函数的傅里叶级数展开ppt课件

1、 1. 函数的傅里叶级数展开 一.傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成其中 是 阶谐波,我们称上式右端的级数是由 所确定的傅里叶级数tAsinA tfT 10sinnnntnAAtf10sincosnnntnbtnaAtnbtnatnAnnnnsincossinnT2 tf二二. 三角函数的正交性三角函数的正交性设设 是任意实数是任意实数, 是长度为是长度为 的区间的区间,由于三由于三角

2、函数角函数 是周期为是周期为 的函数的函数,经过简单计算经过简单计算,有有利用积化和差的三角公式容易证明利用积化和差的三角公式容易证明还有还有c2, cc2kxkx sin,cos2,2 , 1, 0sinsin, 0coscos220220kkxdxkxdxkxdxkxdxcccc 1, 2 , 1;0coscos0sinsin0cossin222llklxdxkxlxdxkxlxdxkxcccccc 2我们考察三角函数系我们考察三角函数系其中每一个函数在长为其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零两个不同的函数乘积沿区间上的积分

3、等零 ，而每个函数自身平方的积分非零而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个。我们称这个函数系在长为函数系在长为 的区间上具有正交性。的区间上具有正交性。, 2 , 121sin22cos1coscos22222202022kdxkxdxdxkxkxdxkxdxcccccc 3,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx22 2,1见 3见三、傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级数 现在利用三角函数系数的正交性来研究系数 与 的关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可以逐项积分，由 得到即又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以 沿 积分，由

4、假定，右边可以逐项积分，由和 ，得到 xf kxbkxaaxfkkksincos210, 2 , 1,0kbaakk xf, 1 0022aadxxf dxxfa10n xfnxcos, 2,1 3即同样可得因此得到欧拉-傅里叶公式 nnkkkanxdxanxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxf210coscossincoscoscos2cos nxdxxfancos1 nxdxxfbnsin1 , 2 , 1 , 0sin1kkxdxxfbk , 2 , 1 , 0cos1kkxdxxfak自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积分。 以上是在 已展开为一致收敛的三角级数的假

5、定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为 的函数 在区间 上可积和绝对可积假如 式有界函数，则假定它是可积的。这时它一定式绝对可积的；假如 是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作出三角级数2 xf2 xf, xf xfkkba ,10sincos2kkkkxbkxaa我们称这级数是 关于三角函数系 的傅里叶级数，而 称为 的傅里叶系数，记为 xf,sin,cos, 1xxkkba , xf 10sincos2kkkkxbkxaaxf四、收敛判别法四、收敛判别法

6、傅里叶级数的收敛判别法。设函数傅里叶级数的收敛判别法。设函数 在在 上可上可积和绝对可积积和绝对可积假设假设 在在 点的左右极限点的左右极限 和和 都存在，都存在，并且两个广义单侧导数并且两个广义单侧导数都存在，那么都存在，那么 的傅里叶级数在的傅里叶级数在 点收敛。当点收敛。当 是是 的连续点时它收敛与的连续点时它收敛与 ，当，当 是是 的间断点一的间断点一定是第一类间断点时收敛于定是第一类间断点时收敛于 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf xfx0 xf0 xfxxfxxfxxfxxfxx0lim,0lim00 xfxx xf xfx xf0021xfxf例1 在 上展开函

7、数 为傅里叶级数。例2 在 上展开函数为傅里叶级数。例3 在 上展开 为傅里叶级数。, xxf, xcxcxf0 ,0,212 , 0 xxf例4 将 在 上展开为余弦级数。例5 将以下函数展开为正弦级数 xxf, 0 lxxlxxf21, 0210 ,sin五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的 阶谐波 可以用复数形式表示。由欧拉公式得如果记 那么上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式n, 2 , 1sincosntnbtnanniiiiiieeieeiee221sin21cos10sincos2nnntnbtnaa10222ntinnntinnneibaeibaa, 2 , 1,00ncib

8、acibacannnnnn这就是傅里叶级数的复数形式， 为复振幅， 与 是一对共轭复数tinnnec21ncncnc六、收敛判别法的证明六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积分分 狄利克雷积分。狄利克雷积分。 设设 在在 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数上可积和绝对可积，它的傅里叶级数为为其中其中 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf , 2 , 1 , 0cos1kktdttfak , 2 ,

9、 1 , 0sin1kktdttfbk傅里叶级数的部分和由三角公式当 ，有公式 10sincos2kkknkxbkxaaxfS dtkxktkxkttfnk1sinsincoscos211 dtxtktfnk1cos211212sincos2coscos212sin2nn02sin2sin2212sincos2coscos21nn当 时把右边理解为 时的极限值，值一等式也就成立。把它应用到 的表达式中，得到经过验证知道，被积函数是 的周期为 的函数，可以把积分区间换为 ，因而作代换 ，得00 xfSn dtxtxtntfxfSn2sin2212sin1t2xx, dtxtxtntfxfSxxn

10、2sin2212sin1uxt duuunuxfxfSn2sin2212sin1duuunuxf2sin2212sin100duuunuxfuxf2sin2212sin10上面 的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。 xfSn2、黎曼引理、黎曼引理 黎曼引理黎曼引理 设函数设函数 在区间在区间 上可积和绝对可积，上可积和绝对可积，那么以下的极限式成立那么以下的极限式成立局部性定理局部性定理 函数函数 的傅里叶级数在的傅里叶级数在 点的收敛和点的收敛和发散情况，只和发散情况，只和 在这一点的充分领近区域的值有在这一点的充分领近区域的值有关。关。 uba, 0coslim, 0sinlimpuduu

11、puduubapbap xfx xf3、迪尼判别法及其推论、迪尼判别法及其推论 迪尼定理迪尼判别法）迪尼定理迪尼判别法） 设能取到适当设能取到适当 ，使由函，使由函数数 以及以及 点所作出的点所作出的满足条件：对某正数满足条件：对某正数 ，使在，使在 上，上， 为可积为可积和绝对可积，那么和绝对可积，那么 的傅里叶级数在的傅里叶级数在 点收于点收于 。 利普希茨判别法地理判别法的一个推论）利普希茨判别法地理判别法的一个推论）如果函数如果函数 在在 点连续，并且对于充分小的正数点连续，并且对于充分小的正数 在在 点的利普希茨条件点的利普希茨条件 成成立，其中立，其中 皆是正数，且皆是正数，且 ，

12、那么，那么 的傅的傅里叶级数在里叶级数在 点收敛于点收敛于 ，更一般地，如果对于，更一般地，如果对于充分小的充分小的 成立成立s xfx suxfuxfu2hh, 0 uu xfxs xfxux huLuxfuxf0,L1 xfx xfuLuxfuxf0 同前，那么同前，那么 的傅里叶级数在的傅里叶级数在 点收敛于点收敛于一个重要推论一个重要推论 假如假如 在在 点有有限导数点有有限导数 ，或是有两个单，或是有两个单侧的有限导数侧的有限导数,L xfx200 xfxf xfx xf uxfuxfxfuxfuxfxfuu00limlim甚至只是有更一般的有限导数那么 的傅里叶级数在 点收敛于 或

13、因为这时对于函数 在 点的 的利普希茨条件是成立的。uxfuxfuxfuxfuu0lim,0lim00 xfx xf200 xfxf xfx1七、傅里叶级数的性质七、傅里叶级数的性质一、一致收敛性一、一致收敛性 1设周期为设周期为 的可积和绝对可积函数的可积和绝对可积函数 在比在比 更宽的区间更宽的区间 上有有限导数上有有限导数 ，那么，那么的傅里叶级数在区间的傅里叶级数在区间 上一致收敛于上一致收敛于 。 2设周期为设周期为 的可积和绝对可积函数的可积和绝对可积函数 在比在比 更宽的区间更宽的区间 上连续且为分段单调函数，那上连续且为分段单调函数，那么么 的傅里叶级数在区间的傅里叶级数在区间

14、 上一致收敛于上一致收敛于 。2 xfba,ba, xf xfba, xf2 xfba,ba, xfba, xf二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导 设设 是是 上分段连续函数，它的傅里叶级数上分段连续函数，它的傅里叶级数是是我们并不假定右端级数的和是我们并不假定右端级数的和是 甚至也不假定它收甚至也不假定它收敛，然而它却可以逐项积分，设敛，然而它却可以逐项积分，设 和和 是是 上任上任意两点，则有意两点，则有三，最佳平方平均逼近三，最佳平方平均逼近 设设 是任意一个是任意一个 次三角多项式次三角多项式 xf, 10sincos2nnnnxbnxaaxf xfcx, 1000sincos2nxnnxdtntbntacxadttf xTnn nkkknkxBkxAAxT10sincos2其中