随机过程第三章

1、第第3章章 随机信号与线性系统随机信号与线性系统3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论一般电子系统中，通常含有若干个基本单元电路。一般电子系统中，通常含有若干个基本单元电路。线性系统：线性放大器、线性滤波器线性系统：线性放大器、线性滤波器非线性系统：平方律检波器，调制器，混频器，限幅器非线性系统：平方律检波器，调制器，混频器，限幅器在确定信号输入的情况下，线性系统的响应或输出有在确定信号输入的情况下，线性系统的响应或输出有明确的表达式。明确的表达式。对于随机信号的问题，要想得到输出的明确表达式是对于随机信号的问题，要想得到输出的明确表达式是不可能的。不可能的。一个随机过程可以通过自相关函

2、数、功率谱密度、均一个随机过程可以通过自相关函数、功率谱密度、均方值等统计特性来描述。方值等统计特性来描述。如何根据线性系统输入随机信号的统计特性以及线性如何根据线性系统输入随机信号的统计特性以及线性系统的特性，确定输出系统的统计特性系统的特性，确定输出系统的统计特性? ?2u线性系统：具有叠加性和比例性的系统线性系统：具有叠加性和比例性的系统u举例：举例：( )x t L ( ) ( )y tL x t1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t2 tdLdtLLdu u线性时不变系统：系统响应不依赖于时间起点的线性时不变系统：系统响应不依赖于时间起点的选择

3、，即如果输入信号提前或延时一段时间，则选择，即如果输入信号提前或延时一段时间，则输出信号也同样提前或延时一段相同的时间，而输出信号也同样提前或延时一段相同的时间，而输出信号的波形保持不变。输出信号的波形保持不变。400() ()y ttL x ttu连续时不变线性系统分析方法连续时不变线性系统分析方法1.时域分析时域分析2.频域分析频域分析3. 物理可实现的系统物理可实现的系统 稳定系统条件稳定系统条件: 因果系统因果系统条件条件:5( )( )( ),Y sH s X s sj( )h t dt Y( )( )X( )H0, ( )0th t ( )() ( )( ) ()( )( )y t

4、x thdxh tdx th t3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析u在给定系统的条件下，输出信号的某个在给定系统的条件下，输出信号的某个只取决于输入信号的只取决于输入信号的。u根据输入随机信号的根据输入随机信号的和和，再加上已知线性系统，再加上已知线性系统或或，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度函数和功率谱密度 u分析方法分析方法：时域分析法：时域分析法 ；频域分析法；频域分析法。63.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的

5、均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距73.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距8输入为随机信号输入为随机信号X(t)的某个的某个的的，则，则为：为：0)()()(dtxhty一个确定性函数对于随机信号对于随机信号

6、X(t)任意一个样本函数均成立。那么任意一个样本函数均成立。那么对于所有的试验对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距9Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX

7、td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t YX0( )mmhd若若X(t)为平稳随机过程，为平稳随机过程，则则3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距10 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t由于由于系统的输出

8、是系统输入的作用结果，因此，系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统系统输入输出输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为之间是相关的，系统输入输出相关函数为3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距11 XY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru duX( )()Rh若输入为平稳随机过程若

9、输入为平稳随机过程3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距12已知已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输系统输出出端的自相关函数端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEttX1212( , )( )( )Rt th th tY121XY12( , )( )( , )Rt th

10、tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXXYYX( )( )( )()( )()( )( )RRhhRhRh3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距13系统输出的系统输出的n n阶矩的一般表达式为阶矩的一般表达式为 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX t

11、h th th tu3.2.1 时域分析法时域分析法 系统输出的平稳性和遍历性系统输出的平稳性和遍历性结论结论1：若输入：若输入X(t)是是 宽平稳的，则系统输出宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。结论结论2：若输入：若输入X(t)是严平稳的，则输出是严平稳的，则输出Y(t)也也是严平稳的。是严平稳的。 结论结论3：若输入：若输入 X(t)是宽遍历性的，则输出是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的，且也是宽遍历性的，且X(t)、Y(t)联合遍历联合遍历 。1415结论结论1：若输入是：若输入是 X(t) 宽宽平稳的，则系统

12、平稳的，则系统输出输出Y(t)也也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。XX( )mtm常数X12X( , )( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhYX( )R若输入若输入X(t)为为宽平稳随机过程，则有：宽平稳随机过程，则有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 1622X00Y (

13、 )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )( )()h uh vRuv dudv X00(0)( )( )Rh uh v dudv X00(0)( )( )Rh v dvh u du0)(dtth2( )E Yt 17结论结论2：若：若输入输入X(t)是是严平稳的，则严平稳的，则输出输出Y(t)也也是严是严平稳的。平稳的。 18结论结论3：若：若输入输入X(t)是是宽遍历性的，则宽遍历性的，则输出输出Y(t)也也是宽遍历性的，是宽遍历性的，且且X(t) 和和Y(t) 联合联合遍历遍历 1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TT

14、Tlimh u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm191Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h

15、u duXY( )R 习题习题3.2.2 频域分析法频域分析法 21 1 1、输出的均值、输出的均值 2 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 3.2.2 频域分析法频域分析法 22 1 1、输出的均值、输出的均值 2 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H3.2.2 频域分析法频域分析法 23 1 1、输出的均值、输出的均值 2 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3 3、系统输入与输出间互谱

16、密度、系统输入与输出间互谱密度 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSH 由，两边取付氏变换得： 3.2.2 频域分析法频域分析法 24 1 1、输出的均值、输出的均值 2 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s3.3 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程一、希尔伯特变换一、希尔伯特变换 25261(

17、)( )*x tx tt( )1/h tt0( )0jHj1)(H0202)(二、二、 解析过程及其性质解析过程及其性质1、定义、定义 2、性质、性质习题习题3.4 窄带随机过程表示窄带随机过程表示一、窄带随机过程一、窄带随机过程1、定义、定义 322、窄带随机过程的表达式窄带随机过程的表达式 3、窄带随机过程的莱斯表达式、窄带随机过程的莱斯表达式 4、莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 ( )aS习题习题3.7 窄带随机过程包络和相位的窄带随机过程包络和相位的特性特性421 1、窄带、窄带随机过程包络与相位的慢变化特性随机过程包络与相位的慢变化特性 证明： 因为 )(ta)(tb是低频限带随机

18、过程， 即它们的功率谱只在 c0区间内非0，且 0c则 )()(2)()()()(222tatatataEtataE)(2)0(2aaRR= 432022-5-14此式说明：若 c1，在t到 t的时间内， )(ta的变化的均方值远小于 )(ta的均方值。 因为 0c，即 0022ccTT，令 0T01cT由切比雪夫不等式： 22x(x)XPE令 0 x()( )a tTa t，注意 0(x) () ( )0EE a tTE a t带入上式，得：2200)()(0)()(taTtaEtaTtaP44222002( ) ()( )cT E a tP a tTa t01cT0T0 x( ) t0T)(ta)(ta)(tb)(tA)(t即即 ，即，即足够小时，对于给定的足够小时，对于给定的右式趋近于右式趋近于0。这就是说，。这就是说，为窄带随