塑性加工力学__第10章_上限法

1、n概述 n虚功原理与基本能量方程 n最大散逸功原理 n上、下限定理 n上限法的解题步骤和应用实例 第10章 上限法10.1 概述n基于虚功原理和变分原理的极限分析法或界限基于虚功原理和变分原理的极限分析法或界限法：下限法和上限法法：下限法和上限法n用下限法计算极限载荷时，只假设塑性变形区用下限法计算极限载荷时，只假设塑性变形区内的应力状态为静可容应力场内的应力状态为静可容应力场*ij1）、满足平衡微分方程*0ijix2）、满足力边界条件*iij jiTlT3）、不违背屈服准则*22iiiiK依据此应力场所求得的极限载荷总是小于真实载荷，故称为下限法*22iiiiK1123sK证明对屈雷斯加，1

2、2sKMises，13sK10 xyzJ221()0 xyzJ 2 2 22()xyzxyyzzx 2222 2 2 2222()12xyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxJ 2 2 2222ijijxyzxyyzzx11 =+ +2 +2 +222212ijijJ (1)(2)(3)xxmyymzzm = - = - = - 2 2 222222222222222222222222222212121322221321 1222222 3xyzxyyzzxxmymzmxyyzzxxyzmxmymzmxyyzzxxyzmxyyzzxxyzxyJ 2222222222166yzzxxyyzzx

3、xyyzzxxyyzzx (4)(5)根据Mises屈服准则22JK2212ijijJK *22iiiiK(6)(7)上限法 假设塑性变形区的位移状态为动可容速度场*iu 1）、满足速度（位移）边界条件*iiiiuuuu2）、变形体内保持连续性，不发生重叠和开裂3）、满足体积不变条件*00iiii由于所设的速度场只要求满足动可容条件，而不考虑应力方面的条件，因此，该速度场不一定是真实速度场。所求得的载荷总是大于真实载荷，故称为上限法1、由于上限法所求得的载荷总是大、由于上限法所求得的载荷总是大于真实载荷，因此对设备和模具比较于真实载荷，因此对设备和模具比较安全安全2、上限法是利用能量平衡原理，

4、不必解、上限法是利用能量平衡原理，不必解复杂的偏微分方程复杂的偏微分方程10.2 虚功原理与基本能量方程界限法的力学基础是虚功原界限法的力学基础是虚功原理理如对载荷作用下处于平衡状如对载荷作用下处于平衡状态的变形体给予一符合约态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位移时，束条件的微小虚位移时，则外力在虚位移上所作的则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应虚功，必等于变形体内应力在虚应变上所作的虚功力在虚应变上所作的虚功（虚应变能）（虚应变能） iiijijsVTdu dsddV虚功方程或基本能量方程(1)虚功方程的证明n已知力边界条件为jij iiij jTlTliiij jissxxxyy

5、xzzsyxxyyyzzzxxzyyzzTdu dsl du dsdududuldududumdududun ds (1-1)n利用曲面积分与体积积分的关系sVPQRPlQmRn dsdVxyzxxxyyxzzdududul()()()()()()xyxxziixyzsVyxzxxyxzyxyyzxyzyxzyxyyzzyzxzxyzTdu dsdududuxxxdududuxxxdududuyyydududuyyydududuzzz()()()yxzzxzyzdudududVzzz0iijx()()12jiijjidududxx2()iisxxyyzzxyxyyzyzzxzxVijijVTd

6、udsdddddddVddV虚功原理得证利用求利用求和约定和约定证明证明sVPQRPlQmRn dsdVxyz()()()ijiiiij jijssVijiiijjjVduTdu dsl du dsdVxdududVxxii iisVPPl dsdVx()()1()2()0iiijjjiijjdududujdxxxxiiijijsVTdu dsddViiijijsVTdu dsddViiijijsVTdu dsddV应力球张量应力球张量不做功不做功 (2) (3)速度间断12tttVuu12() DDttDtDSSuu dSV dS DiiijijtDsVSTdu dsddVV dS（5）为存

7、在速度间断的虚）为存在速度间断的虚功方程。由于速度间断面实功方程。由于速度间断面实质上是最大切应力平面，故质上是最大切应力平面，故K (4) (5)10. 3最大散逸功原理 n对刚塑性体一定的应变增量场而言，在所有满对刚塑性体一定的应变增量场而言，在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大大*()0ijijijVddV符合应力应变关系的应力偏量和应变增量满足同一屈服准则的任意应力偏量场 (6)最大散逸功原理的证明1230dddOQ一定在 平面上ijijdwdOPPQ*

8、ijijdwdOPPQ*()()cos( )ijijijdwdwdOPOPPQP PPQP PPQ (7) (8)3dijd1d2dijij32OQ主轴空间内的应力、应变矢量平面上的偏应力矢量和应变矢量ijdij*ij*PM231Q由于屈服轨迹是外凸的曲线*()0ijijijdwdwd对上式进行整体积分得*()0ijijijVddV*()0ijijijVddV同样对于虚拟应变增量场 (9)ijdij*ij*PM231Q*()0()0ijijijVijijijVddVddV物体在塑性变形时，总是要物体在塑性变形时，总是要导致最大的能量散逸导致最大的能量散逸对于一定的应变增量场，对于一定的应变增量

9、场，在所有满足屈服准则的应在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场力场中，与该应变增量场长符合应力应变关系的应长符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为力场所做的塑性功增量为最大。最大。 (10)除以dtijdij*ij*PM231Q10 . 4上、下限定理 n下限定理iiijijsVTdu dsddVTuiiTiiuijijSSVTdu dSTdu dSddV刚塑性体，应力球张量不做功 (11)虚功原理*TuiiTiiuijijSSVT du dST du dSddV*()()()TuiiiTiiiuSSijijijVTTdu dSTTdu dSddV设有一应力场，满设有一应力场，满足

10、静可容条件足静可容条件*ij与虚拟应力场相对与虚拟应力场相对应的表面力应的表面力 (12)(11) 减减 (12)得得 (13)*()()()TuiiiTiiiuSSijijijVTTdu dSTTdu dSddV*iiTT在力面上由最大逸散功原理*()0ijijijVddV*uuiiuiiuSSTdu dST du dS在位移面在位移面 上，由任一静可容应力上，由任一静可容应力场引起的表面力场引起的表面力 所做的功增量总所做的功增量总是小于真实表面力是小于真实表面力 所做的功增量所做的功增量可得到真实载荷的下限解可得到真实载荷的下限解 (14)满足力平衡uS*iTiT上限法n从动可容位移增量

11、（速度）从动可容位移增量（速度）场，并不要求相应的应力场，并不要求相应的应力场满足静可容条件场满足静可容条件现设有一动可容位移场*idu*DS*uij速度间断面位移增量间断值*TuDiiTiiuijijDSSVSTdu dSTdu dSddVu dS (15)参照虚功方程（参照虚功方程（5）得）得*ijijijijVVddVddV在uS*iidudu最大逸散功原理得最大逸散功原理得按屈服准则K面上得*uTDiiuijijDiiTSVSSTdu dSddVK u dSTdu dS剪切功虚位移功真实力虚功真实力功*uuuiiuiiuiiuSSSTdu dST du dST du dS*uiiuST

12、 du dS (17)为上限定理的数学表达式，在位移面为上限定理的数学表达式，在位移面 上，与任一上，与任一动可容位移增量场动可容位移增量场 对应的表面力对应的表面力 所做的功增所做的功增量，总是大于或等于真实表面力量，总是大于或等于真实表面力 在真实位移增量在真实位移增量场场 上所做的功增量。上所做的功增量。uS*idu*iTiTidu*uTDiiuijijDiiTSVSSTu dSdVK u dSTu dS若用若用 分别代替分别代替 和和 ，则式（，则式（16）中的各项变为相应的功率，因而得中的各项变为相应的功率，因而得*u *ij*idu*ijd (18)由由 上上 所确定的载荷所确定的

13、载荷 ，总是大于或大于，总是大于或大于或等于真实表面力或等于真实表面力 所确定的载荷所确定的载荷 PuS*iT*PiT*uuSuSudS*0TiiTSTu dS 存在外摩擦时存在外摩擦时要计入摩擦功要计入摩擦功为自由表面时为自由表面时TS0iT 对于真实应变场来说，真实应力场与虚拟应力场相比，对于真实应变场来说，真实应力场与虚拟应力场相比，真实应力场所消耗的功（或功率）最大真实应力场所消耗的功（或功率）最大。但是，真实应。但是，真实应力场总是力图力场总是力图引起最小的变形引起最小的变形。因此，对真实应力场来。因此，对真实应力场来说，真实应力场与虚拟应变场相比，真实应变场消耗的说，真实应力场与虚

14、拟应变场相比，真实应变场消耗的功最小。真实应力状态具有最大的性质，而真实应变状功最小。真实应力状态具有最大的性质，而真实应变状态具有最小的性质，这就是刚塑性体的态具有最小的性质，这就是刚塑性体的极值原理极值原理。10 . 5上限法的解题步骤和应用实例n一、解题步骤一、解题步骤n根据金属流动模式（变形规律）和解题要求（如缺陷根据金属流动模式（变形规律）和解题要求（如缺陷分析），设计动可容速度场；分析），设计动可容速度场；n利用塑性理论中的几何方程，由该速度场确定应变速利用塑性理论中的几何方程，由该速度场确定应变速率场和等效应变速度场；率场和等效应变速度场；n计算各项上限功率计算各项上限功率n利用

15、最优化原理确定使总功率消耗为最小的准独立变利用最优化原理确定使总功率消耗为最小的准独立变量。量。n求解上限载荷，并进行各变量间相互关系的分析，从求解上限载荷，并进行各变量间相互关系的分析，从中得出用以指导工艺变形的参数的结论。中得出用以指导工艺变形的参数的结论。选择合量的流动模式和设计尽可能接近实际情况的选择合量的流动模式和设计尽可能接近实际情况的动可容速度场，是关键。动可容速度场，是关键。上限法中的动可容速度场主要有三种模式n平面应变问题，参照相关的滑移线场，把变形体简化成速度间断面分隔的若干三角形刚性块。n含有连续速度场的上限流动模式，即把塑变区设计为连续速度场，如平行速度场、各种形式的向心速度场等，只在刚-塑性边界产生速度间断。此外，还有用流函数求得的连续速度场。可用于平面应变问题，也可用于轴对称变形问题。n上限单元技术。将变形体的单元划分和速度场的确定规范化，进而计算各单元内部的功率消耗