第4章 连续信号与系统的频域分析

1、第第4章章连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析第第4 4章章 连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析F周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 F周期信号的频谱周期信号的频谱F周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLABMATLAB实现实现 F非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 F非周期信号频域分析的非周期信号频域分析的MATLABMATLAB实现实现 F傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 本章提要本章提要F周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 F连续系统的频域分析连续系统的频域分析 F用用MATLABMATLAB实现连续系

2、统的频域分析实现连续系统的频域分析 F无失真传输条件无失真传输条件 F理想低通滤波器的特性理想低通滤波器的特性 F连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理 引言引言频域分析：频域分析：傅里叶变换将时间信号表示为一系傅里叶变换将时间信号表示为一系列不同频率的列不同频率的正弦函数（正弦函数（ ， ）或虚）或虚指函数指函数 之和，用于系统分析的独立变量就之和，用于系统分析的独立变量就由时间变量变换为频率变量，故称为频域分析。由时间变量变换为频率变量，故称为频域分析。 tsincos tj tef(t)h(t)时域分析：时域分析：以以冲激函数冲激函数为基本信号，任意激励可分为基本信号，任意激励可分解为一系

3、列冲激函数，解为一系列冲激函数，系统的零状态响应就是激励系统的零状态响应就是激励 与系统冲激响应与系统冲激响应 的卷积积分。的卷积积分。周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数由数学分析可知，满足狄利克雷条件的周期信号在区间 可以展开成在完备正交函数空间的无穷级数。 00()ttT， 狄利克雷条件为： （1）在一个周期内函数连续或有有限个第一类间断点； （2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。 电子技术中的周期信号大都满足该条件 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数 周期为 的周期信号 ， 为基波角频率 ，其三角形式的傅里叶级数 ： 傅里叶系数 T)(tf12T01

4、111( )cossin)2nnnnaf tantbnt（）（0012( )cos(),0,1,2,tTntaf tnt dt nT0012( )sin(),1,2,tTntbf tnt dt nT 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数。的奇函数。 nannbn注意：积分区间只要是一个周期就可。注意：积分区间只要是一个周期就可。 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数。的奇函数。 nAnnn 将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为 式中式中011( )cos()2nnnAf tAnt2200arctannnnnnnbAaAaba

5、 ，cossinnnnnnnaAbA，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数例例4-14-1 将下图所示的方波信号将下图所示的方波信号 展开为三角形式傅里叶级展开为三角形式傅里叶级数。数。 )(tf0T2T2T2T T1 1tf (t)三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数解解 取积分区间取积分区间 ，)22(TT，222120211020110112( )cos()22( 1)cos()(1)cos()2121 sin()sin()0TTTTnTTaf tnt dtTnt dtnt dtTTntntT nT n12

6、T三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数222120211020110112( )sin()22( 1)sin()(1)sin()2121cos() cos()0,2,4,6,21 cos()4,1,3,5,TTTTnTTbf tnt dtTnt dtnt dtTTntntT nT nnnnnn11114111( )sin()sin(3)sin(5)sin()35f ttttntn三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数：奇、偶函数的傅里叶级数： 是偶函数时，是偶函数时， 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数，有的奇函数，有 ， ； 是奇函数是奇函数时，时， 是是

7、 的奇函数，的奇函数， 是是 的偶函数，的偶函数，有有 ， ； 是奇谐函数，即是奇谐函数，即 时，时， 的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波分量；的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波分量； 是偶谐函是偶谐函数，即数，即 时，的傅里叶级数展开式中只含有偶时，的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波分量。次谐波分量。( )f t1( )cos()f tntt1( )sin()f tntt2104( )cos()Tnaf tnt dtT0nb ( )f t1( )cos()f tntt1( )sin()f tntt0na 2104( )sin()Tnbf tnt dtT( )f t( )- ()2Tf tf

8、t( )f t( )f t( )()2Tf tf t指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 利用利用 ，考虑到，考虑到 、 ，可得到，可得到指数形式的傅里叶级数。指数形式的傅里叶级数。jjcos2eennAAnn ， 11111011j()j()01j()j()011jj( )cos()21221122212nnnnnnnnntntnnntntnnnnntnnAf tAntAA eeAA eA eA ee指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 复数复数 ，称为复傅里叶系数，简称，称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数，则傅里叶级数的指数形式为傅里叶系数，则傅里叶级数的指数形式为 jj12nnnn

9、nA eF eF1j( )ntnnf tF e1jj0121(cosjsin)211(j)( ),0, 1, 2,2nnnnnnnTntnnFA eAAabf t edtnT 注意：注意：三角形式傅里叶级数与指数形式傅里叶级数虽三角形式傅里叶级数与指数形式傅里叶级数虽然形式不同，但都是将信号表示成直流分量和各次谐波分然形式不同，但都是将信号表示成直流分量和各次谐波分量的和的形式。量的和的形式。 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数例例4-24-2 求例求例4-14-1中周期信号的指数形式傅里叶级数中周期信号的指数形式傅里叶级数 11111j220jj20202jj1021( )111111

10、jj11 cos()jTntTnTntntTTntntTFf t edtTedtedtTTeeTnTnnn11jj1( )1 cos()jntntnnnf tF enen周期信号的频谱周期信号的频谱信号频谱的概念信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即频率的变化关系，即 将将 和和 的关系分别画在以的关系分别画在以

11、 为横轴的平面上为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0n0，所以称这种频谱为单边谱。，所以称这种频谱为单边谱。 也可画也可画 和和 的关系，称为双边谱。若的关系，称为双边谱。若 为实为实数，也可直接画数，也可直接画 。nAnnFnnFnF周期信号的频谱周期信号的频谱例例4-34-3 ，试画试画出的幅度谱和相位谱。出的幅度谱和相位谱。( )12cos(5 )cos(210 )4cos(415 )f tttt 解解： 为周期信号，基波角频率为周期信号，基波角频率 。题目中给出的的表达式可。题目中给出的的表达式可以看做的

12、指数形式傅里叶级数，故有以看做的指数形式傅里叶级数，故有 ( )f t1()rad/s001,02A112,5A 221,10A444,15A周期信号的频谱周期信号的频谱单边频谱图和双边频谱图单边频谱图和双边频谱图 01234214nA0510152015105n0123410.5210.52nF0510152051015-15-10-5n周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点1112222jjj21211111( )11jsin()2j2sin(),0, 1,j22TTntnntntFf t edtTedteTnTnnnnnTT 以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号频谱的特点以周期矩形脉冲信号

13、为例，说明周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 称为取样函数，则称为取样函数，则sinSa( )xxx1Sa()2nnFT11jj1( )Sa()2ntntnnnnf tF eeT 的变化规律应符合的变化规律应符合 的变化规律，即的变化规律，即时，时， ；频率；频率 的谱的谱线为零。线为零。 时，频谱如图所示时，频谱如图所示 nFSa( ) x0 x nFT12(1, 2,)mnm 14T周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点nF2462460周期信号频谱具有如下特点：周期信号频谱具有如下特点：（1）离散性；）离散性；（2）谐波性；）谐波性；（3）收敛性。）收敛性。周期信号频谱

14、的特点周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：（1）周期）周期 不变时，谱线间距不变时，谱线间距 不变，此时，不变，此时， 减小，减小，各次谐波分量的振幅减小，在各次谐波分量的振幅减小，在 这段频率范围这段频率范围（称为频带宽度）内包含的谱线越多（称为频带宽度）内包含的谱线越多 ；（2）脉冲宽度）脉冲宽度 不变时，周期不变时，周期 变大，则谱线间距变大，则谱线间距 变小，谱线变密，各次谐波分量的振幅减小。变小，谱线变密，各次谐波分量的振幅减小。 周期信号趋于单脉冲非周期信号，各次谐波分量的周期信号趋于单脉冲非周期信号，各次谐波分量的振幅趋于零，谱线无限密集，离

15、散谱成为连续谱。振幅趋于零，谱线无限密集，离散谱成为连续谱。 T12T20 T12T周期信号的功率周期信号的功率 周期信号是功率信号，将其在周期信号是功率信号，将其在1 电阻上消耗的平均功电阻上消耗的平均功率称为归一化平均功率。如果周期信号是实函数，则平均功率称为归一化平均功率。如果周期信号是实函数，则平均功率为率为 2221( )TTPft dtT 将将 表示成傅里叶级数带入上式，得表示成傅里叶级数带入上式，得( )f t2222200111222()nnnnnnAPAFFF 上式称为帕塞瓦尔恒等式，表明了周期信号的平均功率上式称为帕塞瓦尔恒等式，表明了周期信号的平均功率等于各频率分量的功率

16、之和，即周期信号在时域和频域的能等于各频率分量的功率之和，即周期信号在时域和频域的能量是守恒的。量是守恒的。 周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLAB实现实现011( )cos()2kmkkAf tAkt( )f t例例4-4 设周期信号（某电路电压、电流）设周期信号（某电路电压、电流） 如下，如下，求该周期信求该周期信号的频谱号的频谱12TT其中其中 为为基波角频率，基波角频率， 为信号周期。为信号周期。 22kmkkAab2122( )cos()TkTaf tkt dtT，2122( )sin()TkTbf tkt dtT，0,1,2,k ：周期信号有效值公式为：周期信号有效值公式

17、为： 201( )TAf tdtT100mUV50fHz10.02 ,100/Tsrad s若电压若电压 ，频率频率（即 ）计算总功率有效值和各分功率有效值与误差。计算总功率有效值和各分功率有效值与误差。 周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLAB实现实现1t，1( )sinsinsmmu tUtU，22221000111sinsinsin2TsmUUdtddT322214111( )2241msnUUn211sssUUU解：解：则总功率有效值为则总功率有效值为 各分功率有效值为各分功率有效值为 误差为误差为 l 建模建模令令周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLAB实现实现l M

18、ATLAB程序演示程序演示clc %清屏清屏Um=100; T=0.02; w=2*pi*50; %详见详见中取值中取值N=input(输入谐波次数输入谐波次数N= ); %取得谐波次数决定所分段数，次数取得谐波次数决定所分段数，次数 越高，分段数越高越高，分段数越高t=linspace(-T/2,T/2); dt=T/99; %取取100个采样点个采样点u=Um*abs(sin(w*t); %在一个周期内产生两个半波在一个周期内产生两个半波for k=0:N a(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t)*dt/T*2;周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLAB实现实现 b(k+

19、1)=trapz(u.*sin(k*w*t)*dt/T*2;A(k+1)=sqrt(a(k+1)2+b(k+1)2);end0:N,A(1)/2,A(2:end);%显示傅立叶分量，恢复与显示傅立叶分量，恢复与k对应的关系值对应的关系值stem(0:N,A(1)/2,A(2:end)%将对应关系绘制成图形将对应关系绘制成图形Us11=sqrt(trapz(u.2)*dt/T)%总功率有效值总功率有效值Us12=sqrt(A(1)2/4+sum(A(2:end).2/2)%各分功率有效值各分功率有效值e=(Us11-Us12)/Us11%误差误差周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLAB实

20、现实现l 程序运行结果程序运行结果输入谐波次数输入谐波次数N= 16，回车，回车，程序运行结果如下：（根据用户需要可以输入其他谐波次数）程序运行结果如下：（根据用户需要可以输入其他谐波次数） 总功率有效值：总功率有效值： Us11 = 70.7107分功率有效值：分功率有效值： Us12 = 70.7085误误 差：差： e = 3.0887e-005 各傅立叶分量对应的k值0246810121416010203040506070数值积分存在数值积分存在误差导致不为零误差导致不为零非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 当当 时，周期信号趋于非周期信号，谱线无限密集，时，

21、周期信号趋于非周期信号，谱线无限密集，离散谱成为连续谱，各次谐波分量的振幅趋于零，故利用傅离散谱成为连续谱，各次谐波分量的振幅趋于零，故利用傅里叶级数无法分析非周期信号的频谱。为了表示非周期信号里叶级数无法分析非周期信号的频谱。为了表示非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数的概念。的频谱特性，引入频谱密度函数的概念。 T 周期信号周期信号1j( )ntnnf tF e 复振幅复振幅 1j221( )TntTnFf t edtT非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换当当 时，时， T 0nF 1j22( )TnTnTFf t edt1j1( )ntnnf tTF eTj12

22、(j )limlim( )tnnTTFFTFf t edt 离散量离散量 趋于连续量趋于连续量 ，谱线间隔，谱线间隔 趋趋于无穷小量于无穷小量 ， 成为成为 的函数，一般是复函数，记的函数，一般是复函数，记为为 ，求和转化为积分，则有，求和转化为积分，则有 T 1n12TdnTF(j )Fj1( )(j )2tf tFed傅里叶正变换傅里叶逆变换非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换可以记为可以记为 或或1(j ) ( )( ) (j )Ff tf tFFF( )(j )f tF 称为称为 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。谱。 称为

23、称为 的傅里叶反变换或原函数。的傅里叶反变换或原函数。(j )F( )f t( )f t(j )F复函数复函数 可以写为可以写为 (j )Fj ()(j )(j )( )j ( )FFeRX 非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 存在傅里叶变换的充分但非必要条件存在傅里叶变换的充分但非必要条件 ( )f t( )f t dt 利用傅里叶变换公式可以方便地求出：利用傅里叶变换公式可以方便地求出：-(0)( )Ff t dt-()2(0)F jdf典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（一）矩形脉冲信号（门函数（一）矩形脉冲信号（门函数）01t( )gt22jj22(j

24、)( )Sa()2ttFf t edtedt（二）单边指数函数（二）单边指数函数( )0tet，01tjj0(j )( )1,0jtttFf t edteedt典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（三）双边指数函数（三）双边指数函数(0)te01tte( )f t0jj022(j )112jjttttFeedteedt（四）冲激函数及其导数（四）冲激函数及其导数 j( )( )1tttedtjj0( )( )jtttdettedtdt 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（五）单位直流信号（五）单位直流信号 不满足绝对可积，故不能直接使用公式计算其频谱。不满足绝对可积，故不能直接使用公

25、式计算其频谱。考考虑到双边指数函数虑到双边指数函数 （ ）当）当 时，时， ，所以双边指数函数的频谱当，所以双边指数函数的频谱当 就应是单位就应是单位直流信号的频谱。直流信号的频谱。 1( )()( )ttf tetet001( )1f t 011222202(j ),00,02lim,0FfF(t)=即单位直流信号的频谱是冲激函数，其强度为即单位直流信号的频谱是冲激函数，其强度为 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换22200022limlim1lim2tan2ddarc12( ) 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（六）符号函数（六）符号函数 01-1sgn() tt 可以看作是

26、可以看作是 （ ）当）当 时的极限。时的极限。 1( )()( )ttf tetet 000jj112202202)j2,02jlim j0,0ttttFfeedteedt F(j(t)=2sgn( ),(0)0jtF典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（七）单位阶跃函数（七）单位阶跃函数 单位阶跃函数不满足绝对可积条件，不能直接用傅里单位阶跃函数不满足绝对可积条件，不能直接用傅里叶变换公式求其频谱函数叶变换公式求其频谱函数 1( )1 sgn( )2tt111 ( ) sgn( )( )22jtttFFF非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数jj ()(j )( )( )cos()j(

27、 )sin()( )j ( )(j )tFf tedtf tt dtf tt dtRXFe 22(j )( )( )( )( )arctan( )( )(j ) cos ( )( )(j ) sin ( )FRXXRRFXF 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数当当 为实函数时，可以得到以下结论：为实函数时，可以得到以下结论： ( )f t（1 1）( j )(j ) , ()( ), ()( ),()( )FFRRXX （2 2） ，其中，其中 是是 的共轭函数；的共轭函数； ()( j )( )j ( )(j )ftFRXF(j )F(j )F（3 3）若）若 ，则则 的频谱函数的频谱

28、函数 是是 的实函数，的实函数，且是且是 的偶函数，的偶函数，即即 ， ； ()( )ftf t( )f t(j )F(j )( )FR( j )(j )FF（4 4）若）若 ，则则 的频谱函数的频谱函数 是是 的虚函数，的虚函数，且是且是 的奇函数，的奇函数，即即 ， 。 ()( )ftf t ( )f t(j )F(j )j( )FX( j )(j )FF 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数当当 为虚函数时，可以得到以下结论：为虚函数时，可以得到以下结论： ( )f t（1 1）( j )(j ) , ()( ), ()( ),()( )FFRRXX （2 2） ，其中，其中 是是

29、的共轭函数；的共轭函数； ()( j )( )j ( )(j )ftFRXF (j )F(j )F（3 3）若）若 ，则则 的频谱函数的频谱函数 是是 的虚函数，的虚函数，且是且是 的偶函数，的偶函数，即即 ， ； ()( )ftf t( )f t(j )F(j )j( )FX( j )(j )FF（4 4）若）若 ，则则 的频谱函数的频谱函数 是是 的实函数，的实函数，且是且是 的奇函数，的奇函数，即即 ， 。 ()( )ftf t ( )f t(j )F(j )( )FR( j )(j )FF 非周期信号频域分析的非周期信号频域分析的MATLAB实现实现(j )F40/ ,40/rad s

30、rad s 例例5 设非周期信号（方波）设非周期信号（方波） 如下，用如下，用MATLAB求该信求该信号在号在 的频谱。的频谱。01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91方波信号j(j )( )tFf t edt解：解：0 10 tss这里我们取这里我们取l建模建模 通过傅立叶变换得出非周期通过傅立叶变换得出非周期信号频谱公式如下：信号频谱公式如下：非周期信号频域分析的非周期信号频域分析的MATLAB实现实现lMATLAB程序演示程序演示tf=10;N=input(输入时间分割点数目：N= ) dt=10/N;t=1:N*dt; %对所取时间进行分割f=

31、ones(1,N/2),zeros(1,N/2); plot(t,f,linewidth,1.5),grid %产生方波信号图w1=input(输入频谱宽度：w1= )n1=input(输入频谱点数：n1= )w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信号的傅立叶变换w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信号的负频率F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信号负频率的频谱plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid非周期信号频域分析的非周期信号频域分析的MATLAB实现实现-

32、40-30-20-1001020304000.511.522.533.544.55非周期信号时域频谱图l程序运行结果程序运行结果注意注意：这里频谱宽度和点数如果：这里频谱宽度和点数如果取的不好会发生频率泄漏取的不好会发生频率泄漏输入时间分割点数目：输入时间分割点数目：N= 256输入频谱宽度：输入频谱宽度：w1= 40输入频谱点数：输入频谱点数：n1= 64傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（一）线性（一）线性 若若 （ ），则对于任意常数），则对于任意常数 ，有，有( )(j )iif tF1,2,inia11( )(j )nniiiiiia f ta F（二）对称性（二）对称性 若若 ，则有

33、，则有( )(j )f tF(j )2()Ftf 傅傅里里叶叶变变换换对对的的两两种种函函数数是是固固定定的，的，本本性性质质为为 和和 的的互互求求提提供供方方便。便。 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质sinSa( )ttt1( )f tt例例4.64.61 1求 和 的频谱函数。 解解：（1）( )Sa()2g t212取 ， 门函数的幅度为 ，则由线性性质 21( )Sa( )2g t221Sa( )2()( )2tggF（2）2sgn( )jt22 sgn()2 sgn( )jt 1jsgn( )t 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（三）时移性（三）时移性( )(j )f tF0t若若

34、 ， 为实常数，则有为实常数，则有 0j0()(j )tf tteF0t( )f t0t 信号在时域中的延时和频域中的移相相对性，若信号在时域中的延时和频域中的移相相对性，若在时域中信号右移在时域中信号右移，其频谱函数的幅度不变，而各其频谱函数的幅度不变，而各频率分量的相位比频率分量的相位比 各频率分量的相位滞后各频率分量的相位滞后 。傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例4.62求如图所示信号的频谱函数。-1-441t( )f t3解：解：222( )3( )3(4)3(4)f tg tg tg t2( )2Sa( )g t由时移特性可知 j42j42(4)2Sa( )(4)2Sa( )g t

35、eg tej4j4 ( )2Sa( )2Sa( )2Sa( )2Sa( )12cos(4 )f teeF傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（四）频移性（四）频移性0j0( )j()tf t eF( )(j )f tF0 若若 ， 为实常数，则有为实常数，则有0000j-jj-j00cos(),sin()22jtttteeeett00000011( )cos()j()j()2211( )sin()j()j()2j2jf ttFFf ttFF( )1f t 时时000000cos()()()sin()()()jjtt 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（五）尺度变换（五）尺度变换( )(j )f tF

36、a 若若 ， 为实常数（为实常数（ ），则有），则有0a 1()(j)f atFaa()( j )ftF1a 当当 时，得到时，得到 1a 1/ a 由尺度变换特性可知，由尺度变换特性可知， 时，信号在时域中时，信号在时域中压缩，其频谱在频域中扩展，各分量的幅度降为原压缩，其频谱在频域中扩展，各分量的幅度降为原来的来的 ，信号的持续时间与其频带宽度成反比。，信号的持续时间与其频带宽度成反比。 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )(j )f tF()f atb例例4.64.64 4若已知 ，求信号 的频谱函数。解：解：根据时移特性j()(j )bf tbeF根据尺度变换特性 j1()(j)ba

37、f atbeFaa 试先应用尺度变换特性再应用时移特性求 的频谱函数 ()f atb傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（六）卷积定理（六）卷积定理1、时域卷积定理、时域卷积定理1212( )( )(j )(j )f tf tFF11( )(j )f tF22( )(j )f tF若若 ， ，则有，则有 2、频域卷积定理、频域卷积定理11( )(j )f tF22( )(j )f tF若若 ， ，则有，则有 12121( )( )(j )(j )2f tf tFF 显然，时域卷积定理与频域卷积定理是对称的，显然，时域卷积定理与频域卷积定理是对称的，这由傅里叶变换的对称性决定。这由傅里叶变换的对称性

38、决定。 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例4.64.65 5已知 ，利用卷积定理求该余弦脉冲的频谱函数。cos()(1)2( )0(1)ttf ttcos()2t2( )g t解：解：该余弦脉冲可以看作是余弦信号 与门函数 的乘积。cos()()()222t F2( )2Sa( )g tF2( )cos()( )2f ttg t21(j )cos()( )Sa()Sa()2222Ftg tFF傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（七）微分特性（七）微分特性1、时域微分特性、时域微分特性( )( )(j )(j )nnftF( )(j )f tF( )( )( )nnnd f tftdt若若 ，

39、，则有，则有( )( jt)( )(j )nnf tF( )t( )j(j )nnnf tF2、频域微分特性、频域微分特性 也可以写为也可以写为 ( )(j )f tF( )(j )(j )nnnd FFd若若 ， ，则有，则有 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )f t-1104( )f tt-1104( )ftt-4-110( )ftt(-8)(4)(4)(a)(b)(c)例例4.64.66 6求如图（a）所示信号 的频谱函数。傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )( )dftddf tftdtdtdt2( )(j ) ( )ftf tFF( )f t解解：利用时域微分性质求 的频

40、谱( )4 (1)4 (1)8 ( )ftttt( )1t 由于 ， ，由傅里叶变换的线性性质、时移性质，可得j-j2( )4488cos1=16sin2ftee221( )( )4Sa ()(j )2f tftF傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（八）积分特性（八）积分特性( 1)(j )( )(0) ( )jFftF 1、时域积分特性、时域积分特性( )(j )f tF( 1)( )( )tftf x dx若若 ， ，则有，则有( 1)( )(0) ( )(j )-jtf tftF2、频域积分特性、频域积分特性( )(j )f tF( 1)(j )(j )FF x dx若若 ， ，则有，则有

41、( 1)(j )( )jFft(0)( )0Ff t dt时，时，( 1)( )(j )-jtf tF(0)0f时，时，傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )f t216( )sinj2ft 例例4.64.67 7利用时域积分性质求例4.66中信号 的频谱函数。2( )16sin2ft 解：解：由例4.66已知根据时域积分性质22216( )sin4Sa ()(j )22f t ( )f t( )f t( )f t 注意：注意：若信号 中含有直流分量，应先将 的频谱分成两个部分，对不含直流分量的部分利用微分性质（或积分性质）求其频谱函数，再利用线性性质求两部分频谱函数之和即为 的频谱函数。 周

42、期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换11jj1( )=2()ntTnnntnnnnftF eFeFn FFF（一）周期信号的傅里叶变换（一）周期信号的傅里叶变换12( ) 对上式两边取傅里叶变换，并考虑傅里叶变换的线性对上式两边取傅里叶变换，并考虑傅里叶变换的线性性质、频移性质，结合性质、频移性质，结合1j( )ntTnnftF eT( )Tft12T 周期为周期为 的信号的信号 ，基波角频率为，基波角频率为 ，将其展，将其展开成指数形式的傅里叶级数为开成指数形式的傅里叶级数为周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换11j22j221( )11( )TntTnTntTFf t edtTt e

43、dtTT1112( )()( )TntnT Ft( )Tt01T2T2TT(a)11( )0112121(b)1( )Tt例例4.74.71 1 求如图（a）所示周期单位冲激函数序列 的傅里叶变换 解：解：周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换nF0(j )F（二）周期信号傅里叶系数（二）周期信号傅里叶系数 与单脉冲傅里叶变换与单脉冲傅里叶变换 的关系的关系0( )( )( )TTftf tt00( )(j )f tF，根据时域卷积定理，可得，根据时域卷积定理，可得 01011( )( )( )(jn)()TTnftf ttFn FFF0( )f t 周期信号第一个周期的单脉冲信号表示为周期

44、信号第一个周期的单脉冲信号表示为 ，根据冲激函根据冲激函数的卷积积分性质，则有数的卷积积分性质，则有11011(j )2()(jn) ()nnnFFnFn 110101(jn)(j )2nnFFFT连续系统的频域分析连续系统的频域分析（一）基本信号（一）基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应j tejj()j-jjzs( )( )( ) ( )ttttyeh thedehedeh t=Fj tet(j )H 上式表明：线性时不变系统，在上式表明：线性时不变系统，在 作用下的零状作用下的零状态响应是基本信号本身乘上一个与态响应是基本信号本身乘上一个与 无关的常量无关的常量 。 的傅里叶变

45、换记为的傅里叶变换记为( )h t(j )H，称为频率响应函数（系统函数）。，称为频率响应函数（系统函数）。( )h t(j )H反映了系统的时域特性，反映了系统的时域特性，反映了系统的频域特性。反映了系统的频域特性。连续系统的频域分析连续系统的频域分析LTI连续系统( )f tzs( )yt基本信号j tej(j )tHe齐次性j1(j )2tFedj1(j ) (j )2tFHe d时不变性j1(j )2tFedj1(j )(j )2tFHed1 (j )( )Ff tF1 (j )(j )( )( )FHf th tF（二）一般信号（二）一般信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应(

46、)f t连续系统的频域分析连续系统的频域分析频域分析法求解零状态响应的步骤：频域分析法求解零状态响应的步骤：(j ) ( )Ff tF(j ) ( )Hh tFZS(j )(j ) (j )YHFZSZS1( )(j )ytYF求求 ；求频率响应函数求频率响应函数 ；求零状态响应的傅里叶变换求零状态响应的傅里叶变换 ；求零状态响应求零状态响应 。连续系统的频域分析连续系统的频域分析2(j )(j )4j(j )3 (j )(j )YYYF2(j )11(j )(j )(j )4j3(j1)(j3)YHF( )4( )3 ( )( )y ty ty tf t2( )( )tf tet例例4.84

47、.81 1 描述某系统的微分方程为 ，求激励 时系统的零状态响应。解：解：对微分方程两端取傅里叶变换，得2311( )() ( )22ttty teeet1111(j )(j ) (j )(j1)(j2)(j3)2(j1)j22(j3)YHF1(j ) ( )j2Ff tF 由于 ，故零状态响应的傅里叶变换为连续系统的频域分析连续系统的频域分析( )h t（1）画出电路的频域模型，并求出系统的冲激响应函数 ；( )2cosf tt( )RUt（2）若激励为 ， 求零状态响应 。1R 1L ( )RUt例例4.84.82 2 电路如图(a)所示，图中 ， ， 为激励， 为响应，( )f tL(

48、)f t( )RUtR(a)解解:(1)jL(j)F(j)RUR(b)1(j )j1j( )( )tRHRLh tet连续系统的频域分析连续系统的频域分析( )2cos2 (1)(1)f t j45j452(j )(j )(j ) (1)(1)1j2(1)2(1)1j1j112(1)2(1)22RUFHee 12( ) j45jj45j11( )2cos(45 )22ttRUteeeet（2）根据 及傅里叶变换的频移特性，可得用用MATLAB实现连续系统的频域分析实现连续系统的频域分析例例4.9-1 连续信号函数如下，求该信号的频谱连续信号函数如下，求该信号的频谱解解：(j )(j )(j )

49、YFHl建模建模 该信号输出的频谱为该信号输出的频谱为210500( )ttf te用用MATLAB实现连续系统的频域分析实现连续系统的频域分析lMATLAB程序演示程序演示tf=10;N=input(输入时间分割点数目：输入时间分割点数目：N= ) dt=10/N;t=1:N*dt; %对所取时间进行分割对所取时间进行分割f=ones(1,N/2),zeros(1,N/2); plot(t,f,linewidth,1.5),grid %产生方波信号图产生方波信号图w1=input(输入频谱宽度：输入频谱宽度：w1= )n1=input(输入频谱点数：输入频谱点数：n1= )w2=linspa

50、ce(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信号的傅里叶变换求信号的傅里叶变换 用用MATLAB实现连续系统的频域分析实现连续系统的频域分析w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信号的负频率求信号的负频率F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信号负频率的频谱求信号负频率的频谱subplot(2,2,1),plot(t,f,linewidth,1.5),grid %绘制连续脉冲信号波形绘制连续脉冲信号波形subplot(2,2,2),plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid %绘制连续脉冲信

51、号频谱绘制连续脉冲信号频谱H=freqs(1000,1,30,300,1000,w); Y=H.*F; subplot(2,2,3),plot(w,abs(Y),linewidth,1.5),grid %绘制滤波后的连续信号频谱绘制滤波后的连续信号频谱y=Y*exp(j*w*t)/pi*dw; %傅里叶变换的逆变换傅里叶变换的逆变换subplot(2,2,4),plot(t,f,t,y,linewidth,1.5),grid %绘制滤波后的连续信号的波形绘制滤波后的连续信号的波形 用用MATLAB实现连续系统的频域分析实现连续系统的频域分析l程序运行结果程序运行结果经反复验证，取经反复验证，取

52、N=128，w1=20，n1=128，运行结果如下图，运行结果如下图 连续脉冲信号 连续脉冲信号频谱 脉冲信号滤波后频谱 脉冲信号滤波后波形无失真传输条件无失真传输条件失真的分类失真线性失真非线性失真：产生新的频率分量幅度失真相位失真不产生新的频率分量无失真传输定义：系统的输出与输入相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。 无失真传输条件无失真传输条件 输出与输入满足条件 时域 频域 到无失真传输对系统的要求 时域 频域( )()dy tKf ttj(j )(j )dtYKeF( )()dh tKttj(j )dtHKeK(j ) , ( )H (j )HK( )dt 无

53、失真传输系统的幅频特性和相频特性理想低通滤波器的特性理想低通滤波器的特性(j ) , ( )H (j )H( )dt 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性1cc理想低通滤波器的频率响应函数为理想低通滤波器的频率响应函数为 jcc,(j )0,dteH 称为截止角频率，能称为截止角频率，能使信号通过的频率范围称为使信号通过的频率范围称为通带，通带，阻止信号通过的频率阻止信号通过的频率范围称为阻带或止带。范围称为阻带或止带。ccc( )Sa()dh ttt理想低通滤波器的特性理想低通滤波器的特性()httdtc0理想低通滤波器在理想低通滤波器在时，即没用激励作用时已产时，即没用激励作用时已产生响应，不满足因果关系，生响应，不满足因果关系，在物理上是不可实现的。在物理上是不可