矢量场与标量场以及计算方法

1、标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式电磁场与电磁波电磁场与电磁波Vector Analysis（矢量分析）（矢量分析）1 标量场和矢量场标量场和矢量场 补充：补充： 01.矢性函数矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在它是一个既存在大小大小(或称为模或称为模)又有方向特性的量，故称为又有方向特性的量，故称为实数矢量实数矢量，一般用，一般用黑体黑体A表示。表示。 若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量直线段

2、，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢的模，箭头的指向表示该矢量量A的方向。的方向。 矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度如电场强度E、磁场强度、磁场强度H、速度、速度v等等。等等。 而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢变矢，如沿着某一曲线，如沿着某一曲线物体运动的速度物体运动的速度v等。等。 )(tAA 若某一矢量的模和方向都保持不变，若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为此

3、矢量称为常矢常矢，如某物体所受到的重力。如某物体所受到的重力。 设设t是一数性变量，是一数性变量，A为变矢，对于某一区间为变矢，对于某一区间Ga, b内的每一个数值内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则与之对应，则称称A为数性变量为数性变量t的矢性函数。记为的矢性函数。记为 而而G为为A的定义域。矢性函数的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量标分量都是变量t的函数，分别为的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函，则矢性函数数A (t)也可用其坐标表示为也可用其坐标表示为 zzyyxxetA

4、etAetAA)()()(其中其中ex、ey、ez为为x轴、轴、y轴、轴、z轴正向单位矢量。轴正向单位矢量。 终点一般称为矢性函数终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。的矢端曲线。图1-1 直角坐标系中一点的投影 P(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxayxAzAyABcosAB 1） 标量积标量积任意两个矢量任意两个矢量A与与B的标量积的标量积(Scalar Product)是一个标量，是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，所示， 记为记为 图图1-2 标量积标量积02. 矢量的乘积矢量的乘积矢量的乘

5、积包括矢量的乘积包括标量积和矢量积标量积和矢量积。AB=AB cos 任意两个矢量任意两个矢量A与与B的矢量积（的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量其方向垂直于矢量A与与B组成的平面，组成的平面， 如图如图1-3所示，记为所示，记为 矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律AB= -BA 2） 矢量积矢量积 C=AB=enAB sin en=eAeB （右手螺旋）（右手螺旋）CBAanaBaAOC ABBA(a

6、)(b) 图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋AeneBe1. 标量场和矢量场标量场和矢量场 场场： 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）位的分

7、布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的的。若该物理量与时间无关，则该场称为若该物理量与时间无关，则该场称为静态场静态场； 若该物理若该物理量与时间有关，则该场称为量与时间有关，则该场称为动态场动态场或称为或称为时变场时变场。 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如，在直角坐标下：)2() 1( 45),(222zyxzyx 标量场在研究物理系统中温度、在研究物理系

8、统中温度、 压力、压力、 密度等在一定密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，述， 这些代数变量这些代数变量(即标量函数即标量函数)所确定的场为标量场，所确定的场为标量场， 如温度场如温度场T(x, y, z)、电位场、电位场(x, y, z)、高度场等。、高度场等。zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量场 然而在许多物理系统中，然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量场来描述。例如电场、磁场、需要用一个矢量场

9、来描述。例如电场、磁场、流速场等等。流速场等等。 ( , )cx y z其方程为:图0.1.1 等高线(1) 标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？2.标量场的等值面该曲面上任一点的函数值相等该曲面上任一点的函数值相等等值面充满了场所在的空间等值面充满了场所在的空间是单值函数，因此等值面不相交是单值函数，因此等值面不相交zAyAxAzyxddd三维场三维场二维场二维场yAxAyxdd图图0.1.2 矢量线矢量线3 3矢量场矢量场-矢量线（力线）矢量线（力线）0d lA其方程为：其方程为：在直角坐标下：在直角坐标下：目的：形象地描绘矢量场目的：形象地

10、描绘矢量场A A的分布的分布特点特点：(1)(1)它上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的它上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同方向相同(2)(2)矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互不相交不相交图图 1-4 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 物理意义：矢量线和场量的变化方向一致物理意义：矢量线和场量的变化方向一致矢量管：矢量管：通过场域某一曲面通过场域某一曲面s上的所有点的矢量上的所有点的矢量线的全体构成的管状区域。线的全体构成的管状区域。图图 1-5 矢量管矢量管 0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Fiel

11、d1.1.方向导数方向导数：设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l l 的变化率称为方向导数，即coscoscoscoscoscosxyzxyzlxyzxyz（） （）eeeeee,xyzxyzgeeecoscoscoslxyzeeee设 式中 , , 分别是任一方向 与 x, y, z 轴的夹角l),cos(|llleggeg则有：当 ， 最大0) , (lg el标量函数标量函数 沿沿l方向的方向导数就是矢量方向的方向导数就是矢量g在在l上的投影。上的投影。表明：表明：也就是只有当也就是只有当l的方向和的方向和g的方向一致时，方向导数才取得最的方

12、向一致时，方向导数才取得最大值。大值。l的方向和的方向和g的方向垂直时，方向导数为零的方向垂直时，方向导数为零l的方向和的方向和g的方向相反时，方向导数为的方向相反时，方向导数为-1，取得最小值，此，取得最小值，此时时 减小的最快减小的最快gradxyzgxyz eee梯度(gradient)哈密顿算子xyzeeexyz 式中图0.1.3 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义2. 梯度读作“del(代尔)”或“nabla(那勃拉)”) 标量场的梯度函数标量场的梯度函数建立了标

13、量场与矢建立了标量场与矢量场的联系，这一量场的联系，这一联系使得某一类矢联系使得某一类矢量场可以通过标量量场可以通过标量函数来研究，或者函数来研究，或者说标量场可以通过说标量场可以通过矢量场的来研究。矢量场的来研究。 标量场的梯度垂直标量场的梯度垂直 于通过该点的等值于通过该点的等值 面（或切平面）面（或切平面）例 0.2.1 电位场的梯度图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。 解：点解：点M的坐标是的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。

14、其等值面方程为 22)(0)(yxzzyx或或 例例1-1 求数量场求数量场 =(x+y)2- z 通过点通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。例例 ：试证明在点电荷：试证明在点电荷q产生的静电场中，电位函数的负梯度产生的静电场中，电位函数的负梯度等于电场强度等于电场强度E.0111( )( )( )()4xyzqrrrGeeexyz222 3/2222 3/2222 3/202004()()()44yxzryexezeqGxyzxyzxyzqeqrrr解：电荷解：电荷q所产生的电位为所产生的电位为04qr22222222231121()( )2()xxyzxyzxrxxxyz

15、r 0.3 矢量场的通量与散度1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分dSnSA dS =AS若 S 为闭合曲面 dS ASFlux and Divergence of Vector图0.3.1 矢量场的通量 （设曲面（设曲面S的单位法向矢量的单位法向矢量en），），An为为A在在en上的投影上的投影下 外侧外侧所研究所研究的一侧的一侧 0 0 (有正源有正源) 0 0 (有负源有负源) = = 0 0 (无源无源)图图0.3.2 矢量场通量的性质矢量场通量的性质 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ，可以根据，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质净通量的大小判断闭合面中源的

16、性质: :sdsE2 散度 ( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时：100dlimdlim=divVVVVdVASA散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv通量可看成通量可看成V内各点处的发散强度的体积分内各点处的发散强度的体积分根据奥式公式根据奥式公式d()()yxzxyzSSVAAAA dydzA dzdxA dxdydVxyzAS散度的意义 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 A=0 ，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通

17、量源的分布特性。 (无源）0 A (正源) A (负源) A图0.3.3 散度的物理意义 0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )10limdVVSAAS图0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯定理 VSVASA d d矢量函数的面积分与体积分的相互转换。0.4 矢量场的环量与旋度0.4.1 环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分环量dcosLlAdlAl 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。Circulation and Rotation of Vector Field图0.4.1 环量的计算P水流沿平行于

18、水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。图0.4.2 流速场流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。例：流速场力场中，环量力场中，环量LF dl表示力表示力F沿闭合路径所做的功沿闭合路径所做的功1. 环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限LSSSl d1limdd0环量密度环量密度是单位面积上的环量。注意：环量密度与所选曲面元的法线方向有关！2 旋度 ( Rotation )2. 旋度xxyyzzAAAAeeexyzddxdydzleee设d()()()()xyzLLyyxxzzsA dxA dyA dzAAAAA

19、Adydzdzdxdxdyyzzxxy Al得 ()()()yyxxzzxyzAAAAAArotAyzzxxyeee称为A的旋度旋度记作rotAA 上式右面的积分可以看成是矢量上式右面的积分可以看成是矢量 穿过曲面穿过曲面s的通量，的通量，s是以曲线是以曲线l为周界的曲面。为周界的曲面。()()()yyxxzzxyzAAAAAAyzzxxyeee 设设P为矢量场中的任一点，作为矢量场中的任一点，作一个包含一个包含P点的微小面元点的微小面元S，其周，其周界为界为l，它的正向与面元，它的正向与面元S的法向的法向矢量矢量n成右手螺旋关系成右手螺旋关系(如图所示如图所示)。则矢量则矢量A沿沿l方向的环

20、量为：方向的环量为： rotnA为旋度矢量为旋度矢量rotArotA在在n n方向的投影，利方向的投影，利用中值定理用中值定理 M为为 中的某一点，令中的某一点，令 向向p p点收缩，点收缩，则有旋度定义的极限形式则有旋度定义的极限形式：旋度的旋度的物理意义nd(rotd(rotSSl AlA)S =A)dsnn(rotrotSSMA)ds = (A)SSPlnrotA旋涡面旋度小结：矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。它的方向就是该点环量密度的最大值时曲面S的方向的方向其模等于环量密度的最大值。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处

21、 A= 0 ，称之为无旋场。 由此可见，由此可见， rotnA表示矢量场表示矢量场A在在P点的环量密度，它与该点的环量密度，它与该点的曲面元的法线方向有关。当旋度点的曲面元的法线方向有关。当旋度rotA与与n的方向相同时，的方向相同时，环量密度取得最大值。环量密度取得最大值。n00rotlimlimlSSA dldSSds A=AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeA在直角坐标下:4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )SA)lAd(dSl矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。 例1-12

22、求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解： 矢量场A的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)()()()()()(在点M(1，0，1)处的旋度 zyxMeeeA2n方向的单位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 7177327672nAM六、无源场和无旋场六、无源场和无旋场 1、无源场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有：A =0性质性质1 1：无源场中穿过场域：无源场中穿过

23、场域V V中任一个矢量管的所有中任一个矢量管的所有截面的通量都相等。（证明略）截面的通量都相等。（证明略）性质性质2 2：无源场存在矢势：无源场存在矢势由恒等式：0F（矢量场的旋度必为无散场）（矢量场的旋度必为无散场）可知存在一矢量场F满足：AF F称为称为A的的矢势矢势=0A 2、无旋场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有：A =0性质性质1 1：无旋场中：无旋场中A A沿场域沿场域V V中任意闭合路径中任意闭合路径l l的的环量等于零。环量等于零。0LA dl性质性质2 2：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度无旋场必可以表示为某一标量场的梯度由恒等式：由恒等式：可知存在一标量场可知存在一标

24、量场 满足满足：矢量场矢量场A称为位势场，称为位势场， 称为位函数称为位函数调和场调和场散度和旋度都等于零的矢量场。散度和旋度都等于零的矢量场。为调和场为调和场A的位函数，则有的位函数，则有22222220 xyz 上式称为拉普拉斯方程，满足该方程的解且具有上式称为拉普拉斯方程，满足该方程的解且具有两阶连续的偏导数的函数称为调和函数两阶连续的偏导数的函数称为调和函数如果矢量场仅为无旋场，则是两场的位函数满足如果矢量场仅为无旋场，则是两场的位函数满足泊松方程。泊松方程。如：2 0.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F

25、F在无限空在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。数的旋度之和。Hymherze Theorem即在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及即在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。边界条件惟一地确定。散度、旋度散度、旋度分别对应通量分别对应通量源密度和漩涡源密度源密度和漩涡源密度在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个

26、无在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场旋场A1有散度有散度)和一个无散场和一个无散场A2(有旋度有旋度)之和：之和： 12AAA其中：其中：120,0.AA121() AAAA122()JAAAA,J分为散度和旋度源，在电磁场中分别指电荷和电流分为散度和旋度源，在电磁场中分别指电荷和电流即散度和旋度源确定后，就相当于确定了即散度和旋度源确定后，就相当于确定了“源源”的分的分布布已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件（矢量 A 惟一地确定）电荷密度电流密度 J 场域边界条件在电磁场中确定一个场所须条件确定一个场所须条件0.6 特殊形式的电磁场 如果在垂直某

27、一轴线( 设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f（x，y），则称这个场为平行平面场。1. 平行平面场Special Forms of Electromagnetic Field如无限长带均匀电荷直导线产生的电场。02. 球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），则称这个场为球面对称场。 如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。01.2 三种常用坐标系中的矢量场三种常用坐标系中的矢量场直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆球坐标系圆球坐标系场点的坐标位置场点的坐标位置矢量的坐标分量矢量的坐标分量位置矢量位置矢量x

28、yzrxeyeze距离矢量距离矢量Rrrxx xyy yzz z()() ()Rrrxxyyzz()()()222( , , )( , , )( , , )x y zzr ),(),(),(rfzfzyxf)(rfPO1P2PO直角坐标系直角坐标系 场点的坐标位置场点的坐标位置(x,y,z),(z圆柱坐标系圆柱坐标系020z柱坐标系中任一点表示为 ，点 是三个坐标曲面 ， ， 的交点。 ( , , )Mz 1111( , )Mz 111zz 直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系xyzzcossinxyyxzz22arctan),(r圆球坐标系圆球坐标系200

29、0 r直角坐标系坐标与圆球坐标系坐标的关系直角坐标系坐标与圆球坐标系坐标的关系cossinsincossinrzryrxxyzyxzyxrarctanarctan22222z 垂直于垂直于Z轴及轴及 点组成的平面，沿点组成的平面，沿 增大一侧的方向。增大一侧的方向。),(z:z在在 点，平行与点，平行与Z轴的方向。轴的方向。),(zXYZ),(zPOr以以Z为轴，半径为为轴，半径为 的圆柱面在的圆柱面在 点的外法点的外法线方向。线方向。),(z:矢量场的圆柱坐标系分量矢量场的圆柱坐标系分量圆柱坐标轴单位矢量圆柱坐标轴单位矢量zxyzPz( , , ) o zxyoArA r()()ArA r(

30、)()ArA rzz()()cossinxysincosxy cossinxsincosy矢量场的圆柱坐标系分量矢量场的圆柱坐标系分量 矢量矢量 在在 点点 的直角坐标分量与柱坐标分量的转换矩阵：的直角坐标分量与柱坐标分量的转换矩阵：rAzyxzAAAAAA1000cossin0sincoszzyxAAAAAA1000cossin0sincos柱坐标系的体积元ddd d dz 过空间任意点过空间任意点 的坐标单位矢量的坐标单位矢量为为 。它们相互正交，而且遵。它们相互正交，而且遵 循循 的右手螺旋法则。的右手螺旋法则。1111( , )Mz ,zaaazaaad 矢量场的圆球坐标系分量矢量场的圆球坐标系分量圆柱坐标轴单位矢量圆柱坐标轴单位矢量r 以以 半径，原点为球心的球面在半径，原点为球心的球面在 点的外法点的外法线方向。线方向。r),(r: r垂直于过垂直于过Z轴及轴及 点组成的平面，沿点组成的平面，沿 增大一侧的方向。增大一侧的方向。),(r:以原点为顶点，以原点为顶点，Z为轴的圆锥在为轴的圆