第17章 分析力学基础

1、第十七章 分析力学基础1 自由度和广义坐标一、自由度在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。以质点作为质点系基本单元质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度为N = 3n s对平面问题，如Oxy平面内，zi0，则N = 2n sxyolM222lyx如单摆，n = 1，s = 1， N = 211=1 C以刚体作为质点系基本单元质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度为N = 6n s对平面问题，如Oxy平面内，zi0， x0， y0，则N = 3n sx oyxCPvCyC = rvCr=0如轮C在水平轨道上纯滚动 自由度数为刚体数n = 1，约

2、束数s = 2，N = 31 2 = 1 再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。 约束方程自由度数为 刚体数n = 2，xyoAB12l1l222222122)()(00lyyxxlyxyxABABAAoo约束数s = 4，N = 32 4 = 2 二、广义坐标 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。 确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。xoylrAB如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、 yA 、 xB之一为广义坐标，而选 更方便。0sincossincos222BBAAyrlrxryrx 再如平面双摆有两个自由度，选 1 、 2为广义坐标比较合适。 约束方程

3、xyoAB 1 2l1l2221122111111sinsincoscossincosllyllxlylxBBAA推广可得： 选广义坐标q1， q2 ，qN ，则各质点的坐标 若质点系有n个质点，s个完整约束组成，则自由度为N = 3n s。),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),2, 1(ni对上式中第一式求变分，则NNiiiiqqxqqxqqxx2211质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之间的关系为Nkkkiqqx1Nkkkiiqqxx1Nkkkiiqqyy1Nkkkiiqqzz1),2, 1(ni 式中qk 称为广义虚位移。2 以广义坐

4、标表示的质点系平衡条件 将式NkkkiiNkkkiiNkkkiiqqzzqqyyqqxx111),2, 1(ni代入虚功方程0)(1niiiiiiiFzZyYxXW得：于是得niiiiiiiFqqzZqyYqxXW11111niiiiiiiqqzZqyYqxX12222niNNiiNiiNiiqqzZqyYqxX1令nikiikiikiikqzZqyYqxXQ1),2, 1(Nk则01NikkFqQWQk用于质点系上的主动力对应于广义坐标qk的广义力。qk广义虚位移 以广义坐标表示的质点系平衡条件为01NikkFqQWQ1 = Q2 = = QN = 0广义虚位移qk相互独立，若上式成立，则质

5、点系的平衡条件是：所有的广义力都等于零。计算广义力的方法解析法：用公式直接计算几何法：令qk 0，其余各广义坐标均不给虚位移， 则nikiikiikiikqzZqyYqxXQ1),2, 1(Nk01kkNkkkFqQqQW0kFkqWQ),2, 1(Nk例17-1：已知图示双摆中均质杆OA的长度、重量分别为l1、W1，AB的长度、重量分别为l2、 W2，并在B端作用一水平力P。试求此双摆在铅直面内的平衡位置。xyPW1W2oAC1C2B12 见后续例17-1续：已知杆l1、l2、W1、W2，及水平力P。求此双摆的平衡位置。解一PW1W2xyo12双摆是两个自由度系统，取 1、 2为广义坐标，则

6、取固定坐标系Oxy，2211sinsinllyB求变分得：222111coscosllyBBAC1C2各主动力在坐标轴上的投影为X1 = W1 ，111cos5 . 0lxC22112cos5 . 0cosllxC1111sin5 . 0lxC2221112sin5 . 0sinllxCX2 = W2 ， YB = P 见后续由虚功方程即0)(iiiiyYxX)sin5.0(1111lW111211)sin)5 . 0(cos(lWWP得 1 、 2彼此独立，0sin)5 .0(cos1211WWP解得,22arctan211WWP上式中1、2前的系数须分别为零，222arctanWPP12B

7、AC1C2xyoW1W2例17-1续即已求得0sin5 .0cos222WP)sin5.0sin(2221112llW0)coscos(222111llP0)sin5 . 0cos(22222lWP 见后续解二今给 10， 20，xyPW1W2oAC1C2B12 1111coslyB1111sin5 . 0lxC1112sinlxC系统在这组虚位移中的虚功方程为：0sin)5.0(cos111211lWWP0sin)5.0(cos1211WWP21122arctanWWP11l115 . 0l则11l1 1 1 1例17-1续 见后续再给20， 10， xyPW1W2oAC1C2B12 222

8、2coslyB01Cx2222sin5 . 0lxC系统在这组虚位移中的虚功方程为：0)sin5.0cos(22222lWP0sin5.0cos222WP222arctanWP222l例17-1续225 . 0l 见后续解二给出两组虚位移，直接求主动力的虚功并写出虚功方程。xyPW1W2oAC1C2B12 10)sin)5 .0(cos(111211lWWP0sin)5 .0(cos1211WWP21122arctanWWP给10， 20，则系统在这组虚位移中的虚功方程为：111cosPl rC1 rA rC2 rBBFWrP解得 见后续11CrW022CrW111sin5 . 0lW 0si

9、n1112lW 再给20， 10，则系统在这组虚位移中的虚功方程为：xyPW1W2oAC1C2B12 20)sin5 .0cos(22222lWP0sin5.0cos222WP222arctanWP022CBFWrWrP222cosPl rC2rB解得0sin5 .02222lW 如何研究较复杂的非自由质点系的动力学问题？ 引 言12摆长不定，如何确定其摆动规律？K混沌摆问题多杆摆问题3 动力学普遍方程达朗贝尔（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的达朗贝尔原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题）；约翰伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理（建立虚

10、位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的平衡问题）；拉格朗日应用达朗贝尔原理，把虚位移原理推广到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进一步导出了拉格朗日方程。 动力学普遍方程是虚位移原理与达朗贝尔原理简单结合的产物。设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，受力加速度为ai虚加上其惯性力Fgi=miai则根据达朗贝尔原理， Fi 、FNi 与Fgi应组成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +Fgi= 0若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有或(171)0)(1niigiirFF0)(1niiiiimraFFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiF

11、iFi约束反力FNi主动力Fi在理想约束条件下，质点系的各个质点在任意瞬时所受的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和等于零。即则D-L方程的坐标分解式为01niiiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX , kjiFiiiiZYX, kjiiiiizyxa , kjiriiiizyx若动力学普遍方程或达朗贝尔-拉格朗日方程（D-L方程）0)(1niiiiimraF(172)例17-2 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为的斜面上纯滚动。求连杆的加速度。 见后续例17-2续已知轮m1，r，J，纯滚；杆m2，求杆a。解：研究整

12、个系统，进行受力分析；m2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMg虚加各刚体的惯性力。设杆的加速度为a，则Fg1= m1a，Fg2= m2a，a,raJJMg给连杆以平行于斜面向下的虚位移s，则相应地两轮有转角虚位移，且rs根据动力学普遍方程，得ssamm)2(21sgmmsin)2(2102rsraJ于是sgmmsin)2(21sFFgg)2(2102gM解得gJrmmrmma2)2(sin)2(221221m2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2

13、Fg1MgMgas解毕。解毕。4 拉格朗日方程将动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，即可推导出 第二类拉格朗日方程。拉格朗日拉格朗日 （Lagrange 1736 1813）法籍意大利人，数学家、力学家、天文学家，十九岁成为数学教授，与欧拉共同创立变分法，是十八世纪继欧拉后伟大的数学家。 设质点系由n个质点组成， 用q1，q2，qN表示系统的广义坐标，D-L方程可写成011niiiiniiimrarF对上式求变分得ttqqqqqqiNiiiiN2211rrrrrNikiqq1kr ri= ri(q1，q2，qN，t)(173)上式中nikNkkiiiniiiiqqmm111rrra Nkkni

14、kiiiqqm11rr (174)第i个质点质量为mi，矢径为ri。则具有s个完整理想约束，则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。广义力 根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有 因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广标的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有NkkkniiiqQ11 rFniiiiniiim11rarF01nikiiikqmQrr (175)广义惯性力以广义坐标表示的达朗贝尔原理广义力广义虚位移011kNknikiiikqqmQrr (k =1，2，N)对式nikiiinikiiinikiiiqdtdmqdtdmqm111rvrvrr kiiikiiikiiiq

15、dtdmqdtdmqdtdmrvrvrvkiiikiiiqdtdmqmrvrr nikiiinikiiinikiiiqdtdmqmqdtdm111rvrrrv (176)01nikiiikqmQrr 中广义惯性力进行变换：将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P282）代入得kikiqqrrkikiqqdtdrr(177)(178)nikiiinikiiinikiiiqmqdtdmqm111vvvvrvniiiiknikiiimqqmdtd1121vvvvniiikniiikmqmqdtd12122121vvTqqTdtdqmkkkiniiirv1(1710)所以将式（17-10）代入式（17-

16、5）得 这就是第二类拉格朗日方程，), 2 , 1(,NkQqTqTdtdkkk(1711) 若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力），kkqVQ于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成), 2 , 1(,NkqVqTqTdtdkkk(1712)是一个方程组，该方程组的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方程。揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即L = TV(1713)L称为拉格朗日函数或动势。势能V仅仅是广义坐标qk的函数，而与广义速度无关，有, 0kqV 于是，在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的

17、形式为), 2 , 1(0NkqLqLdtdkk(1714)对保守系统，拉格朗日方程可写成), 2 , 1(,NkqVqTqTdtdkkk 拉格朗日方程的形式), 2 , 1(,NkQqTqTdtdkkk), 2 , 1(0NkqLqLdtdkk 在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为 拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。 拉格朗日方程形式简洁，应用时只需计算系统的动能和广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。 拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本变量，是用广义坐标表示的质点系运动微分方程。对受完整约束的多自由度质点系的平衡

18、问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。同理，对受完整约束的多自由度质点系的动力学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日第二类方程，或简称拉格朗日方程。拉格朗日方程概述拉格朗日方程概述拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述，为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷径。这里从能量原理中的功率方程出发，采用广义坐标，推导拉格朗日方程。

19、由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点研究系统的动力学问题，而能量是自然界各种不同物理形态的物质运动的统一度量，因此，拉格朗日方程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系统，也适用于电学系统和机电系统的动力学问题。拉格朗日方程概述续设质点系由n个质点组成，各质点系的速度则为jq ), 2 , 1(),(21niqqqNii rr) 1 (1Nkkkiiiqqrrv所以vi是广义速度的齐次线性函数。kq 其中kiqr是广义坐标的函数，设质点系中第i个质点的质量为mi，位置矢径为ri，系统受s个定常的完整的理想约束， 因此有N =3n-s个自由度。用k个广义坐标q1、q2、qn表示质点的位

20、置。由于约束是定常的，所以矢径ri 仅是广义坐标的函数用功率方程推导拉格朗日方程用功率方程推导拉格朗日方程又系统的动能T为其中niiimT1221v NkNllknilikiqqqq11121rrNkNllkklqqm1121nilikiklqqm1rr 称为广义质量，是广义坐标的函数。现令系统的动能为T，功率为P，则功率方程为)2(1niiiPdtdTvFniNllliNkkkiiqqqqm11121rr所以，在定常约束中，动能T不是时间t的函数，仅是广义坐标和广义速度的函数。),;,(21212111NNNkNllkklqqqqqqTqqmT 将上式对时间求全微商，有NkkkNkkkqqT

21、qqTdtdT11 NkkkNkkkNkkkqqTqqTdtdqqTdtd111TqqTNkkk21) 3 (1NkkkkkqqTqqTdtddtdT又由于动能T仅含的二次项，kq 代入上式可得根据欧拉齐次函数定理将系统的动能T写成一般式是广义速度 的齐二次函数。kq 再看功率方程的右边，功率为iniiPvF 1根据虚位移原理中广义力Qk的表达式可知nikiikqQ1rF所以)4(1NkkkqQP将(3) (4)式代入(2)式并移项可得)5(01kNkkkkqQqTqTdtd将(5)式改写成)6(01kNkkkkdqQqTqTdtdkNkkiniiqq11rFkNknikiiqq11rF对受定

22、常约束的系统，微小的实位移必为虚位移中之一，即dqk必为qk之一，01kNkkkkqQqTqTdtd但因各广义坐标qk是彼此独立的，为使上式在各qk具有任何值都能满足，必须0kkkQqTqTdtd)7(),.,2 , 1(Nk 即kkkQqTqTdtd上式即为以广义坐标表达的质点系运动微分方程，称为拉格朗日方程。为了使系统在任何初始条件下可能发生的位移都能满足方程（6），就必须用拉格朗日方程解题的步骤： 确定系统的自由度数（广义坐标数）； 选广义坐标； 计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能； 计算广义力（对保守系统可计算势能）； 代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。例17-3 位于水

23、平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质系杆OA，可绕O轴转动，另一端装有质量为m2、半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时，求系杆的角加速度。 见后续rRMMO AM例17-3续 已知杆m1；轮m2，r；R；力偶M。求OA。解：研究整个系统，选广义坐标 ，则 OAOA行星轮瞬心为P，)(rRvArrRrvAA)( 系统的动能为221OJT = TOA+ T轮221)(3121rRm2221)(92(121rRmmARMrO 2222121AAAJvm22222222121)(21rrRrmrRm 见后续P P P角速度为vAvAvA例17-3续已求得用

24、广义坐标表示的系统动能为2221)(92(121rRmmTO AvARMr又关于广义坐标的广义力为FWQMM代入Lagrange方程：QTTdtdMrRmm 221)(92(61于是得221)(92(6rRmmMOA ,2)(92(121221rRmmT 221)(92(61rRmmTdtd0T解毕。解毕。O例17-4 质量为m的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端绕在半径为R的固定圆柱上。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l。求此摆的运动微分方程。 见后续Rml l lRlO例17-4续1m已知m；R ； l；求摆的运动微分方程。m解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标 ，系统的动能为22)

25、(21RlmT选 =0处为系统势能的零势点，则V = mg (l+Rsin)(lR)cos 系统的动势为VTL,)(2RlmL 22)()(2RlmRlmLdtdsin)()(2RlmgRlmLcos)()sin()(2122RlRlmgRlm 见后续例17-4续2 22)()(2RlmRlmLdtdsin)()(2RlmgRlmL已求得0LLdtd将式、代入保守系统的拉氏方程得摆的运动微分方程0sin)(2gRRl 解毕。O O O例17-5 已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质量为m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动；求三棱柱的加速度。 见后续OO解(设圆柱O的半径为r)

26、21121xmT选x1、x2为广义坐标，x1x2O1x 1x 2x 则三棱柱速度为,1x 圆柱中心的速度为 cos22122212xxxxvO圆柱的角速度为rxO2vO系统具有两个自由度，o1o2所以，系统的动能为21121xm cos43)(212122222121xxmxmxmm2222121OOOJvm)cos2(212122212xxxxm22222121rxrm 见后续加速度为1x 例17-5续1 已知三棱柱m1；圆柱m2，纯滚动；求三棱柱的加速度。x1x21x 1x 2x vOx1x21x 1x 2x vOx1x21x 1x 2x vOx2x2x2x2系统关于广义坐标x1 、x2的

27、广义力分别为：系统受力如图，例17-5续2已求得系统的动能为cos43)(212122222121xxmxmxmmTx1x2Oo1o21xTdtd2xTdtd01xT02xTm1gFN, 011xWQFx22xWQFxm2gx1222sinxxgmsin2gm,111xQxTxTdtd,222xQxTxTdtd0cos)(22121xmxmm sincos2321222gmxmxm 联立解得：222121cos2)(32sinmmmgmx 2221212cos2)(3sin)(2mmmgmmx ,cos)(22121xmxmm ,cos231222xmxm 代入L程：m1gFNm2gx1m1g

28、FNm2gx1m1gFNm2gx1例17-6 图示均质杆AB质量为m1，长为3l，B端铰接一质量为m2，半径为r的均质圆盘。杆AB在O处为铰支，两弹簧的刚性系数均为k；杆在水平位置平衡。求系统微幅振动的固有频率。 见后续Okkllll2rACB例17-6续1 已知杆m1，长3l；盘m2，半径r，弹簧k。求：系统微幅振动的固有频率。解系统具有两个自由度，且为保守系统。选1、2为广义坐标，OkkllllACB2r12则杆的角速度为,1圆盘的角速度为 ,2所以，系统的动能为2121OJT22222121BBJvm2121212)3(12121lmlm22222122121)2(21rmlm22222

29、122141)4(21rmlmm 见后续1212系统的势能为OkACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1重力与振动方向相同，系统受力如图，例17-6续2 已求得22222122141)4(21rmlmmT2121)(21)(21lklkV212kl系统的动势为VTL21222222122141)4(21klrmlmm1Ldtd1221)4( lmm 1212klL2Ldtd22221 rm02L 见后续F1F2F1F2F1F2取平衡位置处为零势点，弹性力变形从平衡位置处计算，可以不计重力势能！例17-6续3已求得1Ldtd1221

30、)4( lmm 1212klL2Ldtd22221 rm02L代入保守系统的拉氏方程, 011LLdtd022LLdtd02)4(121221kllmm 021222 rm0421211mmk 02 可见，圆盘的角加速度为零！圆盘作平动！得所以系统的固有频率为2142mmkn圆盘作平动！圆盘作平动！解毕。解毕。OkACkllll2rB2m1gm2g1l1l1F1F2*例17-7 杆OA与AB以铰链相连，且OA=a，AB=b，O悬挂于圆柱铰链上， A、B处质点质量分别为 m1和m2，各处摩擦及两杆质量均不计，求系统微幅摆动的微分方程。 见后续m1bam2OABvAvAvAvA例17-7续1 已知OA=a，AB=b； m1、m2，求系统微摆方程。baOAB,1avA12解选1、2为广义坐标，则系统具有两个自由度，2bvBA)cos(212222BAABAABvvvvv系统动能为211)(21amT212222122abba212222122221abbam21222222122121)(21abmbmam