自动控制原理-吴怀宇-课后习题-第四章.

1、第四章4-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为G (s)K试绘制该系统在正、 负反馈1)(s2)s( s情况下的根轨迹图。解：（ 1）负反馈情况令 s(s 1)(s2)=0 ，解得3 个开环极点 p1 0, p21, p32根轨迹分支数为3，起点分别为 (0, j 0),( 1, j 0),(2, j 0)终点均为无穷远处。在实轴上的根轨迹为,2 ,1,0 两段。nm由 n=3,m=0 得轨迹有 3 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标pizji1j1a1nm（2k）（2k），（ k=0,1,2 ）渐近线与实轴正方向的夹角为a1=1nm3当 k=0,1,2时，计算得a 分别为 60°，

2、180°， -60°确定分离点， 由 1 +1+1=0 解得 d10.42,d21.58由于 d2 不是根轨迹上dd1 d2的点，故不是分离点，分离点坐标为d1确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s33s22sK =0 令 s=j代入上式得j 33 22 jK =0写出实部和虚部方程K 32=02 或=03可求得20K6K0因此，根轨迹在2 处与虚轴相交，交点处的增益K6 ；另外实轴上的根轨迹分支在0 处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示（ 2）正反馈情况令 s(s 1)(s2)=0 ，解得 3 个开环极点 p1 0, p21, p32根轨迹分支数为3，起点分别为

3、(0, j 0),( 1, j 0),( 2,j 0) 终点均为无穷远处。在实轴上的根轨迹为2, 1, 0,两段。nm由 n=3,m=0 得轨迹有 3 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标pizji 1j 11amn渐近线与实轴正方向的夹角为a= 2k，（ k=0,1,2 ）3当 k=0,1,2时，计算得a 分别为 0°， 120°， -120°确定分离点， 由 1 +1+1=0 解得 d10.42,d21.58由于 d1 不是根轨迹上dd1 d2的点，故不是分离点，分离点坐标为d2确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s33s22s-K =0 将 s=j代入上式得

4、j 33 22 j-K =0写出实部和虚部方程-K3 2=0可求得2 或=0320K-6K0因此，根轨迹在0 处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示4-2 设系统的开环传递函数为G( s) H (s)K (s+z) ( z p) 绘制根轨迹图， 证明根轨迹s( s p)的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。解：系统实轴上的根轨迹为, z ,p,0根轨迹分离点坐标满足1+1=1解得 d1zz2pz, d2zz2pzdd p d z系统闭环特征方程s2( pK ) s+Kz=0 解得 s1,2 =- pKj4Kz ( pK )222令 x=-pK4Kz( pK ) 2, y2则2( x2pK22

5、z( pK )( pK )2z)=(z-2)z4y24Kz( pK )2Kz( p K )244两式相加得 (xz)2y2 =z2zp又分离点 d 到开环零点距离r=dzz2pz即 ( xz)2 y2 r2 =(d z) 2故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下：4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。K ( s 2)K (s1)（ 1） G( s) s(s1)(s3)（ 2） G (s)s2 (0.1s1)（ 3） G (s)K (s 5)（4） G (s)K (s1)1)(s3)s2(sK (s4)（ 6） G ( s)K ( s

6、0.2)（ 5） G (s)1)2s2 ( s 3.6)( s解：（ 1）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z123 个开环极点 p10, p21, p33根轨迹分支数为3，起点分别为 (0, j 0),( 1, j 0),(3, j 0) 一个终点为 (2, j 0)另两个终点为无穷远处。在实轴上的根轨迹为3, 2,1,0两段。nm由 n=3,m=1 得轨迹有 2 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标pizji1j1a1nm渐近线与实轴正方向的夹角为a（2k）（），（ k=0,1 ）1= 2k1nm2当 k=0,1 时，计算得a 分别为 -90°， 90°则系统根轨迹

7、如下图所示（2）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z113 个开环极点 p10, p2 0, p310根轨迹分支数为3，起点分别为 (0, j 0),(0, j 0),( 10, j 0)一个终点为 ( 1, j 0)另两个终点为无穷远处。在实轴上的根轨迹为10, 1 段。由 n=3,m=1 得轨迹有 2 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标nmpizji1j1a4.5nm（2k）（2k）渐近线与实轴正方向的夹角为1=1，（ k=0,1 ）anm2当 k=0,1 时，计算得a 分别为 -90°， 90°确定分离点，由1+1+1=1解得 d4,d22.5dd d10d11

8、确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程0.1s3s2Ks K =0 将 s=j代入上式可求得=0K0则系统根轨迹如下图所示（ 3）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z152 个开环极点 p11, p23根轨迹分支数为2，起点分别为 (1, j 0),(3, j 0) ，终点分别为 ( 5, j 0) 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为,5 ,3,1 两段。nm轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标pizji 1j 11amn渐近线与实轴正方向的夹角为a（2k1）=（2k1） ，（ k=0）则 anm11=1解得 d1522，d25 2 2确定分离点，由+d 1 d 3 d 5确定根轨

9、迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s2(4K ) s3 5K =0 将 s=j=0=17 j 均舍去代入上式可求得K -3 ,5K4则系统根轨迹如下图所示（ 4）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z112 个开环极点 p10, p20根轨迹分支数为2，起点分别为 (0, j 0),(0, j 0)，终点分别为 (1, j 0) 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为,1段。nm轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标pizji 1j 11amn渐近线与实轴正方向的夹角为（2k1）（2k）， (k=0)则aa=1nm确定分离点，由1+1=1解得 d2 ，则分离点为2, j 0d dd1则系统根轨

10、迹如下图所示（ 5）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z142 个开环极点 p11, p21根轨迹分支数为2，起点分别为 (1, j 0),( 1, j0) ，终点分别为 (4, j 0) 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为, 4段。nm轨迹有 1 条渐近线，它与实轴上的交点坐标pizji 1j 12amn渐近线与实轴正方向的夹角为a（2k1）=（2k） ， (k=0)则anm1确定分离点，由1+1=1解得 d7d 1 d 1 d 4则系统根轨迹如下图所示（ 6）由开环传递函数可知，系统有1 个开环零点 z10.23 个开环极点 p10, p20, p33.6根轨迹分支数为 3，起点分别为

11、 (0,j 0),(0, j 0),(3.6,j 0) ，终点分别为 (0.2, j 0) 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为3.6,0.2段。nm轨迹有 2 条渐近线，它与实轴上的交点坐标pizji 1j 1a1.7nm渐近线与实轴正方向的夹角为a（2k）（2k）， (k=0,1)则 a1=1nm22确定分离点，由1 + 11=1解得 d1 1.67,d20.43d dd 3.6d0.2则系统根轨迹如下图所示4-5 已知系统如下图所示，试绘制根轨迹图。解：由图可知系统的开环传递函数为G ( s) H (s)Ks32s22s令 s32s22s=0 ，解得3 个开环极点 p10, p21j , p31 j根轨迹分支数为3，起点分别为(0, j 0),( 1, j )和(1, j ) ，终点分别为 (5, j 0) 和无穷远处。在实轴上的根轨迹为,0 段。nm轨迹有 3 条渐近线，它与实轴上的交点坐标piz ji 1j 12am3n（2k）（2k），（ k=0,1,2）渐近线与实轴正方向的夹角为a1=1nm3当 k=0,1,2 时，计算得a 分别为 60