课本例题的衍变论文如何抓住教材例习题之间的联系论文一道课本例题的演变 拓展及应用

1、一道课本例题的演变拓展及应用课本例题和习题具有不容置疑的示范性和权威性，而其极强的衍变能力成为高考试题推陈出新的源泉，因而，深受高考命题专家的青睐.在它们身上做文章不仅能使学生巩固所学的新知识，学会运用新知识解决实际问题，而且还有助于学生掌握和运用数学思想、方法，发展学生的数学思维，最终达到提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的目的。那么，作为教师该如何抓住教材例、习题之间的联系，引导学生对这些例、习题进行演变、拓展和应用呢？ 问题提出：普通高中新课程标准实验教科书（人教版）A版选修2-1P41例题3 设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM交于点M，且它们的斜率之

2、积是-，求点M的轨迹方程。 分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM、BM的斜率就可以用含x，y的式子来表示，再由kAMkBM=-得出点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（-5，0）， 所以，直线AM斜率为kAM=-（x-5） 同理，直线BM斜率为kBM=（x5） 由已知得=-（x±5） 化简，得点M的轨迹方程为+=1（x±5）.（椭圆） 类似地，出现在教材及高考题中的有： 1.普通高中新课程标准实验教科书（人教版）A版选修2-1P55探究。 设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M

3、的轨迹方程。 仿照例3的思路，有=（x±5） 化简，得点M的轨迹方程为-=1（x±5）.（双曲线） 2.普通高中新课程标准实验教科书（人教版）A版选修2-1P80复习参考题10： 已知VABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），且AC、BC所在直线的斜率之积等于m（m0）试探求顶点C的轨迹. 仿照例3的思路，有=m（x±5） 化简，得点C的轨迹方程为-=1（x±5） 当-1m0时为焦点在x轴上的椭圆， 当m=-1时是圆心在原点，半径为5的圆， 当m-1时为焦点在y轴上的椭圆， 当m0时为焦点在x轴上的双曲线. 3.（2010北京理19）

4、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-，求动点P的轨迹方程。 解：因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以B点得坐标为（1，-1）。 设点P的坐标为（x，y） 由题意得=- 化简得x2+3y2=4（x±1）. 故动点的轨迹方程为x2+3y2=4（x±1）. 为了充分挖掘例题的教育功能，我们诱导学生将问题提出的条件与结论互换后继续探讨。 演变1：设点A、B是曲线-（x±5）在轴上两端点，P是曲线上异于A、B的任意一点，求kPAkPB的值。 解：由题意知，A（-5，0）、B（5，0），设点P的坐标

5、为（x，y），（x±5） 则kAM=，kPM=所以，kAMkBM= 又P是曲线上的点，所以y2=mx2-25m，代入上式得：kAMkBM=m. 说明：此时的曲线包含焦点在x、y轴上的椭圆（m0）及焦点在x轴上的双曲线（m>0）及圆（m=-1）. 更一般地，可将A、B视为过椭圆中心的直线与椭圆的交点，P为椭圆上异于A、B任意一点，此时，kAMkBM的值是否变化呢？ 演变2：设椭圆+=1（m>0，n>0）（不论焦点是在x轴上，还是焦点在y轴上）上任意一点P，与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与对称轴不平行，求kAMkBM的值。 解：设P（x，y），A（x1，y

6、1）则B（-x1，-y1）+=1，+=1两式相减得： =，=- kAMkBM=-为定值。 说明：此性质是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角，即kAMkBM=-1”在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性。 进一步思考：若将椭圆改为双曲线，命题是否成立？ 演变3：设双曲线+=1（m>0，n<0）上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与对称轴不平行，求的kPAkPB的值。 解：设则P（x，y），A（x1，y1），则B（-x1，-y1）， +=1，+=1两式相减得： +，=- kAMkBM为定值。 归纳：对于方程+=1（m>0，n<0或mn<0

7、）上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A，B连线PA、PB与坐标轴不平行，则kAMkBM=-（定值） 当m=n>0时，方程为圆，此时kAMkBM=-1； 当m>0，n>0且mn时，方程为椭圆，此时kAMkBM=-； 当mn<0时，方程为双曲线，此时kAMkBM=-. 说明：仍可进一步思考，当曲线的中心不在原点时，结论是否发生变化？ 演变的应用1：（09福建文22）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：+=1（a>b>0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线l：x=与直线分别交于M、N两点。 （I）求椭圆C的方程； （

8、）求线段MN的长度的最小值； 解：（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），a=2，b=1 故椭圆的方程为+y2=1 （）设M（，y1），N（，y2） 则由演变2知：kAMkBM=- 即=- y1y2=- |MN|=|y1-y2|=y1+（-y2）2 当且仅当y1-y2-时取等号 故线段MN的长度的最小值为。 （此解法比标准解答简捷得多） 演变的应用2：（06东北模拟）B1，B2是椭圆+=1（a>b>0）的短轴的两端点，P是椭圆上与B1，B2不重合的点，B1P，B2P分别交x轴于M，N两点， 求证：|OM|ON|为定值。 证明：（如图）B1（0，b）B2

9、（0，-b） 设M（xM，0），M（xN，0） 则由演变2知：即 kPB1kPB2=-，即kMB1kNB2=- =- xMxN=a2 |OM|ON|=a2 将演变中的条件kPAkPB=-进一步延伸，可得： 拓展1：若M是椭圆+=1（m>0，n>0）（不论焦点是在x轴上，还是焦点在y轴上）的弦AB之中点，则直线OM与直线AB的斜率之积为定值。 证明：（如图）连接AO并延长交椭圆于点P，连结OM，BP，则OMBP kOM=kBP 由性质知kABkPB=- kOMkAB=-为定值 说明：此性质是圆中的垂径定理“圆心与弦中点连线垂直于弦”在椭圆中的推广。 若将椭圆改为双曲线，命题是否成立？

10、 拓展2：若M是双曲线+=1（mn<0）的弦AB之中点， 则kOMkAB=kPBkAB=- 若将椭圆改为抛物线，命题会发生什么变化？（学生思考、解释） 拓展3：若M是抛物线y2=2px（p>0）的弦AB之中点，求直线OM与直线AB的斜率之积。 解：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）则y12=2px1，y22=2px2，两式相减得： y12-y22=2p（x1-x2），=2p kOMkAB= 拓展应用1：（2010全国卷2理21）己知斜率为1的直线l与双曲线C：+=1（a>0，b>0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）求C的离心率。 解：由拓

11、展2知 k1kOM=即1= e=2 拓展应用2：（06上海文21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，）. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； 解：（1）（解法略）椭圆的标准方程为+y2=1 （2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0）， 由x=y= 得x0=2x-1y0=2y- 由，点P在椭圆上，得+（2y-）2=1， 线段PA中点M的轨迹方程是 （x-）2+4（y-）2=1. 若用拓展1，本题（2）可这样解： 设线段AB，CD的中点分别为M，M， 由拓展1知k1kOM=-k1kOM=- kOM=kOM故M与M重合 又|AM|=|BM|及|CM|=|DM|AC|=|BD| 由此可见，一般方法虽然具有一定的代表性，但运算比较复杂，稍不小心，便前功尽弃。而运用拓展的知识，运算简捷明了，一步到位。 总之，在中学数学教学中，例题教学占有相当重要的地位，研究