晶体学基础(第二章)

1、第二章第二章 晶体的投影晶体的投影2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律面角守恒定律（面角守恒定律（law of constancy of law of constancy of angleangle），斯丹诺于，斯丹诺于16691669年提出，亦称年提出，亦称斯丹斯丹诺定律（诺定律（law of Stenolaw of Steno）。同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。这同种晶体之

2、间，对应晶面间的夹角恒等。这里夹角一般指的是里夹角一般指的是面角（面角（interfacial interfacial angleangle），即晶面法线之间的夹角。，即晶面法线之间的夹角。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m m1 1面面与另一晶体的相应面与另一晶体的相应面m m1 1 平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，则这两个晶体其它的相应晶面应晶面m m2 2与与m m2 2 ，m mn n与与m mn n 也互相平行，即同一种也互相平行，即同一种物质的相应晶面间夹角不变。物质的相应晶

3、面间夹角不变。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的成所谓的“歪晶歪晶”。面角守恒定理起源于晶体的格子构造。面角守恒定理起源于晶体的格子构造。因为同种因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面种面网构成晶体外形上的同种晶面。晶体生长过。晶体生长过程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小

4、形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。如何，对应晶面间的夹角恒定不变。面角守恒定律的确立，使人们面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。探索决定这些规律的根本原因。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律晶体测量晶体测量(goniometry)(goniometry)又称为又称为测角法测角法。根据测角

5、。根据测角的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体常数，确定晶面符号常数，确定晶面符号( (见第四章见第四章) )，同时，还可以，同时，还可以观察和研究晶面的细节观察和研究晶面的细节( (微形貌微形貌) )。晶体测量是研。晶体测量是研究晶体形态的一种最重要的基本方法。究晶体形态的一种最重要的基本方法。为了便于投影和运算，一为了便于投影和运算，一般所测的角度不是晶面的般所测的角度不是晶面的夹角夹角，而是晶面的法线，而是晶面的法线(normals(normals to p

6、lane) to plane)夹角夹角( (晶面夹角的补角晶面夹角的补角) )，称为，称为面角面角(interfacial angle)(interfacial angle)。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律晶体测量使用的仪器有晶体测量使用的仪器有接触测角仪接触测角仪(contact (contact goniometergoniometer) )和和反射测角仪反射测角仪(reflect goniometer(reflect goniometer) )两类。两类。使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒

7、定律单圈反射测角仪单圈反射测角仪，精度可达，精度可达l l -0.5-0.5 。但缺点是晶体安置。但缺点是晶体安置好之后只能测得一个晶带好之后只能测得一个晶带( (指指晶棱相互平行的一组晶面晶棱相互平行的一组晶面) )上上的面角数据。若欲测另一晶的面角数据。若欲测另一晶带上的面角时，必须另行安带上的面角时，必须另行安置一次晶体。测量手续复杂。置一次晶体。测量手续复杂。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律双圈反射测角仪双圈反射测角仪：晶体位于二旋转：晶体位于二旋转轴的交点。光管射出的光束也正好轴的交点。光管射出的光束也正好通过此二旋转轴的交点。当观测镜通过此二旋转轴的交点。当观测镜筒中出现筒

8、中出现“信号信号”时，我们便可以时，我们便可以在水平圈上得到一个读数在水平圈上得到一个读数 ( (极距角极距角) )，并在竖圈上得到一个读数并在竖圈上得到一个读数 ( (方位角方位角) )， 和和 这两个数值犹如地球上的纬度这两个数值犹如地球上的纬度和经度，是该晶面的和经度，是该晶面的球面坐标球面坐标。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律双圈反射测角仪的精度可达双圈反射测角仪的精度可达l l 。当晶体安置好之后，除。当晶体安置好之后，除被胶腊黏结的晶面外，其余全部晶面均可测量。且根据被胶腊黏结的晶面外，其余全部晶面均可测量。且根据所测得的晶面的球面坐标，可以直接进行投影。因此，所测得的晶面

9、的球面坐标，可以直接进行投影。因此，这种仪器得到了广泛的应用。这种仪器得到了广泛的应用。2.1 2.1 面角守恒定律面角守恒定律通过晶体测量，可以得到一组数据，即每一个晶通过晶体测量，可以得到一组数据，即每一个晶面的球面坐标，包括方位角面的球面坐标，包括方位角 值和极距角值和极距角 值。但值。但是仅由这组数据，还不能够直观地看出晶面空间是仅由这组数据，还不能够直观地看出晶面空间分布的规律性来。分布的规律性来。为了解决这一问题，还需要把数据变换成一定形为了解决这一问题，还需要把数据变换成一定形式的平面图形，这就是晶体的平面投影。晶体的式的平面图形，这就是晶体的平面投影。晶体的平面投影全部是在球面

10、投影的基础上进行的，因平面投影全部是在球面投影的基础上进行的，因此晶体的投影实际包括两个步骤：此晶体的投影实际包括两个步骤：第一步是晶体第一步是晶体的球面投影的球面投影，第二步是将球面投影转变为平面投第二步是将球面投影转变为平面投影影。2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影原理晶体的球面投影原理 设想将晶体安置在以单位长度为半径的参考球的球心，把设想将晶体安置在以单位长度为半径的参考球的球心，把晶体上各种平面的和直线的要素，一一投影到球面上。晶体上各种平面的和直线的要素，一一投影到球面上。2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标投影球要素

11、及名称如下：投影球要素及名称如下：(1)(1)投影中心投影中心：即球心，用：即球心，用O O表示。表示。(2)(2)赤道平面赤道平面：过投影球中心的水平面，也是极射赤：过投影球中心的水平面，也是极射赤道平面投影的投影面。赤道平面在投影球上只有一个。道平面投影的投影面。赤道平面在投影球上只有一个。(3)(3)赤道赤道：赤道平面与投影球面的交线；赤道为极射：赤道平面与投影球面的交线；赤道为极射赤道平面面投影的基圆。赤道平面面投影的基圆。(4)(4)投影轴投影轴：过球心且垂直于赤道平面的直线。上端：过球心且垂直于赤道平面的直线。上端与投影球的交点为与投影球的交点为北极北极N N，下端与投影球的交点为

12、，下端与投影球的交点为南南极极S S。(5)(5)子午面子午面：包含投影轴的直立平面。投影球上的子：包含投影轴的直立平面。投影球上的子午面有无数个，与球面的交线为午面有无数个，与球面的交线为子午线子午线。2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标晶体外形上及构造中的平面要素有晶面、晶体外形上及构造中的平面要素有晶面、对称面、面网等；直线要素有晶棱、行列、对称面、面网等；直线要素有晶棱、行列、晶轴、对称轴等。晶轴、对称轴等。直线、晶面、平面的球面投影方法是不同直线、晶面、平面的球面投影方法是不同的。的。2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标 直线的球面投影

13、直线的球面投影 设想使晶体中心与投影球的球心重合，将晶体上任设想使晶体中心与投影球的球心重合，将晶体上任意一直线平行移到投影球中心，然后向两端延伸，意一直线平行移到投影球中心，然后向两端延伸，使之与球面相交，交点为直线的球面投影点，称为使之与球面相交，交点为直线的球面投影点，称为直线在球面上投影的迹点。任意一条直线在球面上直线在球面上投影的迹点。任意一条直线在球面上都有两个迹点。都有两个迹点。可以看出，所有直线都必须平移到投影球中心，然可以看出，所有直线都必须平移到投影球中心，然后才能进行投影。因此所有方向相同的直线，在球后才能进行投影。因此所有方向相同的直线，在球面上的投影点的方位都相同。面

14、上的投影点的方位都相同。直线的球面投影点只直线的球面投影点只能反映直线的方向，而不能反映直线的具体位置能反映直线的方向，而不能反映直线的具体位置。 2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标 晶面的球面投影晶面的球面投影 投影方法投影方法 设想将晶体中心与投影球中设想将晶体中心与投影球中心重合，过中心作某晶面的心重合，过中心作某晶面的法线，并延伸使之与球面相法线，并延伸使之与球面相交，交点就是该晶面的球面交，交点就是该晶面的球面投影点，称为该晶面的极点，投影点，称为该晶面的极点，在图中，在图中，A A点为晶面的球面投点为晶面的球面投影点，即晶面的极点。影点，即晶面的极点。 2

15、.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标任意一晶面在球面上的投影均为一个点。任意一晶面在球面上的投影均为一个点。晶面的球晶面的球面投影点只能反映晶面的空间方位，与晶面的实际面投影点只能反映晶面的空间方位，与晶面的实际形态和大小无关形态和大小无关。 球面上投影点的坐标球面上投影点的坐标（极距角和方位角）（极距角和方位角） 地球上任意一点的位置都可地球上任意一点的位置都可以用经度和纬度来表示。如以用经度和纬度来表示。如果像地球上的经纬线那样，果像地球上的经纬线那样，在投影球面上画上坐标网线在投影球面上画上坐标网线的话，那么，投影点在球面的话，那么，投影点在球面上的位置，也可以用该

16、点的上的位置，也可以用该点的极距角和方位角这两个球面极距角和方位角这两个球面坐标来表示。坐标来表示。 2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标在球面坐标网中，与在球面坐标网中，与纬度相当的是极距角纬度相当的是极距角 ，与经，与经度相当的是方位角度相当的是方位角 。如图所示。如图所示。 极距角极距角( ( ) )：投影轴与晶面法线或：投影轴与晶面法线或直线直线间的夹角，也间的夹角，也就是北极就是北极N N与球面上投影点之间的弧度，故称极距角。与球面上投影点之间的弧度，故称极距角。极距角都是从北极极距角都是从北极N N点开始度量，从投影球点开始度量，从投影球N N极到极到S S

17、极，极，共分共分180180。 方位角方位角( ( ) )：是包含晶面法线或直线要素的子午面与：是包含晶面法线或直线要素的子午面与投影球零子午面之间的夹角。也就是球面上投影点所在投影球零子午面之间的夹角。也就是球面上投影点所在的子午线与零子午线之间的水平弧度，故称方位角。方的子午线与零子午线之间的水平弧度，故称方位角。方位角都是从零度子午线位角都是从零度子午线( ( =0=0 ，一般在投影球最右侧），一般在投影球最右侧）开始顺时针方向计角的，投影球一周的方位角共分为开始顺时针方向计角的，投影球一周的方位角共分为360360。 有了球面坐标网以后，只要知道投影点的球面坐标值，有了球面坐标网以后，

18、只要知道投影点的球面坐标值，即可以确定投影点在球面上的位置。即可以确定投影点在球面上的位置。 2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标两晶面之间的面角，可以直接用投影球面上两极点之间两晶面之间的面角，可以直接用投影球面上两极点之间所夹的弧度度量。由图可以看出，所夹的弧度度量。由图可以看出，P P、Q Q是两晶面球面投是两晶面球面投影点，两晶面法线的夹角（面角）就是影点，两晶面法线的夹角（面角）就是OPOP、OQOQ之间的夹之间的夹角，其大小等于角，其大小等于P P、Q Q之间的之间的大圆弧的弧度大圆弧的弧度。同样，两条。同样，两条相交直线之间的夹角，也可以用两个相应迹点间的

19、大圆相交直线之间的夹角，也可以用两个相应迹点间的大圆弧度量。弧度量。 2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标参考网格类似于地球的经线参考网格类似于地球的经线（LongitudeLongitude）和纬线）和纬线（LatitudeLatitude），），经线经线是过球两是过球两极点（极点（Two Antipodal PointsTwo Antipodal Points）的大圆，它们将赤道（的大圆，它们将赤道（EquatorEquator）等分为等分为360360份（或等间距的不同份（或等间距的不同份数）；份数）；纬线纬线是平行于赤道的是平行于赤道的一系列小圆，相邻两个小圆间

20、一系列小圆，相邻两个小圆间夹角相等（一般为一度），这夹角相等（一般为一度），这样将经线大圆为样将经线大圆为360360份。份。2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标测量时，测量时，将参考网格转动，使测量的两个极点落在将参考网格转动，使测量的两个极点落在同一条经线上，读出两极点之间的纬度，同一条经线上，读出两极点之间的纬度，就是这两就是这两极点之间的夹角。极点之间的夹角。交棱相互平行的一组晶面，其极点分布在同一大交棱相互平行的一组晶面，其极点分布在同一大圆弧上圆弧上。 经球面投影以后，晶面的大小、形态的影响被完经球面投影以后，晶面的大小、形态的影响被完全消除，面角关系则不变

21、，而且被突出显示出来。全消除，面角关系则不变，而且被突出显示出来。 2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标 平面的球面投影平面的球面投影 除晶面以外的平面（如对称面），球面投影的方法与除晶面以外的平面（如对称面），球面投影的方法与晶面不同晶面不同。 投影时设想将晶体中心与投影球中心重合，投影时设想将晶体中心与投影球中心重合，将平面扩展后与投影球相交，平面与投影球的交线就将平面扩展后与投影球相交，平面与投影球的交线就是该平面的球面投影。是该平面的球面投影。晶体上任一平面的球面投影均晶体上任一平面的球面投影均为圆为圆。通过投影中心的平面，其球面投影是一个与投。通过投影中心的平

22、面，其球面投影是一个与投影球等径同心的圆，称影球等径同心的圆，称大圆大圆；不通过投影中心的平面，；不通过投影中心的平面，其球面投影均小于大圆，称为其球面投影均小于大圆，称为小圆小圆。 2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标球面投影可以真实地表示晶体上各种要素的空间球面投影可以真实地表示晶体上各种要素的空间几何关系。由于这只是一种空间关系，在实际的几何关系。由于这只是一种空间关系，在实际的研究工作中难以应用，只有将它们投影到平面上，研究工作中难以应用，只有将它们投影到平面上，成为平面的投影图形，才有实用价值。将球面投成为平面的投影图形，才有实用价值。将球面投影转变为平面投影

23、的方法有影转变为平面投影的方法有正投影正投影、极射赤平投极射赤平投影影和和心射赤平投影心射赤平投影。2.2 2.2 晶体的球面投影及其坐标晶体的球面投影及其坐标2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网把把球面转化为一种平面关系球面转化为一种平面关系。常用。常用极射赤面投影极射赤面投影，以过参考球球心作一平面作为投影面，投影面和以过参考球球心作一平面作为投影面，投影面和参考球相交的大圆称为参考球相交的大圆称为基圆基圆（Basic CircleBasic Circle），），又称为又称为赤道平面赤道平面（Equator PlaneEquator Plane）。垂直于投）。垂直于

24、投影面并过球心的轴影面并过球心的轴NSNS为为投影轴投影轴（Projection Projection AxisAxis）。投影轴在参考球上的两个交点）。投影轴在参考球上的两个交点S S和和N N是是南南极极和和北极北极（South and North PolesSouth and North Poles），又称），又称下下目测点目测点和和上目测点上目测点。处于上半球面上的极点。处于上半球面上的极点( (迹迹点点) )和下目测点相连，处于下半球面上的极点和下目测点相连，处于下半球面上的极点（迹点）和上目测点相连，它们的连线和投影面（迹点）和上目测点相连，它们的连线和投影面的交点就是这个极点（迹

25、点）的极射赤面投影点。的交点就是这个极点（迹点）的极射赤面投影点。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网极射投影有时选取和极射投影有时选取和视点另一侧（另一视视点另一侧（另一视点）点）相切的面作为投相切的面作为投影面影面，投影时从视点，投影时从视点和球面上极点相连线和球面上极点相连线延长至投影面，所得延长至投影面，所得交点就是投影点。交点就是投影点。这样的极射投影图和这样的极射投影图和选择赤道面作投影面选择赤道面作投影面的完全一样的，只是的完全一样的，只是尺寸大小改变罢了尺寸大小改变罢了。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网晶面极射投影的一些性质晶

26、面极射投影的一些性质和赤道面平行的晶面，它的极射投影点必在基圆中心。和赤道面平行的晶面，它的极射投影点必在基圆中心。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网晶面的球面投影点在北半球，以南极为视点进行投影，晶面的球面投影点在北半球，以南极为视点进行投影，投影点用投影点用“ ”表示：晶面的球面投影点在南半球，表示：晶面的球面投影点在南半球，以北极为视点进行投影，投影点用以北极为视点进行投影，投影点用“ ”表示。表示。垂直于赤道面的晶面垂直于赤道面的晶面，它们的极点的投影必在基圆它们的极点的投影必在基圆的圆周上的圆周上。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网

27、倾斜晶面的极点倾斜晶面的极点倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内，晶面法倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内，晶面法线与投影轴的夹角越小，则投影点距基圆中心越线与投影轴的夹角越小，则投影点距基圆中心越近；反之，就越趋向于基圆圆周。近；反之，就越趋向于基圆圆周。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网晶体上平面的极射赤平投影晶体上平面的极射赤平投影投影球上的任意圆，不论是大圆或小圆，它们的投影球上的任意圆，不论是大圆或小圆，它们的极射投影一般是圆或圆弧。极射投影一般是圆或圆弧。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网倾斜大圆的投影为以基圆为弦的一条弧，也称倾斜

28、大圆的投影为以基圆为弦的一条弧，也称大圆弧大圆弧。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网直立小园的投影为一段圆弧。其位置和大小取决直立小园的投影为一段圆弧。其位置和大小取决于小园的位置和大小。于小园的位置和大小。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网水平小园投影仍为一个园，并以基园的圆心为圆心。水平小园投影仍为一个园，并以基园的圆心为圆心。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网倾斜小园的投影为一小圆。其位置决定于小园的位置。倾斜小园的投影为一小圆。其位置决定于小园的位置。和投影面垂直的大圆的极射投影是过基圆圆心的直线和投影面垂直

29、的大圆的极射投影是过基圆圆心的直线。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网将基园拿出来，依据倾斜大园和将基园拿出来，依据倾斜大园和直立小园直立小园投影的结果，投影的结果，并标示出适当的角度间隔，就是著名的并标示出适当的角度间隔，就是著名的乌尔夫网（吴乌尔夫网（吴氏网）氏网）。乌尔夫网乌尔夫网是极射投影的量度工具。是极射投影的量度工具。基园的刻度可用来度量方位角基园的刻度可用来度量方位角 ，旋转，旋转一周为一周为360360 ；直径上的刻度可以用来度量极距角直径上的刻度可以用来度量极距角 ，从圆心为从圆心为 =0=

30、0 ，到圆周为，到圆周为 =90=90 ；大圆弧上的刻度可以用来度量晶面的夹大圆弧上的刻度可以用来度量晶面的夹角。角。2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网2.3 2.3 极射赤平投影和乌尔夫网极射赤平投影和乌尔夫网2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例标准的吴氏网，其基圆直径为标准的吴氏网，其基圆直径为20cm20cm；网线的分；网线的分度为每格度为每格2 2 。但是在两极附近，经线的间隔为。但是在两极附近，经线的间隔为1010 。作图时的精度一般要求达到。作图时的精度一般要求达到0.50.5 ；没有落；没有落在网线上的点，其网线间的分度可以用插入法估在网

31、线上的点，其网线间的分度可以用插入法估计确定。计确定。在应用吴氏网进行投影时，需要透明纸、大头针、在应用吴氏网进行投影时，需要透明纸、大头针、铅笔等作图工具。铅笔等作图工具。投影方法步骤投影方法步骤如下：如下：(1)(1)将透明纸覆于网面上，用大头针在网心将两者将透明纸覆于网面上，用大头针在网心将两者固定在一起，使透明纸能够相对于吴氏网旋转。固定在一起，使透明纸能够相对于吴氏网旋转。 (2)(2)用铅笔在透明纸上描出基圆，并用用铅笔在透明纸上描出基圆，并用“”表出表出网心。网心。(3)(3)在基圆上选一点在基圆上选一点( (一般在直径右侧端点一般在直径右侧端点) )作为作为 =0=0的标志。的

32、标志。进行晶体的投影图解和计算时，都是用转动透明进行晶体的投影图解和计算时，都是用转动透明纸完成的。纸完成的。转动时注意保持吴氏网不动转动时注意保持吴氏网不动，并使吴氏网的基圆，并使吴氏网的基圆与透明纸的基圆始终重合。与透明纸的基圆始终重合。作图时不能使用圆规和直尺，要徒手进行。作图时不能使用圆规和直尺，要徒手进行。2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例例例1. 1. 已知一晶面已知一晶面M M的球面坐标，极距角的球面坐标，极距角 3030和和方位角方位角 4040，作出该晶面，作出该晶面M M的极射赤平投影。的极射赤平投影。例

33、例2.2.两两极点（或迹点）之间角度测量极点（或迹点）之间角度测量2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例例例3.3.极点所对应的面痕极点所对应的面痕2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例例例4.4.极点绕投影面法线转动极点绕投影面法线转动2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例因为绕位于投影面上的轴转动的轨迹的面是与投影面垂直的，因为绕位于投影面上的轴转动的轨迹的面是与投影面垂直的，所以先把转动轴转到与吴氏网的所以先把转动轴转到与吴氏网的NS轴重合，然后从极点沿纬线轴重合，然后从极点沿纬线转动所需转的角度即可。转动所需转的角度即可。例例5.5.极点绕位于

34、投影面上的轴转动极点绕位于投影面上的轴转动因为绕位于投影面上的轴转动的轨迹的面是与投影面垂直的，因为绕位于投影面上的轴转动的轨迹的面是与投影面垂直的，所以所以先把转动轴转到与吴氏网的先把转动轴转到与吴氏网的NSNS轴重合轴重合，然后，然后从极点沿纬从极点沿纬线转动所需转的角度即可线转动所需转的角度即可。2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例例例6.6.极点绕倾斜轴转动极点绕倾斜轴转动要求下图中的要求下图中的A A1 1极点绕极点绕B B1 1轴以顺时针方向转动轴以顺时针方向转动40402.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例2.4 2.4 乌尔夫网的应用举例乌尔夫网的应用举例练习题练习题1.1. 求已知点的球面坐标值。求已知点的球面坐标值。2.2. 求已知点的直径反向点（即已知一条