振动分析基础 第二章 (2.01-2.10)

1、 振动力学中，一个非常重要的课题就是研究系统对于外部激励的响应。外部激励可以表现为初始位移、初始速度或二者兼有。当只存在初始激励时，系统将自由的进行振动。这样的运动被称为是“”。 此外，激励还存在着另外一种形式，即，而由此而产生的振动被称为“”。 这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。 谐波激励具有着广泛的实际意义，并且是研究其它类型激 励的基础。所以对谐波激励将进行比较详尽的讨论； 系统对于外部激励的响应，其求解方法在。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍： 周期性激励可应用标准的傅立叶级数将其看作是。从而可利用谐波激励的结果进行分析； 对于非周期的任意激励，将介绍和。最 后，可由和来得到

2、系统响应。 仍然考虑下所示的二阶线性阻尼系统：mkc( )x t( )F tm( )x t( )F t( )sF t( )dFt 已经知道，该系统运动微分方程为：( )( )( )( )Fttttmxcxkx( (2.12.1) ) 对 的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研究 时的情况，即运动微分方程( (2.12.1) )的特解情况。( )0tF( )0tF 式中， 称为“”，而 和 将具有位移的单位。( )f tA 首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。为此，可令外力 具有如下的形式：( ) tF 首先，将方程( (2.22.2) )表示的谐波激励代入系统的运动微分方程

3、( (2.12.1) )中，并用质量 除方程两端，则运动微分方程变为：mcos( )( )tf tkAtkF( (2.22.2) ) 可以看到，这里方程( (2.22.2) )中，人为引进了函数 的。后面将看到，通过这样的表达方式，我们可以导出响应与激励的“”。而“”的概念往往能把对特殊情况的分析结果推广到其它不同的情形，从而推广分析结果的应用范围。( )f t“”“” 显然，上式为非齐次线性微分方程。其解将包括两个部分： “”“”“”。 因为这时的激励力为谐波形式，所以，需要求解的稳态响应也必然是谐波形式。并且，应该具有相同的频率 。22cos2( )( )( )nnntx tx tAtx(

4、 (2.32.3) ) 再者， 运动方程( (2.32.3) )的左端包含有未知响应 的奇次和( )x t12sincos( )x tCtCt( (2.42.4) ) 其中， 、 为待定常数。将方程( (2.42.4) )代入运动微分方程( (2.32.3) )，即可写出：1C2C22212122sincoscossincosnnnCtCtCtCtAt 整理上式，并通过令方程两端的 项和 项前面的系数相等，可得到两个代数方程：sin tcos t偶次的时间导数。所以，可假设解 具有如下形式：( )x t222221212202nnnnnCCACC( (2.52.5) )( (2.62.6) )

5、222222222222222222212222211221nnnnnnnnnnnnnnAACAAC 22222121( )sincosnnnnAx ttt ( (2.72.7) ) 将系数 和 代入前面假设的响应解( (2.42.4) )中，即可得到单自由度阻尼系统承受谐波激励的稳态响应：1C2C 联立求解代数方程组( (2.52.5) )，得到系数 、 为：1C2C 这时，引入如下表达：2222222221121sincosnnnnnn 可将稳态响应( (解) )( (2.72.7) )写成如下的简洁形式：cos( )x tXt( (2.82.8) ) 其中：22222121( )sinc

6、osnnnnAx ttt ( (2.72.7) ) 分别为稳态响应的“”和“”。( (2.92.9) )( (2.102.10) )222212121tannnnnAX 本节，我们引入复矢量的概念，将上节中谐波激励的表达形式进行推广。即用复矢量来表示谐波形式的外部激励。 为此，首先简单回顾“”：cossini ttite 指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，但在复数域中却可以将它们相互转化，能够被一个非常简单的关系式联系在一起，这就是上面的欧拉公式。 后面将会看到，引入复矢量的表示方法，将使得响应的推导以及对振动问题的进一步深入研究都具有重要的意义。 下面将欧拉公式在复平面上表达出来

7、，如下： i teinstcosteRmIt 复矢量 可以看作是一个在复平面内，以角速度 逆时针转动的单位复矢量。那么显然，该单位复矢量在实轴上的投影就是它的实部 ，而在虚轴上的投影就是它的虚部 。i tecostsin t( )( )cosRei ttkf tkAtkAeFm( )( )sinIi ttkf tkAtkAeF 其中，符号 表示取复矢量 的实部。显然，上式表达的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：Rei te 现在，重新考虑单自由度阻尼系统的运动微分方程( (2.12.1) )，并应用复矢量的形式来表示方程右端的谐波激励 ：( ) tF 所以，综合上面两式，可将

8、正弦形式和余弦形式的谐波激励统一的用复矢量表示为： 符号 表示了取复矢量 的虚部。mIi te( )( )i ttkf tkAeF( (2.112.11) ) 通过引入谐波激励的复矢量表达形式，可将单自由度阻尼系统的运动微分方程( (2.32.3) )重新写为： 根据微分方程理论，可假设系统的响应： 将响应( (2.132.13) )及其相关的时间导数代入方程( (2.122.12) )，有：2222( )( )( )nnni tx tix tx tAe 由复矢量形式的激励所求得的响应，如果真实激励为余弦形式，则取响应的实部。如果是正弦形式，则取响应的虚部。 整理上式，即可得出系统响应：222

9、( )( )( )nnni tx tx tAetx( (2.122.12) )( )i txetB( (2.132.13) )2222221( )nnnnni ti tAex tiAei( (2.142.14) ) 观察响应( (2.142.14) )，可以看出，这时的响应表达式与谐波激励的复矢量表达式 具有一定的比例关系。( )titAFk e 我们称该比例系数 为“”。显然，。( )H2121( )nnHi( (2.152.15) ) 将比例系数记为： 这样，可将系统的响应( (2.142.14) )写成如下的简洁形式： 所以，对于余弦形式的谐波激励，响应为上式的实部，即： 复频( (率)

10、 )响应 为一复数，所以由复数代数，可知：( )H()()ieHH( (2.162.16) ) ()( )ti tieex tAHA H( (2.172.17) )( )cos( ) cos( )ttx tAHA H( (2.182.18) ) 其中， 为复频( (率) )响应 的模，被称为“”； 称为是复频( (率) )响应的“”。()H( )H 对于正弦形式的谐波激励，则响应为( (2.172.17) )式的虚部：( )sin( ) sin( )ttx tAHA H( (2.192.19) ) 可见，谐波形式的激励，其响应也同样是谐波的。并且，响应具有和激励相同的振动频率 。 所以，研究响

11、应和激励在频率域上的变化关系，可能要比从时间域上来研究更能够了解系统的动力特性。 尤其的，讨论 和 与激励频率 之间的变化关系，将能够更好的揭示系统的动力响应特性。()H22222121( )( )( )ReImnnHHH ( (2.202.20) ) 根据复数代数，即复频( (率) )响应的模，等于 的实部与虚部平方的和的开方，即：( )H()H22221nnAX 对比前面导出的响应的振幅( (2.92.9) )式，即： 可以看到，“”实际上是响应的振幅 与激励幅值 的一个“”，即：XA( )XHA( (2.212.21) ) 下面给出放大因子 与频率比 的关系曲线：n()H22222121

12、( )( )( )ReImnnHHH( (2.202.20) ) 由图可看出，阻尼能由图可看出，阻尼能够减小响应的幅值。并够减小响应的幅值。并且随着阻尼的增大，振且随着阻尼的增大，振幅的峰值点将向幅的峰值点将向的左侧移动。的左侧移动。 当频率比当频率比 时时放大因子放大因子 ，表，表明此时响应的幅值与激明此时响应的幅值与激励的幅值基本相同。励的幅值基本相同。 当当 时，放大时，放大因子趋向于因子趋向于“0 0”值。表值。表示这时响应的幅值很小。示这时响应的幅值很小。 唯独在唯独在 附近，附近，放大因子明显增大，说放大因子明显增大，说明响应的振幅将远大于明响应的振幅将远大于激励的幅值。这时，限激

13、励的幅值。这时，限制响应振幅的就只有阻制响应振幅的就只有阻尼因素。尼因素。1n 1n 1( )H1n 1n 要确定“”对“”的曲线的峰值点位置，可用计算函数驻值的方法。将放大因子( (2.202.20) )式对驱动频率 求导，并令结果为零，即可得到峰值点发生的位置为：10.72 由上式即可看出：212n( (2.222.22) )01n 1n nnn 需要注意的是，达到共振点时，前面由所导出的系统响应方程( (2.142.14) )，即：212( )i tnnAex ti 已不再适用，本节后面将给出达到共振条件时的解答。 粘性阻尼因子 时，相当于无阻尼的单自由度系统，系统运动微分方程将简化为“

14、”的运动微分方程，进而可得到如下的结论：02222222211212( )nnnnnniH 2112( )( )nnieHHi 将上式分子分母同乘分母的共轭复数，将实虚部分离：cossiniei 及复频( (率) )响应： 即可根据上面的欧拉公式，得到“ ”的表达式为： 现在，我们来讨论“”，为求相角表达式，可考虑欧拉公式的如下形式： 由前面导出的响应方程( (2.172.17) )： 可以看出，这与以前得到的相角公式( (2.102.10) )是一致的。21121( )ImtantanRe( )nnHH( (2.232.23) )( )( )tix tAeH 可见， 根据( (2.232.2

15、3) )式，可画出“ ”与频率比 之间，在不同粘性阻尼情况下的关系曲线，如下页。n ( )( )i ttkf tkAeF 及谐波激励的复矢量表达式( (2.112.11) )：n2123n 01.000.500.250.150.100.05000 由图可见，所有的曲线都通由图可见，所有的曲线都通过过 ， 这一点。这一点。 当当 时，相位差趋于时，相位差趋于零值；而当零值；而当 时，相位时，相位差趋于差趋于 。 在阻尼因子在阻尼因子 时，曲线时，曲线在在 处发生突变。由处发生突变。由 跳跃到跳跃到 。这是因为，。这是因为， 时，响应简化为：时，响应简化为：所以，所以， 时，响应为正，时，响应为正

16、，即响应和激励同相。而即响应和激励同相。而 时，响应为负，即响应和激励时，响应为负，即响应和激励相位差相位差180180度度，方向相反。，方向相反。2 01n1n 1n 0 02( )Re()1ni tAex t 1n 1n 1n 因为速度项为零，所以这里不再需要写为复数形式。 方程( (2.242.24) )实际上表达了“”承受谐波激励时的系统运动微分方程。应用代换法，很容易得到方程( (2.242.24) )的特解：22( )cos( )nnnx tAttx( (2.242.24) )2( )sinnnAx ttt( (2.252.25) ) 最后，讨论前面提到的系统达到“”时的情况，即

17、， 时的情形。这时，运动微分方程将简化为：01n 方程( (2.252.25) )表示了谐振子在受到谐波激励时，其响应的振幅将随着时间的延续而线性增加。这意味着，随着时间 的增大，谐振子的响应将无限增大，产生剧烈的振动。t 然而实际上，响应不可能无限的增大，因为到了一定的时刻，系统就将违反线性系统关于微小运动的假设。 由响应式( (2.252.25) )也可看到，激励是余弦形式的谐波，而响应却是正弦形式的。所以二者之间存在着 的相位差，这一点由前面也可观察到。下面画出共振条件下的响应曲线：092nAt 为避免混乱，将前面瞬态解( (2.202.20) )中的振幅 改记为 ，相角 改记为 ，则响

18、应的全解可写为：AC 第一章中的单自由度阻尼系统自由振动的解( (1.201.20) )，即“”，与本章得到的特解( (2.182.18) )式，即“”，二者迭加起来，就构成了单自由度系统在谐波激励下进行强迫振动的响应。也就是单自由度阻尼系统运动微分方程的全解。22cos2( )( )( )nnnAttx tx txcos( ) cos( )ndtttx teA HC( (2.262.26) ) 由上式可以看出，系统的响应将由两部分迭加而成： 所以，考虑强迫振动时，主要是考虑后一项的“”。它的振动频率与外部激励的驱动频率相一致，但相位和幅值却与激励的相位和幅值不一致。cos( ) cos( )

19、ndtttx teA HC( (2.262.26) ) 很多的机械系统，都可以简化为上所示的理想模型。模型中包含了一个主质量 ，以及两个大小均为 的偏心质量。其中，两个偏心质量以匀角速度 反向旋转。M m2m2k2kclt2mlt2m( )x tM m 为写出该系统的运动微分方程，首先画出系统的分离体图，如下和所示： 这里需要注意的是，由于两个偏心质量反向的旋转，所以它们在任何时刻施加给主质量的力，在铅垂方向上为相加，而在水平方向上将彼此抵消。所以，系统只会在铅垂方向上产生振动。lt2mxFyF( )x t( )sinx tlt偏心质量的位移偏心质量的位移主质量的位移主质量的位移yFxFxF(

20、 )x tM m( ) tcx 2 ( ) tk x2 ( ) tk xyF 根据牛顿定律，首先写出偏心质量在铅垂方向的运动方程： 其中， 从系统的静平衡位置算起。( ) tx 同理，写出主质量在铅垂方向的运动方程： 将( (2.272.27) )式代入( (2.282.28) )，可得到整个系统的运动微分方程：22222( )sin( )sinxm dx tltFdtmx tlt( (2.272.27) )222( )( )( )xkFcx tx tMm x t( (2.282.28) )22( )( )( )sinImi tMx tcx tkx tmltmle( (2.292.29) )

21、可见，反向旋转的偏心质量对系统施加了谐波形式的激励。 方程( (2.302.30) )右端项已经化为了与前面相同的激励形式，所以利用前面的响应结果( (2.172.17) )，可直接写出系统的响应： 整理方程( (2.292.29) )，得到： 22222( )( )( )ImImnnni ti tnmlx tx tx teMmleM( (2.302.30) )22( )( )( )sinImi tMx tcx tkx tmlteml( (2.292.29) )222()(),()( )ImIm()() sinnnntitiMx tAeHmleHMmlktHM( (2.312.31) ) 继续

22、将响应写成如下的简洁形式： 其中： 因此，对于本节所讨论的这种系统，其无量纲比为：( )sinx tXt( (2.322.32) ) 2( )nMmlXH( (2.332.33) )2( )nMXHml ( (2.342.34) ) 可见，旋转的不平衡质量系统的“”已不再仅仅是“ ”本身。所以，前面给出的关于放大因子和频率比的关系曲线也不再适用。( )H 下面，就画出该系统的无量纲比：2( )nH 与激励频率和系统固有频率的比值： ，在不同的粘性阻尼因子 下的关系曲线，如下页：n 当当 时，无量时，无量纲比纲比 。 当当 时，无量时，无量纲比纲比 。 因为质量因为质量 的位的位移为移为 ，偏心

23、质量，偏心质量位移为位移为 。由此得出，对于大的驱由此得出，对于大的驱动频率动频率 ，无论阻尼如，无论阻尼如何，主质量何，主质量 和偏和偏心质量心质量 将按系统的将按系统的质心保持不动的这样一质心保持不动的这样一种方式进行运动。种方式进行运动。020( )()nH Im( )x t21( )()nH M mIm( )i tx tleM mm 另外一种常见的，承受谐波激励的系统，就是当系统的支承承受着谐波运动的情况，如下所示：2k2kc( )x tm( )Rei tAey t0( )( )( )( )( )mx tc x ty tx ty tk( (2.352.35) ) 首先，假设系统支承的谐

24、波位移可表示为： 。根据牛顿定律，即可写出系统运动微分方程：Rei tAe 整理为：2222( )( )( )( )( )nnnntttttxxxyy( (2.362.36) ) 将：( )( )( )i t,y tAey tiy t 代入方程( (2.362.36) )。并继续将方程( (2.362.36) )整理为与前面讨论的运动方程形式相同的结构：2222212( )( )( )nnnnni tni tx tx tx tiAeiAe ( (2.372.37) ) 这时，直接利用响应公式( (2.172.17) )，即可写出系统响应为：21212( )( )ReRe()nnni ti tx

25、 teAHiAei( (2.382.38) ) 上式响应可写为如下形式： 其中：( )costx tX( (2.392.39) )222221212121212( )nnnnXAH ( (2.402.40) )3221212tannnn ( (2.412.41) ) 根据上面响应式( (2.402.40) )，可得到该系统的无量纲比为： 这时的 通常被称为“”。X A12221()nXHA ( (2.422.42) ) 根据( (2.422.42) )式，画出以粘性阻尼因子 为参数，传递率与频率比 的关系曲线，见下页。n X A 前面几节中，我们用复矢量表示了谐波形式的激励，并导出了阻尼系统对

26、谐波激励的响应。()( )( )tix tAeH 两端对时间 进行求导，即可得到系统的响应速度及响应加速度的表达式：t22()()( )( )( )( )( )( )tititx tiA Hei xtx tiA Hex 下面，我们将承受谐波激励的阻尼系统及其响应，在复平面内给出其几何描述。首先，对前面导出的响应公式( (2.172.17) )： 考虑欧拉公式的如下形式：2221cossincossiniiiieie 则响应的速度和加速度可写为：22( )( )( )( )iitx textx tex 这时可以看出，速度 超前于位移 项 相角，并等于位移乘以因子 ；而加速度 超前位移 项 相角，

27、并等于位移乘以因子 。( ) tx ( )x t2( ) tx ( )x t2 根据以上关系，我们即可在复平面上用几何图形来表示二阶系统的运动微分方程( (2.122.12) )，即：222( )( )( )nnni tx tx tx tAe 下图表示了任意时刻，复矢量 、 和 之和与复矢量 相平衡，即运动方程在复平面上的几何表示。( )x t2( )nx t2( )nx t2ni tAetImRe2( )nx t2( )nx t2ni tAe( )x t 有时候，我们需要考虑各种机械设备对于地基的影响，并且总是希望设备传递给地基的振动越小越好。因为振动过大，将会引起地基的破坏、变形，进而导致

28、设备的损害或加工精度的丧失。而该问题对于进行谐波运动的机械设备来说，将尤为严重。 所以，为减少这种振动的影响，我们通常采取在设备的底部加装弹簧、橡胶垫( (阻尼) )等方法来进行所谓的“”。mkc( )F t( )x t 对于这种隔振问题，通常可采用如右所示的动力学理想模型来进行研究。 已经知道，谐波激励作用下的振动系统，其响应同样是谐波的。而要研究设备的振动对地基的影响，就需要考虑设备在振动过程中对地基的力的作用。 显然，振动过程中，设备是通过与地基的连接弹簧和阻尼进行力的传递。所以，可将设备传递给地基的力表示为：( )( )trttkxcxF ( (2.432.43) )()( )( )t

29、ix tAeH 对于式中的 ，可直接利用前面谐波激励的响应公式来得到，即：( )x t 上式代入方程( (2.432.43) )，并考虑到相位 对于传递力的幅值并不产生影响，即可写出设备传递给地基的力的幅值为： 因为设备所承受的谐波激励可表示为：( )titkAeF 将谐波激励的幅值记为： 结合( (2.442.44) )式，并考虑阻尼系数： 及 ，则可得到设备传递给地基的力的幅值与设备所承受的激励力的幅值这二者之间的关系为：2ncm2nk m()trkAi cAFH( (2.442.44) )0kAF ( (2.452.45) )001212()()nntrFFimHkiFH ( (2.46

30、2.46) ) 显然，根据上式( (2.462.46) )，即可得到传递力幅值与激励力幅值的一个无量纲比：01 2212( )ntrFHF ( (2.472.47) ) 同样，上式也称为“”。可以看出，它与前面“”中所得到的传递率( (2.422.42) )式是相同的。而这里的传递率可看作是衡量外部激励传递给地基的尺度。 根据( (2.472.47) )式，可画出“ ”与频率比 的关系曲线，如下页，该图形与前面的相同。n0trFF001212()()trnnFFimHkiFH ( (2.462.46) ) 振动测量仪基本上有三种类型，即：“”、“”和“”。我们这里只讨论第一种和第三种类型的测量

31、仪。测量仪通常由装有的盒子以及用于测量质量相对于盒子的相对位移的装置构成。如下所示：mc( )x t( )z t( )y tk测量仪的位移测量仪的位移质量质量 的的绝绝对位移对位移mm 测量时，将上所示装置固接在被测的振动系统上，然后通过测量质量块 与盒子的相对位移 ，从而得到与振动有关的各量，比如振动系统的位移、速度和加速度。m( ) tz 按照上页图示， 表示质量块的绝对位移， 表示的是测量仪本身的位移，所以图中三种位移具有如下关系：( ) tx( ) ty 利用( (2.482.48) )式，消去上式中 ，并整理得到：( ) tx 首先，对质量块 列出其运动微分方程：m( )( )( )

32、xyzttt( (2.482.48) )0( )( )( )( )( )mx tc x ty tx ty tk( (2.492.49) )( )( )( )( )mz tcz tkz tmy t ( (2.502.50) ) 根据响应公式( (2.172.17) )，即可写出质量块的响应为： 将上式进一步记为： 即可得到此时的一种“”： 假设振动系统的位移函数为 ，即 。将代入质量块的运动微分方程( (2.502.50) )，并整理为标准形式：0( )i ttYye0i tYe( ) ty 22202( )( )( )nnni tnz tz tz teY ( (2.512.51) )20()(

33、 )()ntiz teYH ( (2.522.52) )0()( )itZz te( (2.532.53) )200()nZHY ( (2.542.54) ) 根据( (2.542.54) )式，可画出无量纲比 和频率比 ，在不同阻尼因之下的关系曲线，如下。00Z Yn 1234500.51.01.52.02.500ZYn 1.000.500.252n 如果将“”( (2.542.54) )变化为：2002022212( )nnnnZYHY ( (2.552.55) ) 显然，当 时，分母项趋近“1 1”值，所以：0n 注意到，( (2.562.56) )式的，所以这时我们得到的测量值与被测系

34、统的加速度实际上是成比例的关系。此时，该测量仪可作为“”。220002nnYZY ( (2.562.56) ) 如果继续将( (2.552.55) )式化为如下的形式：20222001121( )nnnZYHY 所以，如果。这样才能够实现被测系统的振动频率与振动测量仪的固有频率之比 ，使得测量值与被测系统的加速度值具有一定的比例关系，进而得到被测系统的加速度值。0n 这时，当 时，上式分母项趋近于“ ”，所以有：n 以上讨论可知，“”的尺寸要远比“”的尺寸大得多。所以，如果需要测量振动系统的位移值，但空间尺寸又受到一定的限制，则可采用“”测得被测系统的加速度，然后通过将加速度对时间的两次积分，

35、即可得到所需的被测系统的位移。00ZY 显然，这时测量到的值与被测系统的位移几乎相等。所以，和加速度计相反，要使振动测量仪作为“”，就，即测量仪中的质量块的质量要相当大，而弹簧则要足够软。这样才能够使得被测系统的振动频率与振动测量仪的固有频率之比： 。n 前面已经证明，一个“”系统，受到由下式实部给出的谐波激励：( )i ttAkeF 时，其响应将由下式的实部给出：()()( )( )ttiix tA HeXe 式中：( )A HX 可以解释为响应的最大位移幅值。 显然，由于阻尼的因素，系统并不是保守的，而是始终存在着能量的耗散，而能量的耗散必定等于外力所做的功。所以，可以写出振动在一个周期内

36、( (每一周) )所消耗能量的表达式： 这里，我们只考虑激励 和速度响应 的实部。将二者的表达式代入上式，得到：( ) tx ( ) tF 根据前面相角公式( (2.102.10) )和放大因子公式( (2.202.20) )，即：20( )( )( )cyccycEtdxtx t dtFF ( (2.572.57) )22202cossinsin()()ncycEkAttdtHmA H ( (2.582.58) )2222121112tan( )nnnnXHA 并利用三角公式：2221tansin( )tannnc XHmA 很容易得出： 可见，振动每一周所消耗的能量直接与系统的阻尼系数 、

37、驱动频率 ，以及响应的幅值 的平方成正比。Xc2cycEcX( (2.592.59) ) 由经验证明，在所有的实际系统中，都存在着能量耗散。即使是对于那些其数学模型对阻尼也没有作出明确规定而予以略去的系统来说，也同样存在着能量的耗散。比如，对于弹簧，由于内摩擦的原因，其变形过程中也存在着能量的耗散。 但与我们前面介绍的粘性阻尼不同，这里的。 其中， 是一个与谐波振动频率无关的常量。 通过对大量不同材料进行的试验说明，即：2cycEX( (2.602.60) ) 对于这种类型的阻尼，我们称之为“”。它被认为是由于弹性材料中与循环应力有关的“”引起的。 而每一个应力循环所损失的能量等于如下所示的滞

38、后环内的面积。( )x t( )F tXHysteresisHysteresis LoopLoop ( (滞后环滞后环) )AreaArea = = EnergyEnergy LostLost PerPer CycleCycle( (环行面积每周能量的损失环行面积每周能量的损失) ) 比较前面( (2.592.59) )式和( (2.602.60) )式： 可以看出，具有结构阻尼，并且承受着谐波激励的系统，可以将其看作是具有粘性阻尼，并且其等效的阻尼系数为： 这样，就可以把具有结构阻尼的系统的运动方程写为：( )( )( )i tmx tx tkx tAke 因为速度项： ，所以可进一步将上式写为：( )( )x tix t22,cyccycEcXEXeqc( (2.612.61) )1( )( )i tmx tix tAkek( (2.622.62) ) 其中的：k21( )Rei tnAex ti 称为“”。 称为“”或“”。方程( (2.622.62) )的稳态响应为：1()ik 可看出，与具有粘性阻尼的系统不同，对于具有结构阻尼的系统，其最大振幅正好出现在 处。n 需要注意的是，结构阻尼和粘性阻尼的这种相似性，只有当系统承受谐波激励时才是有效的。因为前面的推导中，包含有系统受驱动频率为 的谐波激励时，响应也是谐波的这一条件。 仍然考虑下所示的二阶线性系统。mkc( )x