解析几何中的定点和定值问题

1、精品文档文档解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考察重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考察直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考察数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求

2、出该定点的坐标。例2椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。1设动点P满足,求点P的轨迹；2设，求点T的坐标；3设,求证：直线MN

3、必过x轴上的一定点其坐标与m无关。【针对性练习3】椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为求椭圆C的标准方程；假设直线：与椭圆交于不同的两点不是椭圆的左、右顶点，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标例3、椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。I求椭圆的标准方程； 设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； 设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？假设存在，求出定点的坐标，假设不存在，请说明理由。二、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，

4、解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变中寻求定值的“不变性，一种思路是进展一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考察极端位置，探索出“定值是多少，用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法

5、不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比拟奏效。例4、椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。1求椭圆的离心率；2设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。例5、，椭圆C过点A，两个焦点为1，0，1，0。1求椭圆C的方程； 2E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。将第二问的结论进展如下推广：结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，那么直线EF的斜率为定值常数。结论2.过双曲线上任一点任意作两条

6、斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，那么直线EF的斜率为定值常数。结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，那么直线EF的斜率为定值常数。例6、椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()假设为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？假设存在，求出点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由.例7、抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()假设点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()假设动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运

7、动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？假设存在，求这个定值；假设不存在，说明理由例8、椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为求椭圆的方程；过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？假设存在，求出这个定点的坐标；假设不存在，请说明理由三、 定直线问题例9、设椭圆过点，且焦点为求椭圆的方程；当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上例10、椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。求椭圆C的方程；设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在

8、一条定直线上？假设是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；假设不是，请说明理由。四、 其它定值问题例11、双曲线的离心率为，右准线方程为求双曲线的方程；设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.例12、己知椭圆 ab0,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，那么的方程为，原点O到直线的距离为，那么与菱形内切的圆方程为。例13、P是双曲线上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点异于P点

9、，求证：直线P1P2的方向不变。探索定值：取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，那么这一条直线xPP1P2yO与曲线的另一个交点，其斜率 PP2的方程为把代入解得定值 证明：设PP1的斜率为，那么PP2的斜率为，PP1的方程为PP2的方程为，与抛物联立解得、 ，从而定值 EX：过抛物线y2=2pxP0上一定点x0,y0作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，那么AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为1，1，且直线MA、MB的斜率之和为0。1

10、求椭圆的方程。2求证：直线AB的斜率是定值。分析：1x2+2y2=3 22、定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.假设线段中点的横坐标是，求直线的方程；在轴上是否存在点，使为常数？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由.分析：M，0 3、不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mxm0于A、B两点，假设A、B两点满足AQP=BQP，假设其中Q点坐标为-4，0，原点O为PQ中点。1证明：A、P、B三点线；2当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l的方程。分析：设点AB的坐标2l：x=3.4、 椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短

11、轴的两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。1求椭圆的方程。2假设C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD,连结CM交椭圆于点P，证明：为值。3在2的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直线DP，MQ的交点，假设存在，求出点Q的坐标。分析：12由O、M、P三点共线，得，所以=43设Q点a，0，由，得a=0.5、设P为双曲线上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，假设的最小值是-1，双曲线的离心率是。1求双曲线C的方程；2过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。分析：1 2先

12、猜再证：，0换掉x1代入韦达定理得证。方法二：设AB：代入方程得：故AC：=又2my1y2=-y1+y2然后代入韦达定理得。6、在平面直角坐标系xOy中,RtABC的斜边BC恰在x轴上，点B(2,0)，C2，0，且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程； (II)假设过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使恒为定值？假设存在，求出点E的坐标及实数的值；假设不存在，请说明理由。分析：1 2m= 定值为 不容易先猜出，只能是化简求出。7、直线l过椭圆E：的右焦点F,且与E相交于P，Q两点。（1） 设，求点R的轨迹方程。（2） 假

13、设直线l的倾斜角为60，求的值。当l的倾斜角不定时，可证是定值。分析： 2可先猜再证:解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考察重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考察直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考察数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。四、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点，直

14、线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解析： 设A，B，那么，代入得 1又设直线AB的方程为，那么，代入1式得直线AB的方程为直线AB过定点-说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。例2【2021东城一模】椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点解析：由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：由题意知直

15、线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，那么，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点解：点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为 将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 设，那么， 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得所以，即或经检验，都符合条件，当时

16、，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。1设动点P满足,求点P的轨迹；2设，求点T的坐标；3设,求证：直线MN必过x轴上的一定点其坐标与m无关。【解析】 本小题主要考察求简单曲线的方程，考察方直线与椭圆的方程等根底知识。考察运算求解能力和探究问题的能力。解：1设点Px，y，那么：F2，0、B3，0、A-3，0。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。

17、2将分别代入椭圆方程，以及得：M2，、N，直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。3点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。方法一当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D1，0；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D1，0。所以直线MN必过x轴上的一定点D1，0。方法二假设，那么由及，得，此时直线MN的方程为，过点D1，0。假设，那么，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点1，0。【针对性练习3】2021年石景山期末理18椭圆C中

18、心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为求椭圆C的标准方程；假设直线：与椭圆交于不同的两点不是椭圆的左、右顶点，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标解: 设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，那么 解得 椭圆C的标准方程为 4分由方程组 消去，得 6分由题意， 整理得：7分设，那么， 8分由， 且椭圆的右顶点为， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分例3、椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不

19、垂直的直线，交椭圆于、两点。 I求椭圆的标准方程； 设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； 设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？假设存在，求出定点的坐标，假设不存在，请说明理由。解法一： I设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 由I得，所以，设的方程为代入，得 设那么,由，当时，有成立。在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，那么的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：由I得，所以。设的方程为 代入，得设那么当时，有成立。 在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，那么， 即，存在，使得三点共线。五、 定值

20、问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变中寻求定值的“不变性，一种思路是进展一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考察极端位置，探索出“定值是多少，用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三

21、角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比拟奏效。例4、椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。1求椭圆的离心率；2设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解析：1设椭圆方程为 ab0，A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中点为N(x0,y0)，两式相减及得到，所以直线ON的方向向量为，即，从而得2探索定值 因为M是椭圆上任意一点，假设M与A重合，那么，此时，证明 ，椭圆方程为，又直线方程为又设Mx，y，那么由得，代入椭圆方程整理

22、得又，例5、，椭圆C过点A，两个焦点为1，0，1，0。（1） 求椭圆C的方程； （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解析：1由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，舍去所以椭圆方程为。 2设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以， 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得， 所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 将第二问的结论进展如下推广：结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，那么直线EF的斜率为定值常数。证明：直线AE的方程为，那

23、么直线AF的方程为， 联立和，消去y可得结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，那么直线EF的斜率为定值常数。结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，那么直线EF的斜率为定值常数。例6、【2021巢湖市第一学期期末质检】椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()假设为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？假设存在，求出点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由.解析：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由得.

24、 所以椭圆的标准方程为. 离心率 (),设由得化简得，即故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为例7、【2021湖南师大附中第二次月考】抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()假设点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()假设动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？假设存在，求这个定值；假设不存在，说明理由解析：() 设抛物线方程为，那么抛物线的焦点坐标为.由，即，故抛物线C的方程是 ()设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，那么可设圆M的方程为. 令，得.那么，. 所以. ，设抛物线

25、C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，那么. 所以. 由此可得，当时，为定值故存在一条抛物线，使|AB|为定值4. 例8、椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 求椭圆的方程； 过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？假设存在，求出这个定点的坐标；假设不存在，请说明理由解析：I设椭圆E的方程为,由得：。2分椭圆E的方程为。3分法一：假设存在符合条件的点，又设，那么：。5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，那么由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分当直线的斜率不存在时，直线由得综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13分

26、法二：假设存在点，又设那么：=.5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设那么11分当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。13分六、 定直线问题例9、设椭圆过点，且焦点为求椭圆的方程；当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解析：(1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 1 2由于在椭圆C上，将1，2分别代入C的方程整理得 3 (4)(4)(3) 得 ，即点总在定直线上例10、椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。求椭圆C的方程；设直线与椭圆C交于P

27、、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？假设是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；假设不是，请说明理由。解法一：设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,假设，由对称性可知交点为假设点在同一条直线上，那么直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，那么。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为假设交点在同一条直线上，那么直线只能为。8分以下证

28、明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，那么。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：由得即。记，那么。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分五、 其它定值问题例11、双曲线的离心率为，右准线方程为求双曲线的方程；设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.解析：此题主要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考察推理、运算能力由题意，得，解得，所求双曲线的方

29、程为.点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，那么，的大小为.例12、己知椭圆 ab0,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，那么的方程为，原点O到直线的距离为，那么与菱形内切的圆方程为。证明：设直径P1P2的方程为 那么Q1Q2的方程为 解得 同理OQ22=，作OHP2Q2 那么 又四边形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圆.例13、P是双曲线上

30、的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点异于P点，求证：直线P1P2的方向不变。探索定值：取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，那么这一条直线xPP1P2yO与曲线的另一个交点，其斜率 PP2的方程为把代入解得定值 证明：设PP1的斜率为，那么PP2的斜率为，PP1的方程为PP2的方程为，与抛物联立解得、 ，从而定值 EX：过抛物线y2=2pxP0上一定点x0,y0作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，那么AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、2021唐山三模椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为1，1，且直线MA、MB的斜率之