第4章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材傅里叶光学傅里叶光学 第第2 2版版电子教案电子教案周哲海 吕乃光 编著机械工业出版社第四章第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜的位相调制和傅里叶变换性质分析方法：分析方法：( (孔径孔径+ +透镜透镜)()(有限大小有限大小, ,有衍射作用有衍射作用, ,位相变换作用位相变换作用) ) + + 光在自由空间的传播光在自由空间的传播( (菲涅耳衍射菲涅耳衍射) )逐面计算逐面计算, ,在不同的几何配置下可以得到在不同的几何配置下可以得到傅里叶变傅里叶变换换或或成像成像目的与分析方法目的与分析方法目的：目的：从单透镜的位相

2、变换作用入手从单透镜的位相变换作用入手, ,导出透镜的导出透镜的傅里叶变换性质和成像性质；傅里叶变换性质和成像性质；将透镜成像看成线性不变系统的变换，研究将透镜成像看成线性不变系统的变换，研究评价透镜成像质量的频域方法。评价透镜成像质量的频域方法。本章主要内容本章主要内容1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质3 3、光学频谱分析系统、光学频谱分析系统l光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。它用于传递二维的光学图像信息。l光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）

3、光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。决于光学系统的传递特性。l对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。率特性即传递函数。l这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力这是一种

4、全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。 光学成像系统的频率特性光学成像系统的频率特性l透镜是光学系统的最基本的元件，具有成像和光透镜是光学系统的最基本的元件，具有成像和光学傅里叶变换的基本功能，本章将首先讨论透镜学傅里叶变换的基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质；的成像和光学傅里叶变换性质；l透镜可以用来实现透过物体的光场分布的透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和夫琅和费衍射费衍射，而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原，而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用；因是它具有

5、位相变换的作用；l无像差的正薄透镜对点光源无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成的成像过程是点物成点像，从波面变换的观点看，透镜将一个发散球点像，从波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波；面波变换成一个会聚球面波；l发散球面波发散球面波和和会聚球面波会聚球面波在透镜平面上都具有球在透镜平面上都具有球面波的二次位相因子，因此面波的二次位相因子，因此透镜透镜的功能就是改变的功能就是改变二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的二次位相因子。二次位相因子。透镜的位相变换作用透镜的位相变换作用 基本假设基本假设 透镜是薄的透镜是薄的,

6、忽略折射引起的光线的横向偏移忽略折射引起的光线的横向偏移 透镜无吸收透镜无吸收, 完全透明完全透明, 均匀均匀,折射率为折射率为n，不改，不改变光场振幅变光场振幅,仅改变位相仅改变位相 透镜孔径为无限大透镜孔径为无限大 (以后再考虑孔径影响以后再考虑孔径影响)透镜的位相变换作用透镜的位相变换作用 1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1.1 1.1 透镜对入射波前的作用透镜对入射波前的作用分析分析复振幅透过率复振幅透过率透镜的复振幅透过率：透镜的复振幅透过率：),(),(),(yxUyxUyxtlllUl (x,y) 和和U l (x,y) 分别分别是紧靠透镜前后平面上是紧靠透镜前后平

7、面上的光场复振幅分布。的光场复振幅分布。下面从复振幅透过率的定义式导出复振幅透过率。下面从复振幅透过率的定义式导出复振幅透过率。 这是在傍这是在傍轴近似下的完轴近似下的完善成像，发散善成像，发散球面波经过透球面波经过透镜变换成会聚镜变换成会聚球面波。球面波。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用在傍轴近似下，在傍轴近似下，忽略忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为透镜前后的平面上产生的复振幅分布为2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd则透镜复振幅透过率表示为：则透镜复振

8、幅透过率表示为：222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxydkreraPUj0)(kreraPUj0)(2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxydzyxzr222zr 在傍轴近似下，在傍轴近似下，1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用则透镜复振幅透过率表示为：则透镜复振幅透过率表示为：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd( (常数项

9、常数项) )( (调制项调制项) )对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对空间分布，分析时可忽略掉。不影响平面上位相的相对空间分布，分析时可忽略掉。对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换为会聚球面波。能把发散球面波变换为会聚球面波。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用根据几何光学中介绍的透镜成像公式根据几何光学中介绍的透镜成像公式0111iddf( ( 为透镜的焦距为透镜的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf因此，

10、透镜的复振幅透过率或透镜的位相调制因子因此，透镜的复振幅透过率或透镜的位相调制因子(相位变换因子相位变换因子)：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yf结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。有位相调制的功能。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。延迟不同，从而使得光波的等相位面

11、发生弯曲。等相位面透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？透镜为什么会具有这种能力呢？Answer:1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移( (忽略了折射效应忽略了折射效应) )。薄透镜的作用：忽略吸收，仅使入射波前产生相位薄透镜的作用：忽略吸收，仅使入射波前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚度。延迟，其大小正比于透镜各点的厚度。把透镜看成把透镜看成是一个相位型的衍射屏。是一个相位型的衍射屏。B透镜的相位变换透镜的相位变换(

12、位相调制位相调制)函数：函数：（复振幅透过率函数）（复振幅透过率函数）),(jexp),(yxyxtl1.2 1.2 透镜的厚度函数透镜的厚度函数主要考虑薄透镜的情况主要考虑薄透镜的情况从另一角度从另一角度-厚度函数导出透过率厚度函数导出透过率L(x,y)1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用,exp,exp,ltx yjx yjkL x yL(x,y)是是Q到到Q 之间的之间的光程光程：),() 1(),(),(),(00yxnyxyxnyxL则则 0,expexp1,ltx yjkjk nx y 0,expexp1,ltx yjkjk nx yB 透镜的相位变换透镜的相位变换(位相

13、调制位相调制)函数：函数： 1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其一旦知道其厚度函数厚度函数(x,y)，就可以根据该式得到，就可以根据该式得到其位相调制。其位相调制。B透镜的相位变换透镜的相位变换(位相调制位相调制)函数：函数：（复振幅透过率函数）（复振幅透过率函数） 下面具体分析一下下面具体分析一下厚度函数厚度函数(x,y)和透镜主要和透镜主要结构参数结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径构成透镜的两个球面的曲率半径R1和和R2)之之间的

14、关系。间的关系。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用为求出厚度函数，将透镜一剖为二，如图所示：为求出厚度函数，将透镜一剖为二，如图所示：符号规则：为使导出的公式适合于不同类型的透镜，符号规则：为使导出的公式适合于不同类型的透镜，规定：当光线从左到右时，它遇到的每个凸面的曲率规定：当光线从左到右时，它遇到的每个凸面的曲率半径为正，而每个凹面的曲率半径为负。半径为正，而每个凹面的曲率半径为负。22211101),(yxRRyx22222202),(yxRRyx22211yxRR22222yxRR21221102221110111),(RyxRyxRRyx22222202222220211

15、),(RyxRyxRRyx1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 仅考虑傍轴光，仅考虑傍轴光，(x2+y2)足够小足够小2201211,2xyx yRR 2122110111),(RyxRyx2222220211),(RyxRyx厚度函数厚度函数1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1.3 1.3 透镜的复振幅透过率透镜的复振幅透过率根据厚度函数的表达式，可得到在傍轴近似下，根据厚度函数的表达式，可得到在傍轴近似下，光波通过透镜时在光波通过透镜时在(x,y)点发生的

16、位相延迟点发生的位相延迟 0,expexp1,ltx yjkjk nx y2201211,2xyx yRR 2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR121111nfRR(n为透镜材料的折射率为透镜材料的折射率)1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用220,expexp2lktx yjknjxyf常数因子常数因子透镜位相因子透镜位相因子2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR121111nfRR以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，而且是在傍轴近似条件下推导出来的。而且是在傍轴近似条件下推导出来的。透镜

17、相位变换函数：透镜相位变换函数： 在 分 析在 分 析时，可忽略时，可忽略常数和常相常数和常相位因子。位因子。220,expexp2lktx yjknjxyf220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yf忽略了常复数因子后，两者相同。忽略了常复数因子后，两者相同。由定义得到由定义得到由厚度函数和由厚度函数和),(jexp),(yxyxtl得到得到比较两种方法得到的复振幅透过率比较两种方法得到的复振幅透过率1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用透镜的作用：透镜的作用： 将入射平面波入射平面波变换为会聚（发会聚（发

18、散）球面波散）球面波 ，如下图所示。 理解透镜相位变换的物理意义，可通过考察理解透镜相位变换的物理意义，可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理解透镜相位变换的物理意义。解透镜相位变换的物理意义。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用2202jexp)jexp(1),(yxfkknyxUl第一项是常数相位延迟，第一项是常数相位延迟，第二项可理解为球面波的二次曲面近似。第二项可理解为球面波的二次曲面近似。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具有有

19、的位相因子，能够对入射波前施加位相调制的位相因子，能够对入射波前施加位相调制的结果。的结果。fyxk2jexp222202jexp)jexp(1),(yxfkknyxUl1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1）球面透镜将平面波变换成球面波的结论，在很）球面透镜将平面波变换成球面波的结论，在很大程度上依赖于大程度上依赖于傍轴傍轴近似。若在非傍轴近似条件近似。若在非傍轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球面波，即透镜产生波像差。事实上，常离理想球面波，即透镜产生波像差。事实上，常常把透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前常把

20、透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前对球面的偏离，从而对球面的偏离，从而“校正透镜的像差。校正透镜的像差。”2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔来表示透镜的有限孔径，即径，即1,0P x y透镜孔径内其他1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用22,exp,2lktx yjxyP x yf其中，其中，22exp2kjxyf表示透镜对入射波前的位相调制；表示透镜对入射波前的位相调制；P ( x, y ) 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。表示透镜对于入射波前大小范围的

21、限制。于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：透镜的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定。透镜的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定。1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用透过率的第二种推导方法：（前面已经有了）透过率的第二种推导方法：（前面已经有了）1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。变换的运算

22、。 因此，会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突因此，会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性质就是它能够进行二维出和最有用的性质就是它能够进行二维FTFT。正因如。正因如此，傅里叶分析方法才得以用于光学。此，傅里叶分析方法才得以用于光学。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 透镜为什么具有这种功能呢？透镜为什么具有这种功能呢？* * * * 根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作用；然而出现用；然而出现二次位相因子的原因是透镜的厚度二次位相因子的

23、原因是透镜的厚度函数。函数。下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2.1 物体放置在透镜前物体放置在透镜前d 处处 透镜后焦面上的场是透镜前端场透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅里叶的傅里叶变换变换(空间频谱空间频谱)；根据透镜的位相调制功能根据透镜的位相调制功能，透镜后，透镜后端场端场U2(x,y)为为:U1U2U0Uf物物体体的的透透射射光光场场透透镜镜前

24、前端端场场透透镜镜后后端端场场后后焦焦面面上上的的场场2012-3-312 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2221,exp2kUx yUx yjxyf从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场U (x ,y )为：为：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff 透镜后端场透镜后端场U2(x,y)为为:将将U2(x,y)代入代入:000020200022)(2exp)(2exp ),()(2ex

25、p)exp(),(dydxyyxxzjyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxU 221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff 菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质后焦面上的场分布为后焦面上的场分布为22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffxxxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面场是透镜前端场的傅里叶变换焦面场是透镜前

26、端场的傅里叶变换(空间频谱空间频谱)。 ),(F)(2jexp)jexp(j1),(122yxUyxfkkffyxUffyff 2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)。若用振幅为。若用振幅为A的平面波垂直照明物体，则的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：物体的透射光场为：00000,UxyA t xyU1U2U0Uf2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：1000,xyUx yUxyH ffFF22

27、,expxyxyHffjd ff则有：则有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyHffjffF2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjdffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffffH是费涅耳衍射在频是费涅耳衍射在频域中的传递函数域中的传递函数,并并略去常量位相延迟。略去常量位相延迟。注意：注意：Uf与与t 的联系的联系 ),(F)(2jexp)jexp(j1),(122yxUyxfkkffyxUffyff 菲涅耳衍射的传递函数是菲涅耳衍射的传递函数是 22,expexpxyxyHffjkzjz f

28、ffyffxffyfx ,2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质（二次位相弯曲因子）（二次位相弯曲因子）其中，其中，T( )为透过率函数为透过率函数t( )的频谱。的频谱。结论：透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里结论：透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里叶变换。叶变换。fyffxffyfx,其频率取值与后焦面坐标的关系为其频率取值与后焦面坐标的关系为一般情况下一般情况下,FT前面仍有二次相位因子前面仍有二次相位因子,不是准确的不是准确的FT。fyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(222 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质后焦面上后

29、焦面上(xf,xy)点的振幅和位相正比于物体频谱所包点的振幅和位相正比于物体频谱所包含的频率分量（含的频率分量（fx=xf / f， fy=yf / f ）的振幅和位相。）的振幅和位相。fyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(222 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 上式具有普遍意义，它证明在物体透射场的菲涅上式具有普遍意义，它证明在物体透射场的菲涅耳衍射区内放置一透镜，在透镜的后焦面上就可以耳衍射区内放置一透镜，在透镜的后焦面上就可以得到该透射场的傅里叶变换得到该透射场的傅里叶变换(空间频谱空间频谱)。物体的功率谱物体的功率谱22,fffffxy

30、AIxyTfff对应的强度分布为对应的强度分布为一般情况下，一般情况下，FT前面仍有二次相位因子，不是准确的前面仍有二次相位因子，不是准确的FT，但不影响强度分布（通常观察的是强度分布）。，但不影响强度分布（通常观察的是强度分布）。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 如果如果d 0，物体在透镜前方，由于变换式前的，物体在透镜前方，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱产生一个二次位相因子，使物体的频谱产生一个位相弯曲位相弯曲。（二次位相弯曲因子）（二次位相弯曲因子） 讨论讨论 d（物体到透镜距离）物体到透镜距离）的三种情况：的三种情况：fyfxTyxfdfkfAyxUffff

31、fff,)(12jexpj),(22df2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 如果如果d =d0= f，物体在透，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。是物体准确的傅里叶变换。这正是通常所用的光路。这正是通常所用的光路。 用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面称为频谱面。变换。透镜的后焦面称为频谱面。物理解释后焦面上光场分布与频谱的对应关系物理解释后焦面

32、上光场分布与频谱的对应关系物分布物分布t (x0,y0)是一个复杂结构是一个复杂结构, 含有多种空频成分含有多种空频成分.它它调制入射的均匀平面波调制入射的均匀平面波,使透射光场携带物体的信息使透射光场携带物体的信息.透射光场的角谱代表物函数的频谱透射光场的角谱代表物函数的频谱,即含有向不同方即含有向不同方向衍射的许多平面波向衍射的许多平面波. 其中向其中向 角方向衍射的平面波角方向衍射的平面波分量经过透镜后聚焦到分量经过透镜后聚焦到(0, yf)点点.2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质U0yfzf y0(0,yf )后焦面后焦面输出面输出面Uf2 2、透镜的傅里叶变换性质、透

33、镜的傅里叶变换性质U0yfzf y0(0,yf )后焦面后焦面输出面输出面Uf此平面波分量的空频此平面波分量的空频 fy = cosb b = yf / f由几何关系易见由几何关系易见: yf = f tan f sin = f cosb b (傍轴近似傍轴近似)方向余弦方向余弦后焦面上后焦面上(0, yf)点的复振幅点的复振幅,对应空频为对应空频为 (fx =0, fy = yf / f ) 的平面波分量的振幅和位相的平面波分量的振幅和位相.推广之推广之, 任意任意 ( xf , yf )点的复振幅点的复振幅, 对应空频为对应空频为 ( fx =xf / f , fy = yf / f )

34、的平面波分量的振幅的平面波分量的振幅和位相和位相.2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 透镜的后焦面是物体的频谱面透镜的后焦面是物体的频谱面.透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜后焦面上不同位置的点透镜后焦面上不同位置的点, ,对应物体衍射光场对应物体衍射光场的不同空间频率分量的不同空间频率分量fx0 xffx1fx2fx2 fx12 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜的后焦面是输入物体的频谱面频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上. .F.T.F.T.2 2、透镜的傅

35、里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质变换的尺度问题变换的尺度问题对应于物的对应于物的同一空频分量同一空频分量, 变换的尺度随波长和焦变换的尺度随波长和焦距而变距而变f1 2 2 1 1f2 f1f2xf = f fx, yf = f fy2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 如果如果d = 0，物体在透，物体在透镜前端面，由于变换式镜前端面，由于变换式前的二次位相因子，使前的二次位相因子，使物体的频谱也产生一个物体的频谱也产生一个位相弯曲。位相弯曲。fyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(222 2、

36、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2.2 2.2 物体放置在透镜后方物体放置在透镜后方沿光波传播方向逐面沿光波传播方向逐面进行计算，最终可获进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场得透镜后焦面上的场分布分布.暂不考虑透镜的有限孔径暂不考虑透镜的有限孔径222jexp,yxfkAyxAtyxUll透镜的透射光场透镜的透射光场几何光学近似下，会聚球面波投射到物平面上的场分布几何光学近似下，会聚球面波投射到物平面上的场分布20200002jexp,yxdkdAfyxU物体的透射光场物体的透射光场 00000000,yxtyxUyxU2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质222,exp

37、,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd222,fffffxyAfIxyTddd对应的强度分布为对应的强度分布为物体的功率谱物体的功率谱)(2jexp),(F)(2jexpj1),(202000022yxdkyxUyxdkdyxUfffff 00202000000000,2jexp,yxtyxdkdAfyxtyxUyxU物体的透射光场物体的透射光场根据菲涅耳衍射公式，透镜后焦面上的场分布根据菲涅耳衍射公式，透镜后焦面上的场分布 当当 d = f 时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等价的。贴透镜都是等价的。 2 2、透镜的傅里叶变

38、换性质、透镜的傅里叶变换性质222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj ddddfyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(220 d2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质注意：注意：与前两种情况不同，这里频率取值与后焦面上坐标与前两种情况不同，这里频率取值与后焦面上坐标的关系是的关系是yfxfdfydfx，对于给定频率对于给定频率( fx, fy ), 随着随着 d 的增大，的增大， xf 和和yf的绝对的绝对值增大；通过改变值增大；通过改变d，可以调整物体傅里叶变换的空，可以调整物体傅里叶变换的空间尺寸大小。这种间尺寸大小。这种灵活性

39、，为相干光灵活性，为相干光空间滤波的应用带空间滤波的应用带来很大方便。来很大方便。前两种情况：前两种情况：xf = f fx, yf = f fy2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质总结：总结： 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。 如果采用球面波照明时，透镜还能进行傅里叶变如果采用球

40、面波照明时，透镜还能进行傅里叶变化吗？那频谱面还是焦平面吗化吗？那频谱面还是焦平面吗? ? Answer:Answer: 透镜还能起傅里叶变换作用，但是频谱面不再是焦透镜还能起傅里叶变换作用，但是频谱面不再是焦平面，而是点光源的像面位置。具体推导过程可参平面，而是点光源的像面位置。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。考有关参考书，这里不再赘述。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质复习题复习题(小结小结) ：1、什么情况下得到准确的傅里叶变换？、什么情况下得到准确的傅里叶变换？（物体在什么位置）（物体在什么位置）（二次位相弯曲因子）（二次位相弯曲因子）fyfxTyxfdfk

41、fAyxUfffffff,)(12jexpj),(22物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。的光场分布是物体准确的傅里叶变换。在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；透镜在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。物体在透镜前：物体在透镜前：2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质物体在透镜后：物体在透镜后：（同样存在二次位相弯曲因子）（同样存在二次位相弯曲因子）对于给定频率对于给定频率( fx, fy ), 随着随着

42、 d 的增大，的增大， xf 和和yf的绝对的绝对值增大；通过改变值增大；通过改变d，可以调整物体傅里叶变换的空，可以调整物体傅里叶变换的空间尺寸大小。间尺寸大小。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2.3 2.3 透镜孔径的影响透镜孔径的影响引入光瞳函数引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，来表示透镜的有限孔径，1,0P x y透镜孔径内其他透镜的复振幅透过率可以完整地表示为：透镜的复振幅透过率可以完整地表示为：22,exp,2lktx yjxyP x yf下面将由简而繁地讨论透镜孔径的影响。下面将由简而繁地讨论透镜孔径的影响。有效物体有效物体则后焦面上的光场分布为：则

43、后焦面上的光场分布为：2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质1 1、物体紧靠透镜放置、物体紧靠透镜放置)(2jexp),(),(),(22yxfk-yxPyxAtyxUl考虑透镜的有限孔径，其透射场分布为考虑透镜的有限孔径，其透射场分布为fyffxfffffffyfxyxPyxtyxfkfAyxU,22),(),(FT)(2jexpj),( 当透镜孔径大于物体尺度时，当透镜孔径大于物体尺度时，P(x,y)对实际物对实际物体不造成限制，可从公式中略去。体不造成限制，可从公式中略去。 当透镜孔径小于物体尺度时，后焦面上的光场当透镜孔径小于物体尺度时，后焦面上的光场分布只是正比于一个有效

44、物体的傅里叶变换。分布只是正比于一个有效物体的傅里叶变换。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质,ffxyP x yPffF其中，其中，,xP x yrectl以一维物函数以一维物函数 t(x) 为例，假定透镜孔径是宽度为为例，假定透镜孔径是宽度为 l 的矩形函数，即的矩形函数，即fyfxPfyfxTyxfkfAyxUfffffffff,)(2jexpj),(22flxlfxPffsinc其傅里叶变换式为其傅里叶变换式为2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质卷积的效果是使物体频谱图像产生某种程度的模糊，卷积的效果是使物体频谱图像产生某种程度的模糊，或者说失真。透镜孔径越

45、小，这种模糊越严重。或者说失真。透镜孔径越小，这种模糊越严重。下图是物体频谱与光瞳函数傅里叶变换卷积的结果。下图是物体频谱与光瞳函数傅里叶变换卷积的结果。平面波平面波2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2 2、 物体放置在透镜后方物体放置在透镜后方它是透镜孔径沿会聚光锥在物平面上的投影，可它是透镜孔径沿会聚光锥在物平面上的投影，可用用投影光瞳函数投影光瞳函数表示表示dfydfxP00,透镜的圆形孔径（直径透镜的圆形孔径（直径l）限制的出射会聚球面波限制的出射会聚球面波照明的圆形区域的直径照明的圆形区域的直径=ld/f物体的透物体的透射光场为射光场为),(,)(2j-exp),()

46、,(),(0000202000yxtdfydfxPyxdkdAfyxtyxUyxU物体的透射光场物体的透射光场222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd后焦面上的复振幅分布为后焦面上的复振幅分布为),(,)(2j-exp),(000020200yxtdfydfxPyxdkdAfyxU2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质)(2jexp),(F)(2jexpj1),(202000022yxdkyxUyxdkdyxUfffff2012-4-92 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质00,ffxyffPP xyddddF其中，其中，*

47、 若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd焦平面上的复振幅分布为焦平面上的复振幅分布为fyfxPfyfxTyxfkfAyxUfffffffff,)(2jexpj),(221 1、物体紧靠透镜放置、物体紧靠透镜放置当透镜孔径大于物体尺度时，当透镜孔径大于物体尺度时，P(x,y)对实际物体不造对实际物体不造成限制，可从公式中

48、略去。成限制，可从公式中略去。当透镜孔径小于物体尺度时，后焦面上的光场分布当透镜孔径小于物体尺度时，后焦面上的光场分布只是正比于一个有效物体的傅里叶变换。只是正比于一个有效物体的傅里叶变换。* 若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。2 2、 物体放置在透镜后方物体放置在透镜后方卷积的效果是使物体频谱图像产生某种程度的模糊卷积的效果是使物体频谱图像产生某种程度的模糊小结小结2 2、透镜的傅里叶变换性质、透

49、镜的傅里叶变换性质3 3、 物体放置在透镜前方物体放置在透镜前方回顾回顾渐晕渐晕：A物平面物平面B1B2B3M1M2M入射窗入射窗入射光瞳入射光瞳P1P2PP2P2P2P P P1P1P1这种轴外点光束被部分地拦掉的现象称为光学系统的这种轴外点光束被部分地拦掉的现象称为光学系统的轴外点光束的渐晕。轴外点光束的渐晕。2.3 2.3 透镜孔径的影响透镜孔径的影响2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质通常物体的距离通常物体的距离d0相对于透镜孔径都不太大，仍采用相对于透镜孔径都不太大，仍采用光学近似。光学近似。后焦面上后焦面上(xf,yf)点的光场点的光场应是物体上所有点所发应是物体上所

50、有点所发出的方向余弦出的方向余弦 ( cos xf /f , cosb b yf / f )的光线的光线经透镜会聚后叠加而成经透镜会聚后叠加而成的。的。但物平面上只有一个圆形区域所发出的光线能够到但物平面上只有一个圆形区域所发出的光线能够到达达(xf , yf)点，沿点，沿(xf , yf)点与透镜中心连线方向，把透点与透镜中心连线方向，把透镜孔径投影到物平面上就可确定这个圆形区域。镜孔径投影到物平面上就可确定这个圆形区域。f物平面物平面(xf , yf)y0d02 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质把透镜孔径投影到物平面上就可确定这个把透镜孔径投影到物平面上就可确定这个圆形区域圆

51、形区域。其中心位于其中心位于ffyfdyxfdx0000,投影光瞳函数投影光瞳函数(圆形区域圆形区域)：ffyfdyxfdxP0000,此处投影光瞳函数的中心位置是随此处投影光瞳函数的中心位置是随(xf , yf)点变化的。点变化的。ffyfdyxfdxPyxt000000,),(有效物体函数：有效物体函数：f物平面物平面(xf , yf)y0d02 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质后焦面上的复振幅分布正比于有效物体函数的傅里后焦面上的复振幅分布正比于有效物体函数的傅里叶变换，即叶变换，即ffyfdyxfdxPyxt000000,),(有效物体函数：有效物体函数：fffffffy

52、fdyxfdxPyxtyxfdfkfAyxU000000220,),(F)(12jexpj),(2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质以波矢量在以波矢量在y0z平面内传播的平面波分量受透镜孔径平面内传播的平面波分量受透镜孔径限制的情况来说明对于频谱面光场的影响。限制的情况来说明对于频谱面光场的影响。如图所示，对于如图所示，对于 0方向，方向，透镜孔径投影能完全覆盖透镜孔径投影能完全覆盖物体的极限情况物体的极限情况.0002dLlf002dLl 相应空间频率相应空间频率假设圆形物体的直径为假设圆形物体的直径为L透镜直径为透镜直径为l截止频率截止频率(1) 0 部分的空间频率，相应方向

53、的光线都可以部分的空间频率，相应方向的光线都可以全部成像在焦平面上全部成像在焦平面上( 1/L, )(sinc41)(sinc41sinc)0 ,(02022202ffLffLLfIfTxxxx将将 代入代入,并取并取 =0.6m mm:q =f)(0dfxffx例题)()(sinc41)()(sinc41)(sinc)(000200020220dffdfxLdffdfxLdfxLIxIffff透镜透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：物体：d0=20cm，LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(L=1cm, f0=100周周/cm)(0dfxffx将将 代

54、入代入,并取并取 =0.6m mm:f0=100, (q-d0) =3.6 10-30.36xf03.6 10-3-3.6 10-3-0.36I03 3、光学频谱分析系统、光学频谱分析系统光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变换性质来产生物体的空间频谱，然后对它进行测量、换性质来产生物体的空间频谱，然后对它进行测量、分析来研究物体的空间结构。分析来研究物体的空间结构。二维光学频谱分析系统二维光学频谱分析系统上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。S为相为相干点光源，干点光源，L1为准直透镜，为准直透镜，L2为

55、傅里叶变换透镜。为傅里叶变换透镜。P1平面（平面（L2前焦面）放置输入物体，其复振幅透过前焦面）放置输入物体，其复振幅透过率为率为t(x1,y1)。在。在P2平面（平面（L2后焦面）上，输出光场后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即分布正比于物体的空间频谱，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xykTff在在P2平面（平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即体的空间频谱，即 3 3、光学频谱分析系统、光学频谱分析系统强度记录得到物体的功率谱为强度记录得到物体的功率谱为 222222,

56、xyI xyk Tff光学频谱分析可用于微小物体的形状尺寸检测、光学频谱分析可用于微小物体的形状尺寸检测、质量检测、图像分析等领域。质量检测、图像分析等领域。 本章小结本章小结1 1）透镜具有成像和傅里叶变换的功能，其根本原因在）透镜具有成像和傅里叶变换的功能，其根本原因在于透镜具有对入射波前进行位相调制的功能；而透镜之于透镜具有对入射波前进行位相调制的功能；而透镜之所以具有这种位相调制的功能就在于透镜本身存在的厚所以具有这种位相调制的功能就在于透镜本身存在的厚度变化。度变化。2 2）透镜具有傅里叶变换的功能）透镜具有傅里叶变换的功能 当采用平面波垂直照明时，总可以在透镜后焦面上得当采用平面波

57、垂直照明时，总可以在透镜后焦面上得到物体的功率谱，无论物体放置在透镜前方、后方还是到物体的功率谱，无论物体放置在透镜前方、后方还是紧靠透镜；紧靠透镜； 但当用球面波照明时，频谱面不在透镜焦平面上，而但当用球面波照明时，频谱面不在透镜焦平面上，而是点光源的成像位置。是点光源的成像位置。3 3）透镜有限大小的孔径对傅里叶变换有很大的影响，）透镜有限大小的孔径对傅里叶变换有很大的影响，给傅里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。透给傅里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。透镜相当于一个低通滤波器。镜相当于一个低通滤波器。透镜的透镜的F.T.性质性质fyffxffyfx,透镜的复振透镜的复振幅透

58、过率：幅透过率：变换的空频坐标与后焦面变换的空频坐标与后焦面空间坐标空间坐标 xf, yf 的关系：的关系：)(2exp),(22yxfkjyxt物体放在焦距为物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，的透镜的前焦面，用波长为用波长为的单色平面波垂直入射的单色平面波垂直入射照明，在透镜后焦面上得到：照明，在透镜后焦面上得到：物函数物函数t(x0,y0)的准的准确的傅里叶变换确的傅里叶变换fyyffxxfyxffffffTcyxU,),(),(数学表达式：数学表达式：菲涅耳衍射的菲涅耳衍射的F.T.表达式（空域）表达式（空域）)(exp)exp(22yxffzjjkz)(2exp)exp(),(220

59、yxzkjjkzzayxU会聚球面波的会聚球面波的复振幅表达式复振幅表达式fyyffxxfyxffffffTcyxU,),(),(zyfzxfyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUyx,)(2exp),( )(2exp)exp(),(202000022)(2exp),(),(22yxfkjyxPyxt薄透镜以上述形式对薄透镜以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换的进行相位变换的条件条件是是 。只要傍轴条件满足只要傍轴条件满足有限透镜的复振幅透过率（相位变换因子）有限透镜的复振幅透过率（相位变换因子）任何衍射屏任何衍射屏, ,若其复振幅透过率可写为若其复振幅透过率可写为的形式的形式, ,都可

60、看成一个焦距为都可看成一个焦距为 f 的透镜的透镜. .fyxjk2exp22例题：广义透镜例题：广义透镜屏的复振幅透过率屏的复振幅透过率: : 问问: 1. : 1. 是否类似透镜是否类似透镜? 2. ? 2. 焦距焦距? 3. ? 3. 成像的波成像的波长特性长特性? ?lrarrtyxtcirc)cos(2121)(),(2解解:lyxyxjayxjalreelrarrtyxtjarjar2222222circ)(exp41)(exp4121circ22121circ)cos(2121)(),(22#设设a0, 分别考察圆括号中的三项分别考察圆括号中的三项:akyxjkyxja22exp