统计学第五章参数估计

1、第5章 参数估计1第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 统计数据的描述统计数据的描述第四章第四章 抽样与抽样分布抽样与抽样分布第五章第五章 参数估计参数估计第六章第六章 假设检验假设检验第八章第八章 相关与回归分析相关与回归分析第九章第九章 时间序列分析时间序列分析第十章第十章 统计指数统计指数 第十一章第十一章 统计决策统计决策第5章 参数估计2案例：食品的包装质量检查案例：食品的包装质量检查 某食品公司生产的某规格袋装食品，产量基本保持稳定，规定每袋食品合格重量不低于100g。为对产品包装质量进行检测，该公司质检部门采用抽样技术：每天抽取一定数量的食品，检测袋装重量是否符合要求。现某一天生产

2、的一批8000袋食品中采用不重复抽样，随机抽取了25袋检查。 通过样本观测分析发现，平均每袋重量105.36g，检测人员以95%的把握程度确信，该整批食品重量在101.45109.27g之间，且估计误差不超过4g。 第5章 参数估计3学习目标学习要求：学习要求：理解参数估计的两种方法 2类抽样误差的实质及计量掌握参数估计的优良评判标准 单一总体参数的区间估计方法 样本容量的确定学习重点：学习重点：估计量的评判标准单一总体参数的区间估计学习难点：学习难点：单一总体参数的区间估计第5章 参数估计4第五章 参数估计 (Parameter estimation）第二节 单一总体参数的区间估计第三节 样

3、本容量的确定第一节 参数估计的一般问题第5章 参数估计5第一节 参数估计的一般问题二、参数估计的两种方法一、估计量与估计值第5章 参数估计6一、估计量与估计值1 1、估计量、估计量( (estimatorestimator) )：用来估计总体参数的统计量。估计量：总体参数：2、估计值（estimated value）：根据某一样本数据计算出的指定估计量的具体数值。随机变量随机变量，具有自己的分布第5章 参数估计7二、参数估计的两种方法（一）总体参数的点估计（point estimation）（二）总体参数的区间估计（interval estimation）第5章 参数估计8（一）总体参数的点估

4、计（一）总体参数的点估计（point estimationpoint estimation）1 1、含义：、含义：利用样本计算的估计值直接作为直接作为对应总体参数的取值。例如: 用样本均值或中位数作为总体均值的估计值，用样本比率作为总体比率的估计值，用修正样本方差作为总体方差的估计值。2、实质：抽样分布曲线上的一个确定数值（点）该估计值能不能直接作为真实的总体参数使用该估计值能不能直接作为真实的总体参数使用? ?第5章 参数估计93 3、估计量的优良性准则（点估计）、估计量的优良性准则（点估计）（1 1）无偏性（）无偏性（unbiasednessunbiasedness）：）：估计量抽样分布的

5、数学期望（均值）数学期望（均值）等于被估计的总体参数。即：E() 可以证明，样本均值、样本比率、修正样本方差分别是总体均值、总体比率、总体方差的无偏点估计。无偏无偏有偏有偏( )P第5章 参数估计10样本均值的分布样本均值的分布样本中位数的分布样本中位数的分布例：与正态分布的中位数相比，样本均值是有效估计量（2 2）有效性（）有效性（efficiencyefficiency）基于相同样本容量相同样本容量计算的两个无偏无偏估计量来说，方差方差较小较小的那个为有效估计量。即：若两个无偏估计量，存在12Var() Var()，则前者为有效估计量。 ( )P第5章 参数估计11（3 3）相合性（一致性

6、）（）相合性（一致性）（consistencyconsistency）样本容量越大，估计值越接近被估计的参数。AB小样本容量小样本容量大样本容量大样本容量 P(X )X第5章 参数估计12优点： 参数与估计量结构设计一致 计算简单，直接缺点： 没有刻画参数与对应估计值之间的误差 没有给出样本与总体之间估计的把握水平（置信度） 4、点估计的特点：第5章 参数估计13（二）总体参数的区间估计（二）总体参数的区间估计（interval estimationinterval estimation）1 1、含义：、含义：在对参数点估计的基础点估计的基础上，以一定的置信一定的置信度度估计出包含估计量与参数

7、二者误差信息的区间区间。3、实质： 2 2、置信度（、置信度（confidence levelconfidence level）：）：表明估计量和总体参数的误差不超过一定范围的概率概率，记为1-。显著性水平显著性水平形式：估计值-允许出现的误差，估计值+允许出现的误差样本随机性估计量：随机变量估计量：随机变量（抽样分布）（抽样分布）估计误差：估计误差：随机变量随机变量第5章 参数估计144、原理：在一定概率下估计出包含参数在内的某一抽样分布的区间均值的抽样分布均值的抽样分布xx-Ex+Ex理论上进行多次抽样，估计参数时会有多大的概率使给出的估计区间包含真实参数在内？02/Z常用Z与置信水平的对

8、应关系（双边显著性水平）Z=1， P =0.6827; Z=1.64， P=0.9；Z=1.96，P=0.95; Z=2，P=0.9545; Z=2.58，P=0.99; Z=3，P=0.9973/xZn/2xZn1-既定Z12/2/2/-Z68.27%x+x-x+2x-295.45%x第5章 参数估计175、区间估计的基本思路：思路：利用实际抽样资料，计算出待估总体参数值在给定置信水平下的上限和下限，即参数可能存在的区间范围。 对于总体参数，计算出样本的两个估计值1和2，使被估计指标 落在区间1，2内的概率为1-，即P（ 1 2 )=1一。则称区间1，2为总体指标的置信区间，其估计置信水平为

9、1一，称为显著性水平，1是置信下限， 2是置信上限。第5章 参数估计18第二节 单一总体参数的区间估计一、抽样误差二、单一总体参数的区间估计第5章 参数估计19一、抽样误差（Sampling error）（一）有关误差的概念1、抽样误差：是指由于随机抽样的偶然因素使抽样估计值与总体参数之间存在的偏差。2、分类：l抽样平均误差：反映抽样误差一般水平的指标。 实质：估计量抽样分布的标准差l抽样允许误差：极限误差，抽样允许的最大误差 实质：估计区间的半径第5章 参数估计20（二）抽样平均误差（二）抽样平均误差(Mean sampling error)不重复抽样下，样本均值的抽样平均误差和总体离散程度

10、、样本容量、总体容量有关：重复抽样下，样本均值的抽样平均误差与总体离散程度以及样本容量大小两个因素有关：1、样本均值x的抽样平均误差第5章 参数估计212、样本比率p的抽样平均误差在不重复抽样的条件下，样本比率的抽样平均误差和总体离散程度、样本容量、总体容量有关：在重复抽样的条件下，样本比率的抽样平均误差与总体的离散程度以及样本容量大小两个因素有关 ：第5章 参数估计223、抽样平均误差所反映的内容可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。 重复抽样条件下，样本均值（比率）分布的平均误差仅为总体标准差的 1n，不重复抽样时误差更小。4、影响抽样误差大小的因素：1）总体离散程度2）样本容量n3）抽

11、样方法4）抽样调查的组织形式第5章 参数估计23例例1 1：假定重复抽样方法下，样本容量增加：假定重复抽样方法下，样本容量增加 2 2 倍、倍、0.50.5倍时，抽样平均误差怎样变化？倍时，抽样平均误差怎样变化？解解：抽样单位数增加：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的倍，即为原来的 3 倍倍则：则：抽样单位数增加抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的倍，即为原来的 1.5倍倍则：则：10 57733xxx.n即：即：当样本单位数增加当样本单位数增加2 2倍时，抽样平均误差为原来的倍时，抽样平均误差为原来的0.5770.577倍倍。即：即：当样本单位数增加当样本单位数增加0.50.5倍时，抽样平均

12、误差为原来的倍时，抽样平均误差为原来的0.81650.8165倍倍。10 81651 51 5xxx. n.第5章 参数估计24（三）抽样允许误差（三）抽样允许误差(Ultimate sampling error)(Ultimate sampling error)1、含义：进行区间估计时，对应于一定置信水平下允许出现的最大误差允许出现的最大误差范围。 称为总体均值的估计区间或置信区间。 称为总体比率的估计区间或置信区间。2、抽样允许误差的表示：xEpE第5章 参数估计25（四）抽样抽样误差与抽样平均误差的关系（四）抽样抽样误差与抽样平均误差的关系以重复抽样为例，样本均值正态标准化后，满足：/2

13、/xxxEEZn10/2Z/2Z22第5章 参数估计26二、单一总体参数的区间估计（一）总体均值或比率的区间估计（大样本下）（一）总体均值或比率的区间估计（大样本下）大样本条件下，无论总体服从何种分布，根据大样本条件下，无论总体服从何种分布，根据CLTCLT，都可以构造都可以构造正态分布正态分布进行参数估计。总体标准差进行参数估计。总体标准差如果未知，则用样本修正方差进行点估计。如果未知，则用样本修正方差进行点估计。(0,1)xxZN(0,1)ppZN第5章 参数估计271 1、已知抽样允许误差，估计给定误差下的区间、已知抽样允许误差，估计给定误差下的区间抽取样本，计算样本估计量计算样本估计量

14、（如均值或比率），作为相应总体参数的点估计值。若总体标准差已知，进入下一步。否则， 计算样本标准差以推算抽样平均误差计算样本标准差以推算抽样平均误差。根据给定的抽样极限误差，估计参数的区间估计参数的区间下限和上限，给出估计区间。将抽样极限误差除以抽样平均误差求求Z Z值值，查标准正态分布概率表求出相应的置信水平置信水平。给出结论结论。 第5章 参数估计28例2：对某型号电子元件进行耐用性能检查，抽查的资料分组列表如下，要求耐用时数的允许误差为10.5小时，试估计该批电子元件的平均耐用时数。总体均值的区间估计（已知抽样允许误差）12251175112510751025 975 925 875组中

15、值x100合计 11200以上 31150-1200 91100-1150 431050-1100 351000-1050 6950-1000 2900-950 1900以下 元件数f耐用时间（小时）105550 1225 3525 10125 46225 35875 5850 1850 875xf269475.0028730.2542840.7543472.2516350.7532558.7538881.5034060.5032580.25（x-x）2f第5章 参数估计29解：依据已知计算样本均值和标准差作为总体均值和标准差的点估计值： 因此可以作如下估计，即以概率为95.45%的保证程度，

16、估计该批电子元件的耐用时数在1045-1066小时之间。根据给定的抽样允许误差，构造总体均值的估计区间：计算z值：计算样本均值的抽样平均误差：下限为上限为对应置信水平为0.9545。第5章 参数估计30抽取样本，计算样本估计量计算样本估计量（均值或比率），作为相应总体参数的点估计值。若总体标准差已知，进入下一步。否则， 计算样本标准差以推算抽样平均误差计算样本标准差以推算抽样平均误差。根据给定的置信水平,反查标准正态分布概率表得到Z Z值值。用抽样平均误差乘Z值计算抽样极限误差计算抽样极限误差，估计参估计参数的区间数的区间下限和上限，给出估计区间。得出结论结论。2、已知置信水平，估计给定概率下

17、的区间、已知置信水平，估计给定概率下的区间例3：某纱厂某时期内生产10万个单位的纱，按随机不重复抽样方式抽取2000个单位检验，结果合格率为95%。试以95%的把握程度，估计该批纱合格品率及合格品数量的区间范围。解：已知100000N2000n95p% %51 p110 950 052000120001000000 48pppNnnN.().%21 960 480 94p/pEZ.%.%合格率区间下限：0 9 50 0 0 9 49 4 0 6ppE.%合格率区间上限：0 9 50 0 0 9 49 5 9 4ppE.%因此以95%的置信水平估计该批纱合格率在94.06%和95.94%之间，合

18、格品数量在9406095940个之间。合格品数量上限：个）(94060%06.94100000 x个）(95940%94.95100000 x合格品数量下限：样本比率的抽样平均误差：195% 由得Z/2=1.96第5章 参数估计32（二）总体均值的区间估计（小样本下）（二）总体均值的区间估计（小样本下）小样本条件下，总体若服从正态分布，但标准差未小样本条件下，总体若服从正态分布，但标准差未知，则构造估计量的知，则构造估计量的t t分布进行参数估计。分布进行参数估计。 (1)/xtt nsn1 0/ 2t/ 2t22第5章 参数估计33正态分布的小样本条件下，均值区间估计步骤：正态分布的小样本条

19、件下，均值区间估计步骤：抽取样本，计算样本估计量计算样本估计量（如均值或比率），作为相应总体参数的点估计值。计算样本标准差计算样本标准差。根据给定的置信水平和自由度，反查t分布概率表，确定t值。估计参数的区间估计参数的区间下限和上限，给出估计区间。给出结论结论。应用：P140第5章 参数估计34根据置信水平和自由度，根据置信水平和自由度，推算推算 分位数分位数。（三）总体方差的区间估计（三）总体方差的区间估计抽取样本，抽取样本，计算修正样本方差计算修正样本方差，作为总体方差的，作为总体方差的点估计值。点估计值。2给出给出估计区间估计区间222210 21给出给出结论结论。22222122(1)(1),(1)(1)nsnsxnxn解：依