第三章傅里叶变换8-11

1、1第三章傅里叶变换3.1 引言引言3.11抽样定理抽样定理3.10抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换3.9 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换3.8 卷积定理卷积定理3.7 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换3.4 傅里叶变换傅里叶变换3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数3.2 周期信号的傅立叶级数分析周期信号的傅立叶级数分析总结总结作业作业23.8 卷积定理卷积定理 若若 则则)()(11FtfFT)()(22FtfFT)()(

2、)(*)(2121FFtftfFT时域卷积定理时域卷积定理3例：求三角脉冲的频谱例：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积)(tG)(tG)(*)(tGtG卷卷)(G)(G乘乘42)(2SaEF4卷积卷积乘积乘积FTFT5频域卷积定理频域卷积定理 若若 则则)()(11FtfFT)()(22FtfFT)(*)(21)()(2121FFtftfFT6例：求余弦脉冲的频谱例：求余弦脉冲的频谱tcos122)(tGE22E)(tf22相相乘乘FTFT)(G22)(F卷卷积积costFT)(7cos)(0ttfFT)()(2100FF)(tfFTcos

3、0tFT 卷积卷积0000121210083.9 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换1 1 正弦、余弦信号的傅里叶变换正弦、余弦信号的傅里叶变换周期信号周期信号傅里叶级数傅里叶级数非周期信号非周期信号1T？傅里叶变换傅里叶变换1T)()(cos000tF)()(sin000 jtF9)(21cos000tjtjeet)()(21cos000tFT)(21sin000tjtjeejt)()(21sin000jtFT)(2 1 FT)(200tjeFT)()(21cos)(000FFttfFT)()(21sin)(000FFjttfFT102 一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换

4、 令周期信号令周期信号f(t)的周期为的周期为T1,角频率为角频率为 。它的傅里叶级数为。它的傅里叶级数为1112( 2)fTtjnnneFtf1)(（*）2/2/1111)(1TTtjnndtetfTF其中其中：对式（对式（* *）两边取傅里叶变换）两边取傅里叶变换)()(1ntnjneFtfjFF FF F11 周期信号周期信号f(t)的傅里叶变换是由一系列冲激函的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频数所组成，这些冲激位于信号的谐频处处 ，每个冲激的强度等，每个冲激的强度等于于f(t)的傅里叶级数相应系数的傅里叶级数相应系数Fn的的 倍。倍。11(0,2,)2)()(

5、1ntnjneFtfjF FFF F1ntjnneF)(21nFnn即即：)(2)(1nFjFnn)(200tjeF12周期信号傅里叶系数与单脉冲傅里叶变换的关系周期信号傅里叶系数与单脉冲傅里叶变换的关系周期性脉冲序列周期性脉冲序列 的傅立叶级数的傅立叶级数 系数：系数：nF)(tf)(0F 从周期序列中截取一个周期，得到所谓单脉冲从周期序列中截取一个周期，得到所谓单脉冲信号，它的傅立叶变换信号，它的傅立叶变换 为：为： 2/2/1111)(1TTtjnndtetfTF2121)()(0TTdtetfFtj1)(101nnFTF因而：因而：13。之之间间的的关关系系傅傅里里叶叶复复系系数数与与

6、相相应应的的周周期期信信号号的的非非周周期期信信号号的的频频谱谱密密度度nFF)( 上述关系提供了一种求周期信号傅里叶级数上述关系提供了一种求周期信号傅里叶级数系数的方法。系数的方法。 101)(1nnFTF14例：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。例：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。nTnTtt)()(1ntjnntjnnTeTeFt1111)(111/2/21111( )Tjn tnTFt edtTT111( )2()()nnnFjFnn 01T12T1T12Tt)(tT) 1 (01nF1211211T0112112)(jF)(1111( ) 2()()nnnFjF

7、nn 15解：已知矩形脉冲解：已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F0(j)为：为：)2(Sa)(0 EjF)2(Sa)(111011nTEjFTFnn例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。 已知周期矩形脉冲信号已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度为的幅度为E，脉宽为，脉宽为，周期为周期为T1, 角频率为角频率为1=2/T1。t)(tf2/2/1T1TE16nnnnnEnFjF)()2(Sa)(2)(1111nF1TE1122411224)(1E)(jF设设：411T)2( Sa)(111011nTEjFTFnnnFtjnnnt

8、jnnenSaTEeFtf11112)(173.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换 所谓所谓“抽样抽样”就是利用取样脉冲序列就是利用取样脉冲序列p(t)从连续信从连续信号号f(t)中中“抽样抽样”一系列的离散样值，这种离散信一系列的离散样值，这种离散信号通常称为号通常称为“抽样信号抽样信号”。1 信号的抽样信号的抽样18fs(t)取样取样连续信号连续信号f(t)量化、编码量化、编码数字信号数字信号抽样脉冲抽样脉冲p(t)抽样过程方框图抽样过程方框图抽样信号抽样信号)()()(tptftfst)(tpsT192 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换令连续信号令连续信号f(t)的傅

9、里叶变换为的傅里叶变换为()F j()P j抽样脉冲抽样脉冲p(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为()sFj抽样后信号抽样后信号fs(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为)22(sssTf)()()(tptftfsnsnnPjP)(2)(其中其中：221( )sssTjntTnsPp t edtT1()()()2sFjF jP j1() 2()2nsnF jPn nsnsnjFPjF)()(所以所以，t)(tpsTE20（1）矩形脉）矩形脉冲抽样冲抽样抽样脉冲抽样脉冲p(t)是矩形脉冲，令脉冲幅度为是矩形脉冲，令脉冲幅度为E，脉宽为，脉宽为，抽样角频率为，抽样角频率为s，这种抽样也称为，这种抽样也称

10、为“自然抽样自然抽样”。221( )sssTjntTnsPp t edtT221Sa()2sjntsssEedtTnET )()2(Sa)(snsssnjFnTEjF() ()snsnF jP F jnt)(tpsTE21tf(t)F(j)m-m,1相相乘乘tfs(t)Ts卷卷积积Fs(j)s-ssTE /2P(j)s-s(Es)Ep(t)tTs/2设：21sT22（2）冲激抽样）冲激抽样若抽样脉冲若抽样脉冲p(t)是冲激序列，此是冲激序列，此时称为时称为“冲激抽样冲激抽样”或或“理想抽样理想抽样”。1() ()ssnsF jF jnT 由于冲激序列的傅里叶系数由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常

11、数，所以为常数，所以Fs(j)是以是以s为周期等幅地重复。为周期等幅地重复。nsTnTtttp)()()(sTTtjnsnTdtetTPsss1)(122nsnsnjFPjF)()(tp(t)Ts(1)23tf(t)F(j)m-m1tp(t)Ts(1)P(j)(s)s-stfs(t)Ts相相乘乘Fs(j)m-m1/Tss-s卷卷积积243.11 抽样定理抽样定理 用抽样脉冲对连续信号进行抽样，抽样周期取用抽样脉冲对连续信号进行抽样，抽样周期取多大合适呢？并且如何从抽样信号中恢复原连续信多大合适呢？并且如何从抽样信号中恢复原连续信号？号？ 从上图可知：只有满足从上图可知：只有满足 才不会产才不会

12、产生频谱混叠，即生频谱混叠，即 保留了原连续时间信号的全部保留了原连续时间信号的全部信息。这时只要将信息。这时只要将 通过通过“ 理想低通滤波器理想低通滤波器”，就可恢复原信号就可恢复原信号f(t) 。)(,2jFsms)(tfs)(tfsF(j)m-m1sFs(j)m-m1/Tss-sms25cc1)(jH)(0)(1)(ccjH其中：其中：mscm 常把最低允许的抽样率常把最低允许的抽样率称为称为奈奎斯特抽样率奈奎斯特抽样率，把最大允许的抽样间隔把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔。即称为奈奎斯特间隔。即ms2min或：或：msff2min2211minmaxmmssTffT理想低通滤波器

13、的频率特性为：理想低通滤波器的频率特性为：Fs(j)m-m1/Tss-smsm-m1/Ts26正弦信号采样的示例图： 27时域抽样定理时域抽样定理： 一个频谱受限的信号一个频谱受限的信号 f(t)，如果频谱只占，如果频谱只占据据-mm的范围，则信号的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔必须不大抽样值来唯一地表示。而抽样间隔必须不大于于1/(2fm) (其中其中m=2fm），或者说，最低抽），或者说，最低抽样频率为样频率为2fm。28)f(T ms( t ) sT0频谱图频谱图tfttm ( t ) M ( f ) fm- fmMs( f ) 0fsf

14、sf )t (T msf2f 讨论：讨论：msff2msff2时域图图形说明时域图图形说明29解解:（ 1）)2(Sa)(ttf)2()2(2)(uujF1)(tf22t)(jF22/2奈奎斯特取样率为：奈奎斯特取样率为：s/rad4222minms例例：已知信号已知信号 用用 对其进行取样，对其进行取样，（1）确定奈奎斯特取样率；）确定奈奎斯特取样率； （2）若取）若取 求取样信号求取样信号 并画出波形图；并画出波形图；（3）求）求 并画出频谱图；并画出频谱图；（4）确定低通滤波器的截止频率）确定低通滤波器的截止频率),2(Sa)(ttfnsTnTtt)()(,6ms),()()(ttftf

15、Ts),()(tfjFsscF F30（2）若取若取 求取样信号求取样信号 并画出波形并画出波形图；图；s/rad126mss61222ssT) 1 ()(tfs22t6nsnsnTtnssTsnTtnnTttnTtnTfttftfs)()3(Sa)()2(Sa)()()()()(,6ms),()()(ttftfTs1)(tf22t31（3）求求 并画出频谱图；并画出频谱图； )12(6 )(1)(nnsssnjFnjFTjF)122()122(3nunun)(jFs12321014122),()(tfjFss32mscmcc1)(jH即即102c低通滤波器的截止频率低通滤波器的截止频率 应满

16、足下式：应满足下式：c（4）) 1 ()(tfs22t6)(jFs12321014122确定低通滤波器的截止频率确定低通滤波器的截止频率c33例：设例：设 为带限信号，带宽为带限信号，带宽 ，如图所示，如图所示，试分别求试分别求 的带宽和奈奎斯特取样率的带宽和奈奎斯特取样率 。)/(822sradms),2(21)()2() 1 (1FFtf解解：)/(3222),/(162sradsradmsm频频带带宽宽度度为为8mf t ( )ftft(),( )22smm)(F1m2)(1F21m20其频谱如图所示其频谱如图所示),2(2)()2()2(2FFtf),/(42sradm频频带带宽宽度度

17、为为2m)(F22m34续上例：若用取样序列续上例：若用取样序列mm)(F1162,88sssmTT解解：并画出其频谱图。并画出其频谱图。f t ( )(tfs)(sFTnttn( ) 8对信号对信号进行取样，得取样信号进行取样，得取样信号 ，试求，试求 的频谱的频谱 ， )(tfs8mm)(sFss2ss2频谱见右图图。频谱见右图图。)16(8)(1)(nnsssnFnFTF35例：求下列信号的奈奎斯特取样率。例：求下列信号的奈奎斯特取样率。)100()1(tSa)100()2(2tSa)50()100()3(10tSatSasradsradmsm/2002/1001002，故故，其其中中

18、(2) 时域中两个信号相乘，所得信号的带宽时域中两个信号相乘，所得信号的带宽为原来两个信号的带宽之和，所以为原来两个信号的带宽之和，所以sradsradmsm/4002/200222，)(22)(2gtSatgSa解：解：(1)36)50()100()3(10tSatSa解：解： 时域中两个信号相加，所得信号的带宽应为原来时域中两个信号相加，所得信号的带宽应为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽，即两个信号中带宽大的那个信号的带宽，即sradm/500)1050100max(3，另外，时域卷积对应于频域相乘，带宽应取另外，时域卷积对应于频域相乘，带宽应取小的。小的。sradms/100023337本章要求本章要求 1.了解正交函数、正交函数集、归一化正交函了解正交函数、正交函数集、归一化正交函数集、完备的正交函数集的概念；了解函数的正数集、完备的正交函数集的概念；了解函数的正交分解。交分解。2. 掌握周期信号的傅里叶级数的三角函数形式和掌握周期信号的傅里叶级数的三角函数形式和指数形式；理解周期信号频谱的概念及特点，掌指数形式；理解周期信号频谱的概念及特点，掌握函数对称性与傅立叶级数系数的关系。握函数对称性与傅立叶级数系数的关系。3. 了解典型周期信号频谱的特点，理解矩形信号