哈工程第一章 电磁场的数学物理基础

1、工程电磁场原理工程电磁场原理2013-08-27主主 讲：王讲：王 伟伟哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学COLLEGE OF AUTOMATION , HARBIN ENGINEERING UNIVERSITYHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY学习要点学习要点引言电磁场物理模型电磁场物理模型123矢量分析矢量分析4场论场论5麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组6本章小结本章小结HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY引言引言 1.1. 什么是场？什么是场？ 物理概念上的描述：“在遍及一个被界定的或无限扩展的空间内，在遍及一个被界定的或无限扩展的空间内，存在着某种必

2、须予以重视、研究的效应存在着某种必须予以重视、研究的效应”。例如，温度场T T(x,y,z,t)、重力场F F(x,y,z,t)，以及电场E E(x,y,z,t)、磁场B B(x,y,z,t)等对应于相应物理效应客观存在的物理场； 数学意义上的描述：“给定区域内各点数值的集合，并由此规定给定区域内各点数值的集合，并由此规定了该区域内某一特定量的特性了该区域内某一特定量的特性”。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2.2. 本课程的理论体系本课程的理论体系宏观电磁理论宏观电磁理论 1865年英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)建立的著名的麦克斯韦电磁场方程组是宏观

3、电磁理论体系的基础。 宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是：宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是： 场域场域( (即场空间即场空间) )中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速；中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速； 场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。 本课程所讨论的任一场点，即意味着大量分子的集合 场域中的媒质被看作为“连续媒质” 该场点处的电磁性能归结为对应的宏观统计平均效应的表征，即通过宏观等效的物性连续参数(如电导率、磁导率和介电常数)予以描述。 因而，宏观电磁理论也被称为“连续媒质电动力学”，但决不等同于“量子电动

4、力学”或“相对论电动力学”，后者已分别延拓到微观粒子或高速运动体系中电磁现象和过程的研究领域。引言引言HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY3.3. 工程电磁场问题的观察点工程电磁场问题的观察点“电磁场的有效控制和利用电磁场的有效控制和利用” 无论从理解近代科学技术成果或者从发展并实现新的科学技术成果评价，电磁场理论及其应用不仅是日趋发展的电工、电子和信息科学技术的重要基础，而且也是旁及军事、生态、医疗、地质等众多领域新科学技术的生长点。这一切都可聚焦于“电磁场的有效控制和利用电磁场的有效控制和利用”的基本观察点上，例如： 浦东国际机场磁悬浮线（EMS型磁浮列车）和日本山梨

5、磁悬浮试验线（EDS型磁浮列车）； 电磁探测（应用于油、气、矿藏、地层结构探测和气象预测等遥感、遥测技术）； 电子束曝光、离子束注入技术（大规模集成电路芯片制造）； 现代战争中的电磁技术（导弹防御系统、隐身飞机、巡航导弹、GPS系统、信息干扰等）； 广播、电视、移动电话、微波通信和光纤通信等； 电磁热加工技术（感应加热、微波加热和微波炉等)； 生物医学工程中的电磁技术（核磁共振CT、X线透视和肿瘤热疗法等）； 超导储能技术； 高能量密度的百万kW级汽轮、水轮发电机设计、制造（优化）技术； 1000kV超高电压电力系统及其装置的设计、制造（优化）技术； 磁流体发电技术； 纳米微晶磁性材料的应用；

6、 卫星太阳能发电站； 引言引言HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4 4、学习方法、学习方法 电磁场理论体系完整、简练，内涵丰富、概念性强，且较抽象。同时，应用数学知识与工具较多，涉及知识面宽，故更需要注意科学的学习方法1. 深入理解，建立正确的物理概念，并熟练运用必须的数学知识和工深入理解，建立正确的物理概念，并熟练运用必须的数学知识和工具具 实践证明，正确理解物理概念是学习中困难的主要方面，故需抓住此主要矛盾，通过深入钻研，使之得以缓解。 本课程学习将遵循数学建模、分析的主线索展开，因此，除微积分基础知识外，矢量分析与场论、数理方程(偏微分方程)与特殊函数等数学知识和

7、工具都应成为定性乃至定量分析电磁场问题所必备的知识基础。2. 2. 掌握常用分析、计算的方法掌握常用分析、计算的方法 通过例题、习题等环节不断提高逻辑思维、分析与解题能力，这也是理论联系实际、通过实践能动地理解和深化概念的过程。 引言引言HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 引言引言3. 3. 逐步建立工程分析的观点逐步建立工程分析的观点 本课程终极目的在于培养学生分析和解决工程电磁场问题的基本能力。4.4. 正确的学习态度和方法正确的学习态度和方法 刻苦钻研，独立思考； 科学的方法论：运用演绎法(由一般到特殊)、类比法和归纳法等，以努力提高学习效率和改善学习效果； 科学

8、地安排、计划学习时间； 及时做好课程的预、复习。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 第一章第一章 电磁场的数学物理基础电磁场的数学物理基础重点内容回顾及疑难解答场的概念教学内容主要知识点1掌握电磁场物理模型构成，理解源量、场量以及媒质电磁性能参数等物理概念。2掌握矢量分析的方法。3理解麦克斯韦方程组在数学和物理意义上的描述。重点和难点(1) 矢量分析(2) 场论(3) 麦克斯韦方程组思考题与作业例题1-1、1-2、1-3；作业1-1，1-2，1-3，1-4，1-6备注HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型 根据

9、电磁现象和过程分析的物理模型构造的本质，可建立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。理想化假设实际的电工、电子技术装置 电路模型(一种具体的 物理模型)电路模型：理想电路元件(R、L、C) 及其组合理想电压源、电流源(e,i)分析问题以u，i为基 本物理量给定激励(e,i) 求响应(u,i)电路分析：电路分析：1.1电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型电磁场分析：电磁场分析： 电磁场的物理模型：连续媒质的场空间(、 、 及其相应的几何结构) 理想化的场源(q,i)分析问题以E、 H

10、 、D、 B为 基本物理量(场量)给定源量(q,i),求场 分布(E、H、D 、B)理想化假设实际电磁装置中的电磁现象和过程电磁场的物理模型以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1) 给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2) 运用相应的分析计算方法；(3) 解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型1.2电磁场的基本物理量电磁场的基本物理量源量和场量源量和场量电磁场物理模型中的基本物

11、理量可分为源量和场量两大类。 源量源量激励（输入）激励（输入） 场量场量响应（输出）响应（输出） 电磁场模型中的源量源量：电荷和电流电磁场模型中的基本场量场量：电场强度E E和磁场强度B B在一般情况下，电磁场的源量和场量分布均随所在空间的位置和时间而变化，即可以表述为空间坐标和时间的函数，如两个基本场量的数学函数式可分别记为 、 。),(tzyxE),(tzyxBHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型1. 源量源量(电荷电荷) q(r ,t) 电荷是物质基本属性之一。 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现

12、了电子。 19071913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 3310-19 (单位：C) 确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的方式来给定带电体的电荷以电

13、荷密度分布的方式来给定带电体的电荷量量。 理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式： （1）点电荷点电荷 q(r ,t)： （2）电荷体密度电荷体密度 (r ,t)： （3）电荷面密度电荷面密度 (r ,t)： （4）电荷线密度电荷线密度 (r ,t)： 30dlimC/mdVqqVV rrr Cq r20dlimC/mdSqqSS rrr 0dlimC/mdlqqll rrrHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型2. 2. 源量源量( (电流电流) ) i i ( (t t) ) 源于电荷定向运动的电流 i 定义为 dddSq

14、itJS 可见，电流i为一积分量，不是点函数。鉴于电磁场空间中各点电磁现象和过程变化规律性分析的需要，必须引入对应于源量i(t)分布的点函数形式的描述体电流密度体电流密度( (简称电流密度简称电流密度) )J J( (r r, ,t t) ),其量值为 n0nndlimdSiiSSJ(单位: A/m2)其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型t0t( )limqF rqE(r)tq3. 3. 场量场量( (电场强度电场强度) )E E 1785年法国物理学家库仑（C.A.Coulomb）定量的研究了电

15、场对静止电荷的作用力： (单位：N/C或V/m) 要求试体电荷携带的电荷量必须小到不至于影响被研究的电场。电电场强度即单位电荷受到的电场力。场强度即单位电荷受到的电场力。 电场不只存在于静止电荷的周围空间，在通有电流的导体中，在由交变电流激励的电磁装置的周围空间内都存在着电场。对于电场问题，研究和分析的首要任务是在给定源量的作用下求其电场强度E（r,t）随空间和时间变化的规律性。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型max()dFdqvB()dFdq vB4. 4. 场量场量( (磁通密度磁通密度) )B B 磁通密度也称为磁感应强

16、度是用来描述运动电荷受到的磁场力，其值等于单位运动电荷以单位速度在与磁场相垂直方向上运动时所受到的磁场力。 上式仅表明当B B 的方向与运动电荷速度v v 的方向相互垂直时B B 的数量关系。一般情况下，B B的数值和方向应满足下式的关系(单位：T或Wb/ m2)HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型/Idq dtdlvdt(/)(/)dqvdq dl dtdq dt dlIdl()dFI dlB对于导体内电流产生的磁场力可以表示为：电流 导线内以速度v v运动的元电荷dq，在dt时间内对应的元位移为 因此上式可以表述为元电流Idl在

17、磁场中受到的力。同理，磁场也不只存在于磁铁或恒定电流的周围空间，也存在于电磁波中，存在于由交变电流激励的电磁装置的周围空间内。因此，对于广泛的磁场问题，也将首先聚焦于场分布，即磁感应强度B（r,t）随空间和时间变化规律的分析。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型1.3电磁场中的媒质及其电磁性能参数电磁场中的媒质及其电磁性能参数 在电磁场源量的作用下，电磁场物理模型所对应的各种电气装置中的电磁现象，本质上将取决于构成装置和场域的各种媒质的几何结构及其电磁性能。在本课程中，主要研究宏观电磁现象，即研究媒质的微观结构在与电磁场相互作用下

18、所表征的宏观统计平均效应，采用若干个宏观等效的性能参数来描述媒质的电磁性能电导率、磁导率和介电常数。 电导率反映了材料的导电性能；磁导率反映了材料宏观的磁化性能；介电常数反映了材料在电场作用下的极化性能。这三个参数在电磁场中的地位相当于R R、L L、C C在电路问题中的作用。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型 针对媒质中媒质中的电磁场问题，在物理电磁学中引入另外两个基本物理量：电通密度电通密度（电位移矢量）D和磁场强度磁场强度H，它们的定义式分别与媒质的电磁性能参数和相关联，构成与基本量E和B之间的关系为:DEBH上式称为媒质的

19、构成方程。D、H、和的单位分别是：库/米2（C/m2）、安/米（A/m）、法/米（F/m）和亨/米（H/m）。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、电磁场的物理模型一、电磁场的物理模型9-12070800110 F/m8.854 10F/m36410 H/m1c=3 10 m/s 由以上分析可知，对于电磁场运动状态的描述，在数学上可以归结为研究空间矢量函数，即电场强度E、磁通密度B、电通密度D和磁场强度H随时间和空间变化的规律。 真空作为一种特殊媒质，具有表征其电磁性能的等效宏观电磁参数介质阻抗常数 和 磁导率。这两个分别和电、磁现象相关的真空电磁参数，与真空中电磁波传

20、播速度c一起，构成电磁场物理模型中三个通用常数。00HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材。教材上的矢量符号即采用印刷体。上的矢量符号即采用印刷体。2.1 矢量代数矢量代数2.1.1标量和矢量标量和矢量 标

21、量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量( (电压电压U U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示矢量的代数表示FEHBDAAeDAAeAAAeAHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscosAxyzeeeezAx

22、AAyAzxyOHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.1.2矢量的运算矢量的运算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律： 2 2、矢量相加和相减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解： BAABBAABBHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析cosABxxyyzzA

23、 BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）()A BB AA BCA BA C 说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律： 2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 ABABHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA B

24、e ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABAHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析 三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的三条相互正交线的交点交点

25、来确定。来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直直角坐标系角坐标系、圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标系球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为称为正交坐标系正交坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴；描述坐标轴的量称为的量称为坐标变量坐标变量。2.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.1直角坐标系直角坐标系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元

26、矢量面元矢量线元矢量线元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyydddHARB

27、IN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.2圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐标变量坐标变量,zee e 坐标单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析说明：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：圆柱坐标系下矢量运算方法：

28、zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()zzzzzzzzeeeA BAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.3球面坐标系球面坐标系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的

29、线元、面元和体积元,r 坐标变量坐标变量,re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体积元体积元面元矢量面元矢量HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析说明：球面坐标系下矢量运算：说明：球面坐标系下矢量运算： rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABe ABeABeAB() ()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeA BAAABBBe A BA B

30、eA BA BeA BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.4坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐

31、标单位矢量的关系xeyeeeorz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeereeHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问题求解，如无限大的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。面电荷分布产生电场分布。2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解，如无限长的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。线电流产生磁场分布。3 3、球面坐标系

32、适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解，如点电荷的问题求解，如点电荷产生电场分布。产生电场分布。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.1 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变

33、标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场标量场和矢量场( , , )u x y z 、( , , )F x y z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.1.1

34、标量场的等值面标量场的等值面 标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconst3.1.2方向导数方向导数方向导数表征标量场空间中，方向导数表征标量场空间中，某点处某点处场值沿场值沿特定方向特定方向变化的规律。变化的规律。 方向导数定义：方向导数定义：000()()limlMu Mu Mull M0Mll( )u r方向导数与选取的方向导数与选取的考察方向考察方向有关。有关。HARBIN ENGIN

35、EERING UNIVERSITY三、场论三、场论 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为 coscoscos0zxxlM 证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数在M0处可微，故 0()()MMxyzlxyz HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论两边除以 ，可得 coscoscosxyzlxlylzlxyz当趋于零时对上式取极限，可得 coscoscoszyxllHARBIN ENGINEERING UNIVER

36、SITY三、场论三、场论 方向导数物理意义：方向导数物理意义：00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；u0Mll00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向（无改变）方向为等值面方向（无改变）u0Ml 方向导数的计算方向导数的计算coscoscosuuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、分别为分别为 与与x,y,zx,y,z坐标轴的夹角。坐标轴的夹角。 lHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 例例1-1

37、 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。22)(0)(yxzzyx或 解：解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 例例1-3 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论而 222)(,2,2zyxz

38、uztyuzxxu数量场在l方向的方向导数为 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点M处沿l方向的方向导数 324232132131MlHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 梯度的定义梯度的定义max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。le 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率最大增加率 标量场梯度

39、的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影3.1.3标量场的梯度标量场的梯度uHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 梯度的运算梯度的运算1zuuuueeerz 11sinruuuueeerrr 直角坐标系：直角坐标系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyy哈密顿算符u 球面坐标系：球面坐标系：11()sinreeerrr 柱面坐标系：柱面坐标系：1()zeeerz HARBI

40、N ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论0()()()( )( )CCuC uuvuvuvu vv uf uf uu 梯度运算相关公式梯度运算相关公式式中：式中： 为常数；为常数； C,u v 为坐标变量函数；为坐标变量函数； HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.2 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度3.2.1 3.2.1 矢量线（力线）矢量线（力线）矢量场的通量矢量场的通量 矢量线的矢量线的疏密疏密表征矢量场的表征矢量场的大小大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向( )SF rd

41、S 若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空间分布于空间中，在空间中存在任意曲面中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：( )F r为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。3.2.2 3.2.2 矢量场的通量矢量场的通量( )F r矢量线矢量线OM Fdrrrdr问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入引入通量通量的概念。的概念。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论cosnsssF dSF e dSFdS 1) 1) 面元矢量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面积，为微分量，

42、：面元面积，为微分量，无限小无限小dSne：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。说明：说明： nedS2) 2) 面元法向面元法向 的确定方法：的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋右手螺旋法则法则确定；确定； 对闭合曲面：闭合面对闭合曲面：闭合面外法线方向外法线方向ne 若若S为闭合曲面为闭合曲面 ( )srd AS物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出

43、，闭合面内有发，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的出矢量线的正源正源；0 若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负负源源；0 若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无无源源，或或正源负源代数和为正源负源代数和为0 0。0 通过通过闭合面闭合面S S的通量的通量的物理意义：的物理意义：000HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论.3、矢量场的散度、矢量场的散度 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M

44、处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为： ( )F rV0( )div( )limsVF rdF rVS( )F r即即流出单位体积元封闭面的通量。流出单位体积元封闭面的通量。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性( (体密度体密度) )； 矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度

45、值表征空间中某点处矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r ( (负负源源) )( )0divF r( ( 无源无源）( )0divF r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场， 为源密度为源密度( )0divF r( )0divF r 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 在直角坐标系下：在直角坐标系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF

46、 eF exyz( )F r在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：在球面坐标系下：()11( )rzFrFFF rrrrz22111( )()(sin )sinsinrFF rr FFrrrr 散度的计算散度的计算HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.2.4散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理（矢量场的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过内的积分等于矢量场穿过包围该体积的包围该体积的边界面边界面S S的通量。的通量。( )F r 散度运算相关公式

47、散度运算相关公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为标量函数为常数HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.3.1 3.3.1 矢量的环流矢量的环流在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合路空间中，取一有向闭合路径径 ，则称，则称 沿沿 积分的结果称为矢量积分的结果称为矢量 沿沿 的环流。即：的环流。即：( )F r( )F r( )F r( )lF rdl 线元线元矢量矢量 ：长度趋近于：长度趋近于0 0，方向沿路径切线方向。，方向沿路径切线方向。dl 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生

48、矢量环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况反映矢量场漩涡源分布情况讨论：讨论：SSn 环量的定义APllll3.3 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.3.2 3.3.2 矢量的旋度矢量的旋度 环流面密度环流面密度0limcnsF dlrot FS 称为矢量场称为矢量场 在在M M点处沿点处沿 方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度。( )F r n定义：定义：空间某点空间某点M M处单位面元边界闭合曲线的环流：处单位面元边界闭合曲线的环流：SCMFn1)1)环流

49、面密度大小与所选取的单位面元方向环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。有关。nrotnnFe rotF（投影关系）2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 矢量场的矢量场的旋度旋度 矢量场在矢量场在M M点的旋度为该点处点的旋度为该点处环流面密度最大时环流面密度最大时对应的矢量，对应的矢量，模值等于模值等于M M点处最大环流面密度点处最大环流面密度，方向为，方向为环流密度最大的方向环流密度最大的方向，表，表示为示为 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示

50、矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论 旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzFxyzxyze

51、eexyzFFFHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐标系：柱面坐标系： 球面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()0u 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：证明证明证明证明HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 0,0FF0.0FF0,0FF

52、0,0FFHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.3.3 3.3.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的证明：得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消H

53、ARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.4 无旋场与无散场无旋场与无散场3.4.1 3.4.1 无旋场无旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位置或，但在某些位置或整个空间内，有整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无旋场。为无旋场。 0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS结论：结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零( (无漩涡源无漩涡源) )。 重要性质重要性质：无旋场的旋度始终为无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函

54、数可引入标量辅助函数表征矢量场，即表征矢量场，即Fu 例如：静电场例如：静电场0EE HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.4.2 3.4.2 无散场无散场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位置或整个，但在某些位置或整个空间内，有空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV结论：结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质：重要性质：无散

55、场的散度始终为无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场，可引入矢量函数的旋度表示无散场FA 例如，恒定磁场例如，恒定磁场BA 0BHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 20u0F HARBIN ENGINEERI

56、NG UNIVERSITY三、场论三、场论3.5 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：2uu 2“”式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222uuuuxyz 矢量场的拉普拉斯运算矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222xxyyzzFeFeFeFHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、场论三、场论3.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢

57、量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界条件边界条件（即矢（即矢量场在有限区域边界上的分布）量场在有限区域边界上的分布）唯一确定唯一确定，且任意矢量场可表示为：，且任意矢量场可表示为：( )( )( )F rrA r 1( )( )4VF rrdVrr1( )( )4VF rA rdVrr 说明：说明：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电、磁场散度电、磁场散度电、磁场旋度电、磁场旋度场域边界条件场域边界条件亥姆霍兹定理

58、在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有： 和和 则则 由其在边界面上的场分布确定。由其在边界面上的场分布确定。 0F0F( )F r( )F r注意：注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。三、场论三、场论HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY四、电磁场的基本规律四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组4.1 电磁感应定律电磁感应定律 法拉第电磁感应定律积分形式法拉第电磁感应定律积分形式

59、 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路所围面积法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路所围面积的磁通量发生改变时，回路中将产生感应电动势，的磁通量发生改变时，回路中将产生感应电动势，其大小等于其大小等于回路磁通量的时间变化率回路磁通量的时间变化率。 数学表示：数学表示：inddt “- -”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止阻止回路磁通回路磁通量的改变。量的改变。SBdStdd in,iHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY四、电磁场的基本规律四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应

60、定律微分形式令感应电场为令感应电场为inEinincEdlincsdEdlB dSdt incsBEdldSt 空间内，一般还存在着空间内，一般还存在着静电场静电场 ，导体内总电场为，导体内总电场为 。 由由前面讨论可知：前面讨论可知： 为保守场，即为保守场，即 则则 cEincEEEcE0ccE dl inccsBEEdldSt 上式（ ）csBE dldSt ssBE dSdSt BEt 法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式inSddtB dS HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY四、电磁场的基本规律四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组对法