第5章扭转应力、强度和刚体条件(4,5)

1、变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式deformationgeometricrelation Distribution regularity of deformationDistribution regularity of stressEstablish the formulaExamine the deformationthen propose the hypothesis physicalrelationstaticrelation5-4 5-4 等直圆杆扭转时的

2、应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件推导应力公式的思路：推导应力公式的思路：一、圆杆扭转时横截面上的应力一、圆杆扭转时横截面上的应力从三个方面从三个方面 1. 1. 变形几何方面变形几何方面来推导应力：来推导应力：2.2.物理方面物理方面 3. 3.静力学方面静力学方面1.1.变形几何方面变形几何方面 观察到下列现象观察到下列现象: :(1)(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化(2)(2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线, , 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度(3(3）表面方格变为菱形。）表面方格变为菱形。平面假设：平面

3、假设： 变形前为变形前为平面平面的横截面变形后仍为的横截面变形后仍为平面平面，它像刚性，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。平面一样绕轴线旋转了一个角度。CL5TU5ddrx 外表面 ddx xddxrdd横截面上距形心为横截面上距形心为 的任的任一点处应变一点处应变 剪应力方向垂直于半径。剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, , 当剪应力不超当剪应力不超过材料的剪切比例极限时过材料的剪切比例极限时xGGdd2. 物理方面物理方面(a)(b)bbTTO1O2d GGDDaadxAEEAO1Dd DGGO2d/2dx结论：横截面上任一点的剪应变与该结论：横截面上任一点的剪应

4、变与该点到圆心的距离成正比点到圆心的距离成正比。3.3.静力学方面静力学方面TAAdTAxGAdddGxATAddd2pIGTxddIApA2d极惯性矩dAdAoT结论：横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正结论：横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比。比。 GxddmaxmaxTIppIGTGpITpWTmaxpPIW 由由(b)(b)式：式：即圆截面的边缘处。即圆截面的边缘处。WP 称为抗扭截面系数或抗扭截面模量，称为抗扭截面系数或抗扭截面模量，单位：单位：m3、cm3、mm3。opp. 4WI 和抗扭截面模量圆与圆环的极惯性矩324pdImaxpPIW2/pdId316D圆

5、圆环4444p132 32 32DdDI43pmaxpP116 2DDIIWdD 例例5-35-3内外径分别为内外径分别为20mm20mm和和40mm40mm的空心圆截面轴，受的空心圆截面轴，受扭矩扭矩T=1kNT=1kNm m作用，计算横截面上作用，计算横截面上A A点的剪应力及横截点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。面上的最大和最小剪应力。解：解：AApTI)5 . 01 (3204. 0015. 0100044MPa66.63ApmaxWT)5 . 01 (1604. 0100043MPa88.84maxMPa44.422pminIdT 例例5-45-4一厚度为一厚度为30mm30m

6、m、内直径为、内直径为230mm 230mm 的空心圆管，的空心圆管，承受扭矩承受扭矩T=180 kNT=180 kNm m 。试求管中的最大剪应力，使用：。试求管中的最大剪应力，使用： (1)(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论；(2)(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得trT2max216/)1 (34maxDT (2) (2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得16/29. 0 )290/230(1 1018034318010201300332. 565 . MPaMPa2 .62max %9

7、/ )(maxmaxmax M1M2ABCllMe1Me2ABCll1Me2CT12Me2CMe1BT2 4kNm2kNm+_T maxtmaxmaxWT M1M2ABCllMPa5 .34)1(1643max DT max二二. .斜截面上的应力斜截面上的应力dxdyxn 0F0cossinsincosdAdAdA2sin 0F2cosmax45omin45omax0低碳钢扭转试验演示低碳钢扭转试验演示低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 低碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束低碳钢扭转破坏断口 铸铁扭转破坏试验演示铸铁扭转破坏试验演示铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏试验过程铸铁扭

8、转破坏断口 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图坏的断口分别如图a及图及图b所示，试问为什么它们所示，试问为什么它们的断口形式不同？的断口形式不同？三三. .强度条件强度条件maxmaxWTp即(3)(3)确定许可载荷确定许可载荷: :已知杆的截面尺寸、许用切应力，已知杆的截面尺寸、许用切应力，确定许用荷载。确定许用荷载。(1)(1)校核杆的强度校核杆的强度: :已知荷载已知荷载、截面尺寸、许用切应截面尺寸、许用切应力，验算构件是否满足强度条件；力，验算构件是否满足强度条件；(2)(2)设计截面设计截面: :已知荷载、许用切应力已知荷载、

9、许用切应力 , ,按强度条按强度条件，确定截面尺寸；件，确定截面尺寸；强度条件解决三问题强度条件解决三问题 例例5-6 5-6 如图所示阶梯状圆轴，如图所示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120mm，BC段直径段直径d2=100mm。扭转力偶矩为。扭转力偶矩为MA=22kN.m，MB=36kNm，Mc=14kNm。已知材料的许用剪应。已知材料的许用剪应力力 ，试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。MPa80解：解： 求得两段的扭矩，求得两段的扭矩，并绘出扭矩图。并绘出扭矩图。ABAB段之扭矩比段之扭矩比BCBC段之扭段之扭矩大，但两段轴的直径矩大，但两段轴的直径不同，需要分别校核两不同，需要分

10、别校核两段轴的强度。段轴的强度。ABAB段段)(1084.6416/12. 010226max33maxPaWTpBCBC段段)(103 .7116/1 . 010146max33maxPaWTp该轴满足强度条件的要求。该轴满足强度条件的要求。2max1max ll(a)(b)2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW()3341211616 dD 194. 18 . 0113412 dD512. 0)8 . 01(194. 1)1(4)(4222122221222212 dDddDAA 例5-8 功率为150kW，转速为15.4转

11、/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT例 5-9 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，试试根据强度条根据强度条件设计实心圆轴与件设计实心圆轴与 = = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。的空心圆轴，并进行比较。解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16

12、363 max 163pmaxdTWT 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1(161643odT mm 3 .76)1 (1634o Tdmm7 .68oi dd mm 68 mm 76 io dd，取取：3. 重量比较重量比较%5 .394)(422i2o ddd 空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻 43op116 dW解：1. 扭矩分析扭矩分析例 5-9 R050 mm的的薄壁圆管，左、右薄壁圆管，左、右段的壁厚段的壁厚分别分别为为 1 1 5 5 mm， 2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，试校核圆管强度。试校核圆管强

13、度。2. 强度校核强度校核危险截面：危险截面：1202 RTAA 2202 RTBB 截面截面 A与与 BMPa 6 .442120 RmlMPa 9 .2722220 Rml练习：一空心圆轴，内外径之比为练习：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一，面积

14、增大一倍后内外径分别变为倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得思考：思考：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？倍？163maxdTWTnT lG IT lGdp432816思考：思考：图示铸铁圆轴受扭时，在图示铸铁圆轴受扭时，在 面上发生断裂，其面上发生断裂，其破坏是由破坏是由 应力引起

15、的。在图上画出破坏的截面。应力引起的。在图上画出破坏的截面。45 螺旋螺旋最大拉最大拉5-5 5-5 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形刚度条件刚度条件一一. .扭转变形扭转变形dddxTGIpddTGIxplpxGITdpIGlTT则则若若，constant公式适用条件：公式适用条件：1 1）当）当p p（剪切比例极限）公式才成立（剪切比例极限）公式才成立2 2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）TGIxpld讨论：讨论：1、2、多外力偶的圆轴：、多外力偶的圆轴：ipiiGIlT注意：算扭转变形时，变形公式中的扭矩要考虑正负号注意：算扭转变形时，变形公式中的扭

16、矩要考虑正负号。二二. .圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的刚度条件刚度条件：maxmaxpIGTxdd180maxmaxpGITrad m/m。称为许可单位长度扭角称为许可单位长度扭角 单位长度的扭角称为扭角率，用单位长度的扭角称为扭角率，用 表示。表示。对于精密机械对于精密机械)/(3 . 015. 0mo一般机械一般机械)/(2moACB122(1)(1)绘扭矩图绘扭矩图kN.m212ABABTMMTkN.m41 mTBCTX4-2(2)计算计算IP：5-10空心圆轴，外径空心圆轴，外径mm，内径，内径mm，AB=lmm，M4.m，M6.m,，求求C截面对截面对A、B截面的相对扭转角。截面

17、的相对扭转角。4644Pm108 . 532)1 (DI解解: :(3)(3)算相对扭角算相对扭角02693124. 0)(10216. 0108 . 5108010)42(5 . 0)(radTTGIlGIlTGIlTBCABPPBCBCPABABCBBACA02693247.0)(10431.0108 .510801045 .0radGIlTPBCBCCB“+”“+”号表示面向号表示面向C C截面观察时，该截面相对于截面观察时，该截面相对于A A（或（或B B）截面逆时针转动。截面逆时针转动。 例例5-115-11水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，ABAB段为圆轴，直径为段为圆轴，直径为

18、 d d，在端点在端点C C受铅垂力受铅垂力P P作用，材料的剪切弹性模量为作用，材料的剪切弹性模量为G G，不，不计计BCBC段变形。求段变形。求C C点的铅垂位移。点的铅垂位移。解：解：aABCvppCvIGlPaaIGPal2PABGIPalABAB杆的转角杆的转角C C点位移点位移CvdxxmlmT0解：计算扭矩、绘扭矩图解：计算扭矩、绘扭矩图：mxmlTT 例例5-125-12圆截面杆圆截面杆ABAB左端固左端固定，承受均布力偶定，承受均布力偶作用，其力偶矩作用，其力偶矩 集度（单集度（单位长度上的力偶矩位长度上的力偶矩）为为m=20N.m/m，已知直径，已知直径D=20mm，l=2

19、m，材料，材料G=80MPa G=80MPa =300MPa=300MPa。单位。单位长度的许用扭角长度的许用扭角 =2=20 0/m/m，试进行强度和刚度校核，并试进行强度和刚度校核，并计算计算A A、B B两截面的相对扭角。两截面的相对扭角。mml2）校核强度：）校核强度：3）校核刚度：）校核刚度：mNTTx400maxMPaWTP5.252.016403maxmaxmGITP/82.118002.03210804018049maxmax 3 3）计算）计算 B-AB-A： 取微段取微段dxdx研究研究dxxmlmTdxGIxTdP)(lPlpABxlGImdxGImxml020)(2ra

20、dGImlPAB221018. 32“+”号表示面向号表示面向B截面观察时，该截面相对于截面观察时，该截面相对于A截面逆截面逆时针转动。时针转动。 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比之比 = 0.5 。已知材料的许用切应力。已知材料的许用切应力 = 40 MPa，切变模量切变模量G= 80 GPa。轴的最大扭矩。轴的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，许可单位长度扭转角，许可单位长度扭转角 =0.3 ()/m。试选。试选择轴的直径。择轴的直径。例例 5-131. 按强度条件求所需外直径按强度条件求所需外直径D 有有由由因因 ,1615161

21、16pmaxmax343p WTDDW109mmm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33 TD例例 5-13解：解：2. 按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D 有有由由因因180 ,161532132pmax444p GITDDI125.5mmm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44 GTD例例 5-13mm75.62 d3. 空心圆截面轴所需外直径为空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚由刚度条件控制度条件控制)，内直径则根据，内直径则根据 = d

22、/D = 0.5知知例例 5-13例例5-14：图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB与与MC 作用，试计作用，试计算该轴的总扭转角算该轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的，并校核轴的刚度。刚度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMllrad1050. 1)m1010Pa)(3.0

23、10(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则： 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。轴的扭转刚度。AB段的扭转角变

24、化率为：段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx 例例5-15：某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率N1 = 500 马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200马力及马力及 N3 = 300马力，已马力，已知：知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：，试确定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？

25、 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB解：解：图示状态下图示状态下, ,扭矩如图扭矩如图，由强度条件得：，由强度条件得：m)(kN024. 7nNm16 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632Td mm80107014. 3702416163631Td Tx7.024 4.21(kNm) mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 3180702432 3249241 GTd mm75 ,mm8521 dd综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mm851 dd 32 4 GTdIp由刚度条件得：由刚度条件得： 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应该该换换位。位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才为轴的最大直径才为7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814练