第七章 平板弯曲问题的有限元分析

1、第七章第七章 平板弯曲问题的有限元分析平板弯曲问题的有限元分析1四四 教学基本内容教学基本内容第七章第七章 平板弯曲问题的有限元分析平板弯曲问题的有限元分析 第一节第一节 引言引言 第二节第二节 基于薄板理论的非协调板单元基于薄板理论的非协调板单元 第三节第三节 考虑横向剪切变形影响的平板弯曲单元考虑横向剪切变形影响的平板弯曲单元 第四节第四节 坐标变换坐标变换 第五节第五节 总体刚度列阵和荷载列阵形成总体刚度列阵和荷载列阵形成 第六节第六节 总体刚度修正总体刚度修正 第七节第七节 求解节点位移分量、计算单元内力和应力求解节点位移分量、计算单元内力和应力2o 工程中存在广泛的板壳结构,在几何上

2、一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸,这类问题可以简化二维问题.o 基于保持Kirchhoff板（薄板）理论-直法线假定，即原垂直与中面的直线在变形后仍垂直与变形后的中面，且长度不变；o 基于考虑横向剪切变形的Mindlin平板（中厚）理论-此理论认为原来保持垂直与板中面的直线在变形后仍保持为直线，但因为横向剪切变形的结果，不一定在垂直与变形后的中面。7.1 引言引言34特别注意：弯矩特别注意：弯矩 使板的横截面使板的横截面 的一侧产生正号的一侧产生正号的正应力的正应力 时为正；正号扭矩使板的横截面上时为正；正号扭矩使板的横截面上 的的一侧产生正号的剪应力时为正，横向剪力是使板的横截面产一侧

3、产生正号的剪应力时为正，横向剪力是使板的横截面产生正号的剪应力为正。上图中符号都为正。生正号的剪应力为正。上图中符号都为正。注意注意 指向指向。1 板壳结构的内力定义板壳结构的内力定义单位长度上的弯矩、扭矩、剪力满足：,xyMM0z ,xy 0z ,xyMM2 Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形）yzwxwyxzwywxxywywx 中面法线绕x轴的转动：中面法线绕y轴的转动：薄板中面的挠度：( , )( , ,0)ww x yw x y z5直法线假定忽略厚度方向的应力中面无横向变形0 xzyz0z( , ,0)( , ,0)0u x y zv x y z进一步结合直法线假定，可以推

4、论出：( , , )( , , )yxwu x y zzzxwv x y zzzy 0z且直法线保持长度不变6基本假定和特征zxyxyuxvyuvyx222222xyxywzxwzywzx y 几何方程222222wxwywx y 7记则有中各个分量分别代表薄板弯曲在x方向和y方向的曲率，以及x和y方向的扭率PPzD D 物理方程（对于各向同性材料）z平面应力问题的弹性矩阵8xz3 Mindlin板理论 (考虑剪切变形的影响)w ()yywx xz法线保持直线，但不再垂直中面。挠度w和转角 是各自独立的场函数且它们三者之间应满足位移协调条件。9, xy0zwz0 xzyz0,0zuxwzvyw

5、xzyz 如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面oxy位于板的中面，根据假设知：w仅为x、y的函数，而与z无关，即w = w ( x , y )同时根据假定有图 7-17.2 基于薄板理论的非协调板单元（直法线假设）一 矩形单元10ywzvxwzu,ywxw,),(, ),(21yxfywzvyxfxwzu),(1yxf),(2yxf得上面两式分别对z积分，并注意 ，即与z无关，得式中 和 是x，y的任意函数。110,000zzvuywzvxwzu, 根据假设中面部产生应变的假定)，可得而 w = w ( x , y )式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以

6、看出，在平板中面各点u = v = 0，它不产生平面方向的位移，也就是中面不伸长。同时，平板中面的挠度w可以表示板内各点的挠度，因为它和坐标z无关。 (7-1)12(7-2) 利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是 yxwywxwzxvyuyvxuxyyx222222(7-3)13z yxwywxwDzDxyyx2222222100010112ED 根据薄板的简化假定，我们可以把 略去不计，于是板内各点的应力可以用挠度表示为式中 (7-5) (7-4)是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。14yx,xy yxwywxwDhdzzMMMMhhxyyx22222322212

7、从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩Mx，My和扭矩Mxy；它是由正应力 和剪应力 在板截面上的合力矩。如果Mx，My和Mxy表示单位宽度上的内力矩，于是有式中h是平板厚度。内力矩的正方向如图。(7-36)15Mhz312Mhhz226 比较(7-4)式和(7-6)式，可以得到用内力矩表示的平板应力特别是在平板的上下表面处应力为最大，它是 由以上各式可以看到，平板中面挠度w可以作为基本未知量。如果挠度w为已知，则板中位移、内力和应力均可按照上述公式计算。(7-7)16(7-8) 下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。 将平板中面用一系列矩形单元划分，得到一个离散的系统以代替原

8、来的平板，欲使各单元至少在结点上有挠度及其斜率的连续性，必须把挠度及其在x和y方向的一阶偏导数指定为结点位移（或称广义位移）。通常将结点i的位移列阵写成iiiyixiiixwywww(7-9)1矩形单元的位移模式zyxwwxyxiyi17iyixiiMMWRyx,yxMM, 与之相对应的结点力列阵可以表示为 它们的符号规定：对于挠度w和与之对应的结点力W以沿z轴的正方向为正；对于转角 和与之对应的结点力矩 方向一致为正 则按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。图7-1中标出的位移和力的方向均为正。 (7-9)18o31231131029283726524321aaaaaaaaaaaaw 对于

9、矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系 来研究单元特性。由于矩形单元的每个结点有三个位移分量，一个单元有四个结点共有十二个结点位移分量，因此我们选取含有十二个参数的多项式作为位移模式，即(7-10)19 最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上式可以算出转角为)3322(1212311210928653aaaaaaaabbwywx (7-11)3232(131221129827542aaaaaaaaaawxwy20ii,4141)(iiiiyiyixixiiiNNNwNw eNw TTTTTeNNNNN43214321 将矩形单元的四个结点坐标 分别代入(7-10)式和(7-11)

10、式，就可以得到用十二个参数表示结点位移分量的联立方程组，求解这十二个方程，从中解出a1至a12再代入(7-10)式，经归并整理后就可以改写成如下形式或者写成标准形式其中 (7-13)(7-12)21)4 , 3 , 2 , 1( iNNNNiyixii8/ )1( )1( )1(8/ )1( )1( )1(8/ )2( )1( )1(200200220000iiyiixiaNbNN00i0i0如果把形函数写成通式于是其中记号 和 分别是 ， 。(c) (7-14)22 由(7-12)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生

11、的刚性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋转是没有的。位移模式(7-10)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚体位移。再由(7-3)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个常应变状态，(7-10)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移，可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。 从(7-3)式和(7-4)式可以看出，应变和应力是有挠度w的二阶偏导数所决定。因此，如果要得到一个协调的单元还要求在单元的交界面上有

12、斜率的连续性(即C1连续性，n-1阶），这个要求经常使问题复杂化。23swnw1 342321ccccwc 由(7-12)和(7-14)式可以看出，在单元边界上挠度和挠度沿切线边界方向的偏导数，可以通过边界上的结点位移所唯一地决定，但是挠度沿边界法线方向的偏导数则不然，也就是说，w和 的值在单元交界线之间是连续的，而对于 却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向。因此我们现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。 以 的ij边界为例说明ssn1n2ij24jjyiiyjiawawww,cywj i 该边界上两端点i , j共有4个已知条件：将这4个条件代入 中，就可以完全确

13、定4个常数c1,c2,c3,c4。如果 边界 是两相邻单元的公共边界，则两个单元分别按上述4 个条件所确定的常数c1,c2,c3,c4也一定相同，即两相邻单元的公共边界、上有相同的挠度w。这表明，所选取的位移模式w满足了相邻单元的挠度在公共边界上的连续条件。25j ix231234xaaaaixibwjjxbwj ix再由式(7-10)的第一式看出，在单元 边界上的法线转角 也是x（或 ）的三次多项式上式仍需要两端点i , j有4个已知条件来确定常数a1,a2,a3,a4，但是，现在只有 和 两个条件，不可能确定出4个常数a1,a2,a3,a4。因此，板单元整个 公共边界上的法线转角 （即位移

14、法向导数）是不连续的，只有在公共边界的两端点i , j上有共同的法线转角。但是可以验证这种非协调元是能够通过分片试验（即单元满足常应变平衡要求的，所以当单元不断缩小时，计算结果也是收敛的。2631231131029283726524321aaaaaaaaaaaaw(7-10) eeBBBBB4321,2,2,222iiiiiixyiyyixxiiNNbaNababzabNbNaNzNNNzB,ixxiNN2222,iiNxN将(7-12)式代入几何方程式(7-3)，可以将单元应变用结点位移列阵表示为式中记号 等分别表示 。 (7-15)(7-16)2矩形单元的刚度矩阵27)123()123()

15、433(4120)31( )1()1(341)1( )31(0)1(341020222,0000,0000,iiiiiiiiiabNabaNbababNab)4 , 3 , 2 , 1( i 按照(c)式和(7-14)式可以算出(d)28 44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkk 221111hhjTijTiijdddabBDBdxdydzBDBk 于是单元刚度矩阵可以写成如下形式其中子矩阵的计算公式是(7-17)29ddNNNNbaNNNNNNababDkjTijTijTijTijTiij ,221111,22)1(2)1(1223h

16、ED333231232221131211aaaaaaaaakij 把(7-5)式和(7-6)式代入上式，并完成对z的积分，于是有式中 它就是弹性薄板的弯曲刚度。如果再利用(d)式把(7-18)式展开并完成全部积分，就可以得到子矩阵(7-18) (7-19) (7-20)30式中的九个元素的显式如下120220222102202213022022120022220220221151553235155323515532355414153ababaHbaababHaababaHbaababbaabHaijjjiijii31)3( )3(5)53(12)( )(155155323)( )(15)3(

17、)3(5)53(120022002332332130220223123002200222abHaaaabHaaababHaaabHabaHbajijiijjjiji(7-21) 式中jijiabDH00,6032 1111ddabNqMMWQTiyixiiei)4 , 3 , 2 , 1( iiyiixiibaqMabqMabqW3,3,20200)4 , 3 , 2 , 1( i如果平板单元受有分布横向载荷q的作用，于是等效结点力是 当q = q0为常量时，将(7-14)式代入上式并进行积分，于是得 (7-22)3矩形单元的等效结点力和内力矩计算33MM4122222222iihziBhyx

18、wywxw 最后，由(7-17)式知道，若要计算平板应力列阵 ，必需算出内力矩列阵 。而对于 的计算，只要在(7-33)式和(7-45)式中求得34 6/4122iihziBDhM,2)1()1(iiiiiiNNbaNabNbaNababzEBD)4 , 3 , 2 , 1( i 再把上式代入(7-6)式中，可以得到式中 (7-23)35)123()1()123()1()433()1()1( )31(2)31( )1(2)1(6)1(6)1( )31(2)31( )1(2)1(6)1(6)1(802022200000000000000002iiiiiiiiiabbabaabbabaababzE

19、BD)4 , 3 , 2 , 1( i 若将(d)式代入上式，则得 36392283726524321)(yxyyxxyxyxyxw 由于矩形单元在使用上受到平板形状的限制，而采用三角形单元可以较好地适应边界形状。 根据板单元每个结点三个位移，而三角形单元三个结点，于是被采用的位移模式应该包含9个参数，而x和y的完全三次多项式共计十项。若以它为基础构造位移模式，必须在其中删去一项。而三次方项删去任何一项，都不能保持对于x和y的对称性，有人建议取1三角形单元的位移模式37二 三角形单元 GGe321,LLL133221232221,LLLLLLLLL32121323222112332222133

20、3231,LLLLLLLLLLLLLLLLLL以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的。可惜在此情况下，对于二个边界分别平行于x轴和y轴的等腰三角形单元，确定 代数方程系数矩 是奇异的，因此阵 不能确定，此方案不行。还有另一种方案是将单元中心挠度w也作为一个参数，但按此方案导出的单元是不收敛的。因此，在直角坐标系中构造三角形板单元的挠度插值函数是困难的，而在面积坐标下进行这项工作可行的。 用1、2、3代替i、j、m，则面积坐标的一次、二次、三次式分别有以下各项二次 三次 38一次 (7-24)321LLL)()()(212221923121382232327216135324332211LLL

21、LLLLLLLLLLLLLLLLLLw 容易看出三次式的最后一项 （注意L3 = 1L1L2）本身和它的两个一阶偏导数，在三个角点处的值等于零，对于确定9个参数无用，因此自然可以删去而利用前面九项来构造位移模式。但是，由这个不完全的三次多项式构成的位移模式，不能保证有独立的线性项和二次项；也就是说，刚体位移和常应变准则，可能不被满足。为了这一点，可假设位移模式是 (7-25)39321,32121212221LLLLLLLLL式中前三项反映刚体位移，次三项对应于常应变。二次项只取了后三项是为了用结点位移表示参数 时考虑计算上的方便。同理，三次项不取前三项，剩下六个，只能挑选三个或进行某种线性组

22、合。为了考虑每项面积坐标对称地出现，作出了如上的最简单可行的线性组合。组合未取“+”号，是由于 所以使用加号的最简单线性组合是不合宜的。1,1LwwL2,2LwwL 为了将位移模式写成标准形式，就需要求得形函数。为了方便起见，求形函数的工作可以分成两步进行。第一步是选取w、 、作为结点自由度，求得对于它们的形函数，在这里把L3 = 1L1L2看作是L1和L2的函数。第二步是利用关系式40yxyxcbywbxwcLwcbyyywxxxwLyywLxxwLw11112223131111)()( 将第一步中所用的结点自由度变换成(7-38)式所指定的结点位移，再通过合并整理就很容易地得到形函数。式中

23、b1 = y2 y3，c1 = x3 x1。对于b2、c2的值可以用下标轮换定出。 (7-26)4119112233www，1,Lw2,Lw)2()2()4()()2()4()2()(21219213183223227161523432,21229232131832227261352431,21LLLLLLLLLLLLLLwwwLLLLLLLLLLLLLLwwwLL 现在来决定参数 到 。将三角形单元的三个结点的面积坐标代入(7-25)式，立即得到 ， ， 。利用(7-25)式计算 和 ，得到42 (7-27) 将结点的面积坐标代入上式，得六个方程如下7432,8531,7432,976431

24、,986532,8531,231322122111wwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLLLL43 (7-28)ijLw,)(21)(21)(21)(21)(21)(2122211211131123222221121113112322,219,318,327,6,5,4LLLLLLLLLLLLLLLLwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww式中表示对Li的偏导数在j点的值。从上式解得4411,1,Lww21,Lw)(2121)(21)(212121)()(212221212123121321222113211123121321222111LLLLLLNLLLLLLLLLLLLNLLLL

25、LLLLLN将上式代入(7-25)式，并归并 和 前的各项，就可以得到对应于它们的形函数。11,Lw21,Lw1x1y1x1y1xN1yN21111212111121,NcNcNNbNbNyx 利用(7-26)式，将 和 变换为 和 ，于是得到相应于 和 的形函数 和 的计算公式。45 最后得如下形式的形函数为)(21)(212121)(21)(212121)()(21222132312132213132121222132312132213132121222123121311LLLLcLLLLcLLcLLcNLLLLbLLLLbLLbLLbNLLLLLLLLLNyx(d)46) 3 , 2 ,

26、 1( iALNii212221231213223232211332321LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLNNNNyixiii用下标轮换可得结点2和3的形函数，将上式写成矩阵形式其中 (7-29)iA )(21)(21)(21)(21)(21)(21000)(21)(21)(21)(21)(21)(21000000321321321321iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTiccccccbbbbbbA而 是一个的系数矩阵，它是47 100010001333222111 31ieiieNNw式中它们分别是结点1、2和3的面积坐标。位移模式可写成如下的标

27、准形式48sw nw 可以验证在相邻单元间的挠度是连续的，但它的法向斜率仍不连续。事实上，在任何一条边上，挠度可表达成边线方向s的三次式，并且不包含与此边相对结点的结点位移（因为与它相对应的形函数在此边上等于零）。也就是说，一条边上的挠度可以由端部两个结点处的w和 所完全决定，而对于 则不然。因此这个三角形单元是一个完备的非协调单元。4922xw22ywyxw2212222212222222121212412,21LLLLTyxyxLLccbbyx在推导刚度矩阵和弯矩公式时，要计算 、 和 由于形函数是用面积坐标表示的，因此必须写出两个坐标系中的偏导数之间的关系。仍然取L1、L2作为独立坐标，

28、而L3 = 1L1L2作为L1和L2的函数，根据复合函数的求导数规则，并且利用坐标变换公式，可以得到下列两个关系式。2三角形单元的刚度矩阵50A)(2222212212211212221212221cbcbcbcbccccbbbbT 31321ieiieeBBBBB式中 是三角形的面积，而 将w的标准式代入几何方程，得单元应变列阵51,11,222,12(1,2,3)4Ai xxiii yyii xyiNNzBzNTNiNN ,112,22,124AiiLzBTLAL 式中记号 N i,11等表示 N i对于L1的两次偏导数等。将(7-29)式代入上式，得到52由于 L 是面积坐标的三次函数，

29、它的三个对L1和L2的二阶偏导数将是面积坐标的一次函数。把这三个偏导数算出后，容易把上式写成如下形式24AiizBTCA其中00000053022111000204111000240111000006002000006002000220002000060020000202020000060020000C(7-30)54 321LLL TiiiiiGGGACG321)2(2)2(2)(6)2(2)2(2)(626)2(2)2(2)(626)2(2)2(2)(611113123122221231231221iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiicbcbcccbbbG

30、cbcccbbbcbG而可以将 C Ai 乘出并记作矩阵 Gi ，于是式中(7-39)55)23(21)32(21)23(21)32(2126)32(21)32(21)32(21)32(2162)23(21)32(21)23(21)32(21622121212121213iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiccbbccbbccbbG 333231232221131211kkkkkkkkkk 若将单元刚度矩阵写成如下形式56 dxdyGTDTGhdxdydzBDBkjTTTijTiij43192TTHHHHHHHHHHT2100010133323123

31、2221131211其中子矩阵若令(7-40)57 iTTiijGdxdyHGDk416 333231232221131211HHHHHHHHHHT于是得式中D是平板的弯曲刚度。 注意到(7-38)式，上式的积分是容易计算的。实际上(7-42) (7-41)58 233231322221312121LLLLLLLLLLLLLLLTPdxdy12211121112P式中它的积分是而59 把(7-39)和(7-42)式代入(7-41)式并把它展开，可得单元刚度矩阵的子矩阵 3332321313323222121231321211113192jjjTijjjTijjjTiijGHGHGHPGGHGH

32、GHPGGHGHGHPGDk)3 , 2 , 1,(ji60式中 H 的所有元素，按(7-40)式展开21221221212222212133222222212122223223212121213113212212212121122212111)(2)(2)( )(2)()( )(2)( )(2)()()(cbcbccbbcbcbHcbHccbbcbHHccbbcbHHcbcbccbbHHcbH进行计算。61 如果平板单元受有分布横向载荷q的作用，于是等效结点力是)3 , 2 , 1( idxdyNqMMWQTiyixiiei这里以使用(d)式所示的形函数较为方便。3三角形单元的等效结点力和内

33、力矩的计算62 当q = q0是常量时，将(d)式代入上式，并积分得0213021301320132032103210321)(241,)(241)(241,)(241)(241,)(24131qccMqbbMqccMqbbMqccMqbbMqWWWyxyxyx63 iiiiiiGRGTDhM31312348)( )1()1()1()(2)(2)1(4848122122112121222221212121222221212333323123222113121123cbcbcbcbccbbcbcbccbbcbcbhERRRRRRRRRhR 对于内力矩阵，按下式计算式中(7-43)6431iiiS

34、M)()()(333232131323222121313212111iiiiiiiiiiGRGRGRGRGRGRGRGRGRS把上式代入(7-43)式并进行一系列运算之后，可以得到内力矩列阵式中sn 对于任意形状平板，它的边界条件可能是指定为沿着曲线边界切线方向的弯矩Ms或转角 和沿着法线方向的扭矩Mn或转角 ，这里所用的记号与一般平板理论书中的记号恰好相反。这里取边界的外法线方向n为正方向，而使用右手坐标系定出切线s的正方向。于是，有下列关系式存在65snyxsnyxMMcsscMMcssc,式中c、s是外法线n方向对于x和y轴的方向余弦。 利用上式可以对刚度矩阵作某种变动，使之达到结点位移

35、和结点力的变换，从而直接利用曲线边界上的边界条件。这种变动可以在单元刚度矩阵中进行，也可以在整体刚度矩阵中进行。66nwyxw222xw 上述矩形单元和三角形薄板单元都是非协调元，且都会产生在单元公共边上的法线转角 （或法向斜率 ）不连续问题。为了实现薄板单元的协调性（协调板元或保续板元），完善板元的计算理论和提高计算精度，人们做了大量研究，提出了很多方法。其中一种方法是增加单元结点自由度数目，例如在矩形板元的每个结点上增加一个扭率 ，使单元变成16个自由度的协调板单元；在三角形板单元中每个结点上增加 、 、 做为结点自由度，且在每边中点取其法线斜率 做为结点自由度、而构造出21个自由度的协调

36、三角形板单元。 22ywyxw2nw677.3 考虑横向剪切变形影响的平板弯曲单元 另一种方法，是将三角形（或四边形）板单元划分为3个子三角形，把每个三角形各边中点的法线斜率 做为自由度，每个子三角形都有12个自由度，使各子三角形板元之间协调，然后再根据原三角形板元内部的连续性和限制条件，利用“凝聚法”消去内自由度，从而构造出协调的三角形板元 （12个外自由度，3个内自由度）或协调的四边形板元。nw68 第一种方法的明显缺点：在实际应用时涉及到高阶导数的自由度的边界条件，难以处理；它不是一种普遍适用的方法，在某些板问题中，曲率或扭率在结点上不一定连续，在有限元计算中强令其连续，当然会使所得结果

37、不可能收敛到精确解。 第二种方法在SAP-5程序中得到应用。但该法的计算公式比较复杂，消去每个单元的内自由度的凝聚过程所耗计算时间比较长。 在板弯曲问题的有限元法中，构造协调元的困难是单元公共边上的法向转角 的连续性难以满足，如果考虑板横向剪切变形的影响，放弃经典薄板理论中的中面法线n-n始终保持为直线的假设，就可以绕开这个困难，而使板问题的有限元分析前进一步。nw69xyxwywyx, 一般来说，板变形前的中面法线n-n，在变形后将变成一条曲线，但可以近似地用一条直线n2-n2表示，n2-n2线已不是经典薄板理论中变形后的中面法线n-n。此时，n2-n2线绕x轴和y轴的转角仍用 和 表示，但

38、 。 经典薄板理论中的其它两个假设，仍然有效。70),(,yxwwzvzuxy yxxyxxyyyxxyzxyzxyyxwwzzzzuxwzvywxvyuyvxu,)( 根据上述假定，板内任意点的3 个位移分量具有如下形式把上式代入几何方程式，可以得到平板应变列阵是(7-45)(7-44)71 DTzxyzxyyx2100EED2100211,2100010112221EEEE 通过应力应变关系，可以得到应力列阵如下式中弹性矩阵是而它的子矩阵(a) (7-46) (7-47)72xy 由(7-46)式看到，平板的变形完全是由中面挠度w及其法线绕x轴和y轴两个转角 和 所决定。在每个结点上取它们

39、作为自由度，构造一个八结点平板单元，它与第三章的八结点等参元密切相关。 对于八结点平板单元，要确定它的形状除了单元中面的形状外，还需要知道单元厚度h。中面的形状可以通过坐标变换式(3-2)由八个结点坐标来确定，而单元的厚度可以利用形函数表达式(3-1)通过八个结点处的厚度近似地用插入法确定出。显然，自然坐标系是位于板中面内的一种曲线坐标。73xy818181,iyiiyixiixiiiNNwNwyixiiiiiiwNzNzNwvu81000000 中面上任意点的挠度w以及法线转角 和 ，同样可以利用(3-1)式所表示的形函数由结点值进行插值得到，即代入(7-44)式，于是得到位移模式如下容易看

40、出单元是协调的。这里没有必要引进第三个自然坐标 ，因为引进它并没有带来任何方便，显然 = 2z/h。 (b)74 eiiiBB81 21821iiiTTTTeTyixiiiBBzBw 将(b)式代入(7-45)式。可以得到用结点位移列阵表示的应变分量式中(7-50)(7-49)75而ixiiyiiyixiyixiiNNNNBNNNNB0000000,2,1 (7-51)76 eSD 821SSSS 2211iiiiBEBEzBDS 将(7-49)式代入(7-46)式，可以作出用结点位移列阵表示的应力分量式中而77由此按定义可以计算内力，它的表达式如下81,42281,42281,32281,2

41、,12281,1,222)()()()()(iyiiixihhzxxixiiiyihhyzyiyiyixixihhxyxyiyixixiyihhyyiyixixiyihhxxNwNDdzQNwNDdzQNNDdzzMNDNDdzzMNDNDdzzM78式中)1(2,)1(24,)1(1243312231hEDhEDDDhED (7-52) 将单元刚度矩阵写成如式的形式，其中子矩阵可以按下式计算 dxdyBEBhBEBhdxdydzBDBkjTijTijTiij222111312(7-53)79若命 222111333323123222113121112jTijTiBEBhBEBhHHHHHHH

42、HHH于是，(5-64)式可以写成)8 , 2 , 1,(1111 jiddJHkij80JjiyjyixjxixjyiyjxixjxixjyiixjjxiiyjjyijixjxiyjyixjxiyjyiNNDNNDNNDHNNDNNDHNNDNNDHNNDHNNDHNNDHNNDHNNDNNDNNDHNNNNDH4,3,133,3,232,3,223,431,413,421,4124,3,122,411,)(式中 是雅可比行列式，它可以按照(3-8)式计算。对于矩阵 H 中的元素81)8 , 2 , 1,(1111 jiddJNqWii)8 , 2 , 1()()(idxmdymNMdxmd

43、ymNMsniyisnixi 对于等效结点力的计算，如果平板表面作用着横向分布载荷q(x,y)，于是对应的等效结点力是 当平板边缘作用着分布的弯矩和扭矩时，可以仿照3-1中的处理边界分布力的方法进行，得到等效结点力的计算公式 式中mn和ms分别表示边缘分布扭矩和弯矩。mn的旋转矢量方向是边缘外法线方向，而ms的旋转矢量方向是边缘的切线方向。坐标onsz是右手坐标系。82)8 , 2 , 1,(jidspNWiinsn 如果在平板边缘作用着分布剪力p，它的等效结点力是 对于典型边界条件 简支边，w = 0，Ms = 0， = 0； 固支边，w = 0， = 0， = 0；式中Ms表示旋转矢量方向沿边缘切线的力矩，Mn表示旋转矢量方向沿边缘外法线方向的力矩。W表示沿z方向的横向剪力。 应该指出，上面方法可用于计算厚板弯曲，也可用于薄板。用于计算薄板弯曲时，求单元刚度阵所涉及的高斯积分的阶数可取为2。自由边，Ms = 0，Mn = 0，W = 0。简支固支自由8302ThzT 2hz TeeDhzTSDSD000112)(000 对于变温应力问题，假设温度变化沿板厚为线性分布其中T0是平板上表面 处的温度。 其应力应变关系应改写成84式中 D 由公式(7-56)所确定； S 仍由公式(d)计算。关于内力的表达式应改写为81,481,481,321081,2,121081,1,