数的极值问题.这表明这表明, 当自变量取何值时，函数或同变量达到当自变量取何值时，函数或同变量达到 极值。极值。 显然对照这种条件或仿照这种方法显然对照这种条件或仿照这种方法,最优最优控制理论的提供或问题的表达式为控制理论的提供或问题的表达式为:当控制当控制函数满足何种条件时函数满足何种条件时,其目标函数达到极值其目标函数达到极值.明显地两者

2、之间的差异和相同处在于明显地两者之间的差异和相同处在于:相同相同: 都要在给定目标函数条件下都要在给定目标函数条件下,求使目标求使目标 函数取极值的函数式变量函数取极值的函数式变量.相异相异: 一个是求函数的极值时的变量取值问题一个是求函数的极值时的变量取值问题,另一个是求函数极值时求控制函数的问题另一个是求函数极值时求控制函数的问题. 由于最优控制中，目标函数依赖于控制由于最优控制中，目标函数依赖于控制函数函数u(t),因而也称目标函数为目标泛函因而也称目标函数为目标泛函. 因此最优控制问题实际上是求使目标泛因此最优控制问题实际上是求使目标泛函取极值的控制规律问题函取极值的控制规律问题. 1

3、.2 1.2 最优控制的提法最优控制的提法 给定系统状态方程给定系统状态方程 和目标函数和目标函数(泛函泛函) 求最优控制求最优控制u(t) U , 使使J（u）最大或最）最大或最 小小, U是是 的一个子集的一个子集,可开可闭。可开可闭。00, , ( )xfx u tx tt0( )( , , )( (),)ftfftJ uL x u t dtx ttRn 2.2.求最优控制的方法求最优控制的方法 1. 变分法变分法: 17 世纪世纪,无约束最优控制无约束最优控制 2. 最大值原理：前苏联庞特里雅金在最大值原理：前苏联庞特里雅金在20世世 纪纪50年代提出年代提出. (有约束最优控制有约束

4、最优控制) 3. 动态规划：美国贝尔曼动态规划：美国贝尔曼1957年提出年提出,求解求解 最优控制策略应用于弹道优化是控制策略最优控制策略应用于弹道优化是控制策略.3. 3. 实现最优控制的必备条件实现最优控制的必备条件 1. 具有适当精度的数学模型具有适当精度的数学模型; 2. 有明确的控制约束有明确的控制约束; 3. 有明确的目标函数有明确的目标函数,其大小能反映出所设其大小能反映出所设计的控制系统的优劣计的控制系统的优劣. 4. 4. 典型的最优控制问题典型的最优控制问题 （1）最小时间问题）最小时间问题; （2）最小能量问题）最小能量问题; （3）最省燃料问题）最省燃料问题; （4）状

5、态调节器问题）状态调节器问题; 当系统的状态偏离平衡点当系统的状态偏离平衡点 时时,可用可用状态的平方和的积分衡量误差的积累状态的平方和的积分衡量误差的积累. 目标函数可取为目标函数可取为 更一般的取为状态变量的加权平方和的积更一般的取为状态变量的加权平方和的积分分:0ex 0( )( ) ( )ftTtJ uxt x t dt0( )( )( )ftTtJ uxt Qx t dt 并对控制应有约束并对控制应有约束,如不如不,则控制会无穷大则控制会无穷大,则则目标泛函为目标泛函为 当有终点约束要求时当有终点约束要求时 （5）跟踪问题）跟踪问题. 0( )( )( )ftTTtJ uxt Qx

6、tu Ru dt011( )()()( )( )22ftTTTfftJ uxtFx txt Qx tu Ru dt5. 5. 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 所谓二次型最优控制问题所谓二次型最优控制问题,实际上是指实际上是指目标函数是状态变量和控制变量的二次目标函数是状态变量和控制变量的二次型型. 如状态调节器问题如状态调节器问题,而线性二次型最优而线性二次型最优控制问题控制问题:则是除目标函数是状态变量和控则是除目标函数是状态变量和控制变量的二次型制变量的二次型,而且它的状态方程是线性而且它的状态方程是线性微分方程微分方程,即即 情况下，线性调节器或状态调节器是最常情况下，线性

7、调节器或状态调节器是最常见的一类线性二次型问题见的一类线性二次型问题.00( )( ) ,( )xA t xB t ux tx 最优控制的目的是最优控制的目的是:当线性系统由于某种当线性系统由于某种原因偏离出原来的平衡状态原因偏离出原来的平衡状态,控制的目的是控制的目的是使系统的状态使系统的状态x(t)尽量接近平衡状态尽量接近平衡状态,而所用而所用的量又不能太大的量又不能太大,控制能量一般描述为控制控制能量一般描述为控制变量的二次型变量的二次型. 因此目标函数选为因此目标函数选为: Q Q和和R R为加权矩阵为加权矩阵, ,调整调整Q Q和和R R的元素的元素,就是调就是调整状态变量接近整状态

8、变量接近“平衡状态平衡状态”和和“控制的量控制的量不能太大不能太大”这两个目标的重视程度这两个目标的重视程度.01( )()2ftTTtJ ux Qxu Ru dt 6 6、研究线形二次型问题的重要性、研究线形二次型问题的重要性 1).1).相当多的最优控制问题是线性二次型相当多的最优控制问题是线性二次型问题问题 2).2).线性二次型问题理论上比较完善，其线性二次型问题理论上比较完善，其最优控制是状态变量的反馈（或最优控制是状态变量的反馈（或u=-kx)u=-kx)，所以应用比较方便，闭环品质较准。所以应用比较方便，闭环品质较准。 因此，最优控制也是状态反馈控制问题因此，最优控制也是状态反馈

9、控制问题，即，即 即即 ， 的目的的目的在于使系统的状态回到在于使系统的状态回到 的系统原平衡的系统原平衡点位置处，当然若系统的原平衡点不为零，点位置处，当然若系统的原平衡点不为零，则应先通过坐标变换，使系统的平衡状态为则应先通过坐标变换，使系统的平衡状态为零零.0rurk xukx 0ex 0r 7 7、线性二次型最优控制的解（或二次型最、线性二次型最优控制的解（或二次型最优状态调节器）优状态调节器） 方法：变分法或最大值原理，研究非时方法：变分法或最大值原理，研究非时变理论变理论 给定系统状态方程，给定系统状态方程， （1）确定下列最优控制向量的确定下列最优控制向量的矩阵矩阵k k, （2

10、） 使下列性能指标达到最小值使下列性能指标达到最小值 （3） 式中式中Q Q、R R为正定为正定实对称阵。实对称阵。00, ( )xAxBu x tx( )( )u tkx t 01()2TTJx Qxu Ru dt 求最优控制问题，实际归纳为求求最优控制问题，实际归纳为求k k，下面求，下面求解过程解过程 1.1.将（将（2 2）代入（）代入（1 1）可得：）可得： （4） 在下面的在下面的推导过程中，假设矩阵推导过程中，假设矩阵A-BkA-Bk是稳定是稳定矩阵，即矩阵，即A-BkA-Bk的特征值都的特征值都具有负实部。具有负实部。 ()xAxBkxABk x 2. 2. 将（将（2 2）代

11、入（）代入（3 3）可）可得：得： 令令 式中式中P为正定为正定实对称阵实对称阵 于是得到于是得到 将式（将式（4）的结果代入后得：）的结果代入后得：0011()()22TTTTTJx Qxx k Rkx dtxQk Rk xdt()(. . )TTTdxQk Rk xx P xdt ()TTTTxQk Rk xx Pxx Px ()TTTTxQk Rk xxABkPP ABkx 如果要对于所存如果要对于所存x均成立，则均成立，则 （5 5） 显然对式（显然对式（5 5）来说，若）来说，若A-BkA-Bk为稳定矩阵，为稳定矩阵，则必存在一个正定矩阵则必存在一个正定矩阵P P，并满足式（，并满足

12、式（5 5）. . 3. 3.有了式（有了式（5 5）以后，问题转化为求）以后，问题转化为求P P，并，并检验检验P P是否正定阵是否正定阵。()()()TTQk RkABkPP ABk 4.性能指标可计算如下性能指标可计算如下: 由于由于A-BkA-Bk是稳定矩阵是稳定矩阵，因此，因此 ，故而故而显然性能指标可由初始条件和显然性能指标可由初始条件和P P算得算得。0011()22TTTJxQk Rk xdtx Px 1(00 )2TTxPxxPx 0 x 1002TJxPx5.以下求以下求k 由于由于R为正定实对称阵，故为正定实对称阵，故 ，其，其中中T为非奇异矩阵，于是方程式（为非奇异矩阵

13、，于是方程式（5）可以）可以写成写成 （6） 由于目标泛函可归结为或需满足式（由于目标泛函可归结为或需满足式（5）或式（或式（6）的要求，同时泛函）的要求，同时泛函J对对k极小值的极小值的问题可归结为方程式（问题可归结为方程式（5）或式（）或式（6）对）对k取取极小值的问题极小值的问题。TRT T0TTTTTAk BPP ABkQk T Tk 也就是说，当也就是说，当k取何值时，式（取何值时，式（5）或式（）或式（6）为极小，这样可将式（）为极小，这样可将式（6）改写为）改写为: 或或 （7） 111.0TTTTTTTA PPATKTB PTKTB PPBR B PQ111.0TTTTTTTA

14、 PPAPBR B PQTKTB PTKTB P 在式（在式（7）中，第一项与）中，第一项与K无关，因此无关，因此若第二项取极小，则能得证该式为最小，若第二项取极小，则能得证该式为最小，考虑到第二项为二次型的形式，即它们是考虑到第二项为二次型的形式，即它们是每个元素的平方和，其结果非负，因此若每个元素的平方和，其结果非负，因此若使二次型取得最小值，则使得构成向量的使二次型取得最小值，则使得构成向量的元素为零即可，即：元素为零即可，即： 或或 （8） 时才出现极小值。时才出现极小值。10TTTKTB P111TTTKTTB PR B P 因此，因此，当当二次型最优控制问题的性能指二次型最优控制问

15、题的性能指标如前所描述的那样。标如前所描述的那样。 其最优控制为其最优控制为 其中其中P应满足应满足 （9） 式（式（9）称为退化的矩阵黎卡提方程。）称为退化的矩阵黎卡提方程。 TTukxR B Px 10TTA PPAPBR B PQ 8. 8. 线性二次型最优控制的设计步骤线性二次型最优控制的设计步骤 1 1）. .解黎卡提方程解黎卡提方程, ,求出矩阵求出矩阵P,P,并检验并检验P P的的正定性正定性, ,如如P P正定正定, ,则则 A A BK BK是稳定的是稳定的; ; 2 2）. . 将解出的将解出的P,P,代入代入 中中, 得到得到 最优控制最优控制 1K=TR B PQKx

16、例例2. 考虑如图所表示的系统考虑如图所表示的系统.假如控制信号假如控制信号为为( )( )u tKx t 试确定最优反馈增益试确定最优反馈增益 K K ,使得下列性能指标使得下列性能指标达到最小达到最小 式中式中 201( )()2TJ ux Qxudt100Q(0),1R 解解.1.) 先写出对象的状态方程先写出对象的状态方程 12010,001TxAxBuABxxx 2.) 求求P,由于由于 ,故故 则假设则假设 2 2AR2 2PR11122122ppPpp 有黎卡提方程有黎卡提方程 可得可得 10TTA PPAPBR B PQ 1111211121112111221222122212221220 00 101 00 00 11 00 0100 01pppppppppppppppp 上述方程上述方程,计算后得到计算后得到 先设先设P为实对称矩阵为实对称矩阵,则则1221111222211222112212210000p ppp ppp pppp1 22 1pp 故可得到下列方程故可得到下列方程a, b,C, d,21210p1112220ppp2