平面向量的数量积解析版

1、.常以平面图形为载体，考查线考点36平面向量的数量积在考点详解【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】1 .向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b,如图所示，作OA=a,/AOB=0(0180叫做向量a与b的夹角，记作(2)范围：夹角。的范围是0,兀当0=0时，两向量a,b共线且同向;当。=二时，两向量a,b相互垂直，记作ab;当0=兀时，两向量a,b共线但反向.2 .平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b,我们把数量|a|b|cos0叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab,即ab=|a|b|co

2、s。，其中。是a与b的夹角.规定：零向量与任一向量的数量积为零.3 .平面向量数量积的几何意义(1) 一个向量在另一个向量方向上的投影设。是a,b的夹角，则|b|cos。叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos。叫做向量a在向量b的方向上的投影.(2) ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.4 .向量数量积的运算律(1)交换律：a,b=b-a.(2)数乘结合律：(治)b=Xa-b)=a-(.(3)分配律：(a+b)c=ac+b-c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a-bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，

3、a山c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.5 .平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，。是a与e的夹角，则(1)ea=ae=|a|cos0.(2)ab?a-b=0.当a与b同向时，a-b=|a|b|;当a与b反向时，a-b=-|a|b|特另1J地，a-a=|a|之或间ab(4)C0S6=丽(5)|a-b|(0,2)，ab0且a,b不同向.1即|i|22加20,当a,b同向时，由a=；b(Q0)得上一2.8、已知点A,B,C满足|AB|=3,|EBC|=4,|CA|=5,则ABB&+BtCA+CAAB的值是【答案】-25【解析】如图，根据题意可得，ABC为

4、直角三角形,且-B=cosA=1-,cosC=&255.ABBC+BCCA+CAAB=BCCA+CAAB43一=4X5cos(关C)+5X3cos(fA)=20cosC15cosA=-20-15三=-25.55典例剖析考向一平面向量的数量积的运算例1、(1)在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC,AB=2,BC=1,/ABC=60,点E和F分别在线段BC和dc上，且be=|bc,DF=1DC,则AEAF的值为.36(2).已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DECB的值为值为.【答案】：1.292.1118【解析】：1.法一取BA,BC为一组基底，2则AE=BEBA=-BC-B

5、a,3LLL5i557AF=AB+BC+CF=-BA+BC+BA=-BA+BC,1212Ae)AF=2bcBABABC312725一一2一。=12|BA|2-18BABC+3|BC|2=12X418=2X-米3=18-；DEDC的最大法二COAB于O,建立如图所示的平面直角坐标系，一3_1则A3,0,B1,0221.3所以E,635.36,-2-所以AEAF=5_3一,332_3_,3210129=9+2=18-2.法一如图，DECB=(DA+AE)CB=DACB+AEcb=dA2=1,DEidc=(dA+aE)品=dA氏+AE氏=AlDC=|届Ie)C|w|5c|2=1.法二以射线AB,AD

6、为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),0(1,1),D(0,1),设E(t,0),te0,1,则DE=(t,1),CB=(0,1),所以DECB=(t,-1)-(0-1)=1.因为D0=(1,0),所以DED0=(t,1)(10)=t0,n0,则由ABaC=2ABaD,得(n,0)m(+2,m)=2(n,0)m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.故ADAC=(m,m)m+2,m)=2m2+2m=12.变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量a,b满足a3,b2,abl4,则ab.【答案】.10【解析】由已知：a3,b2,ab4,所以b；4

7、2,展开得到g22abb216,所以2ab3,rr2，2-pp2所以abia2abb10,所以ab40；故答案为：曲.变式3、在ABC中，已知AB=1,AC=2,/A=60,若点P满足AP=AB+入3c且加工P1,则实数入的值为1【答案】1或14【解析】AP=AB+xac?BP=APAB=入或c-Bpcpxac-（Ap-aC）=入7021xa（2=入（1）AC2+入强431)+-1故人=1或-4.方法总结：1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a|=yO_a及（aib）2=|a|2ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值（范围）

8、的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解考向二平面向量的夹角问题例2、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量b满足A1,b2,aba3b13,则a与b的夹角为（C.23ba2ab3b13,即2ab1113,得ab1,则cos故选：C.变式1、（2021山东日照市A.一6B.由b4ab得b*4a-/0高三二模）b0,已知aiJ2,b4,当b4ab时，向量a与b的夹角为（）2C.一3D.从而可求a*b,然后根据向量夹角公式可解解：b4ab,b*4ab4a*bb24a*b20,a*

9、b4，cosa,ba*b4_124.22，D.5-6【解析】由abc0，得abc，所以ab所以abJ,由ablallbcosa,b故选：C.c,即abal2abb1,1 2一,得a,b-,2 3所以向量a与b的夹角为一，4故选：B.变式2、（2021山东济南市高三一模）已知单位向量a,b,c,满足abc_2C.3变式3、（2019春歌州期末）ABC中，ABc,BCa,CAb,在下列命题中，是真命题的有（）A.若6叱0,则ABC为锐角三角形B.若a*b0.则ABC为直角三角形C.若a-bcb,则ABC为等腰三角形D.若（3cb）（abc）0,则ABC为直角三角形【答案】BCD.【解析】如图所示，

10、ABC中，ABc,BCa,CAb,若ab0,则BCA是钝角，ABC是钝角三角形，A错误；若a*b0,则BCCA,ABC为直角三角形，B正确；若abc*b,b*（ac）0,CA（BCAB）0,CA*（BCBA）0,取AC中点D,则CA*BD,所以BABC,即ABC为等腰三角形，C正确，2-2-221,22-22-bca右（acb）*（abc）0,贝Ua（cb）,即bca2b,c,即：-：cosA2|b|c|由余弦定理可得：cosAcosA,gpcosA0,即a一，即ABC为直角三角形，即D正确，2综合可得：真命题的有BCD,变式4、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)若la1,b,J3且

11、超2b,，则向量a与向量b夹角的大小是.【答案】-6【解析】由a2b,得a|24ab4bl2714ab437ab23cos(a,b/ja,bj.1 :326变式5、(2020山东省淄博实验中学高三上期末)若非零向量a、b,满足aBi,2abb,则a与b的夹角为.【答案】120【解析】设a与b的夹角为，由题意a,B1,2abb,2 1可得(2ab)b21alMcos必0,所以cos2,再由0,180.可得，120，故答案是120.变式6、已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角0;(2)求|a+b|;(3)若茹=a,BC=b,求aABC的面积.【解析】：(

12、1)(2a3b)隹+b)=61,4|a|24a-b3p|2=61.又|a|=4,|b|=3,644a827=61,a上一6.cos0=a-b丽二一64Vxi+yiVx2+yi0,兀b(0,m)，(2,4),且(3b)&则(2)公式法:若已知a=(xi,yi)与b=(X2,y2),则cos考向三平面向量中的垂直例1、(2021山东日照市高三其他模拟)已知向量a(2,1)实数m的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】由已知得ab(2Jm),又(5b)鼠所以22+1m40,解得m2,故选：c.变式1、(2019秋喃通期末)在ABC中，AB(2,3),AC(1,k),若ABC是直角三角形，

13、则k的值可以是（）A. 1【答案】BCD.11B. 一3313C.:313D.-ABC中,AB(2,3),AC(1,k),当A90时，AB*AC0,2即213k0,解得k-;3当B90BCACAB(1,k3),且aB*bC0;即2(1)3(k3)0,解得k113；13|6B|=2,BC=mdA+nC)B,若OA与当C90时，AC*bC0,即1k(k3)0,整理得k23k10,解得k综上知，k的取值为|或段或运变式2、（2019黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟）已知向量16A|=3,ob的夹角为60,且cc，市，则实数n的值为（）11A.-B;64C.6D.4【答案】A_,一_，一_.一rJ-c-【解

14、析】向量|OA|=3,|OB|=2,OC=mOA+nOB,OA与OB的夹角为60,OAOB=3X2Xcos60=3,AB：OC=(OB_OA)m(OA+n-OB)=(mn)6A：5b-m|OA/+n.|2=3(mn)9m+4n=6m+n=0,-m=1,故选A.n6兀变式3、2018连云港期中已知向量a=(1,2sin0),b=(sin(0+),1),eCR.(1)若ab,求tan0的值；兀(2)若a/b,且(0,万)，求。的值【解】(1)依题意，得：a40,即兀sin(。+了)+2sin9=0,展开,得：兀兀sin0cos+cos0sin+2sin0=0,化简，得：2sin0+2-cos0=0

15、,解得：tan0=-5兀(2)-.a/b,.2sin0sin(。+y)=1,展开得：兀.兀2sin9(sin9cos了+cos9sin)=1,即：2sin20+2-3sin0cos0=2,即：1-cos20+3sin20=2,八，兀1兀兀化为：sin(20-y)=2，e(0,y),.-.20(2,誓)，-e解得：e=y.方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。在优化提升,实战演练然后根据数量积的坐标

16、运,ab6,则co4a,ab)=A.C.31351735B.D.19351935b6，ab6,a2ab52619.；2-2ia2abb%2526367,aab1919因此，cosa,ab；-一aab5735故选：D.2、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a,b满足|a|2|b|,(ab)b,则a与b的夹角为1、【2020年高考全国III卷理数】已知向量a,b满足|a|5,|b|6A.B.2冗C.35冗D.6【答案】B【解析】因为(ab)b,所以(ab)babb2=0,所以abb2,所以cos|b1_2_2|b|2、-TT所以a与b的夹角为故选B.【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向

17、量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,.3、【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1,则ABBC=A.-3B.-2C.2D,3【答案】C【解析】由BCACAB(1,t3),BC肝(t3)21,得t3,则苗(1,0),AB-BC(2,3)-(1,0)21302.故选C.4、【2018年高考全国II卷理数】已知向量a,b满足|a|1,ab1,则a(2ab)A.4C.2【答案】B【解析】因为a2ab2a2ab2|a|25、【2018年高考浙江卷】已知a,b,e是平面向量,满足b2-4e-b+3=0,则|

18、a-b|的最小值是A.再-1C. 2【答案】AB.3D. 01213所以选B.兀.一一e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为、，向量bB.3+1D.2-.3【解析】设？?=(?),?=(1,0),?=(?,?)则由?=得？?？?=|?|?|?|cos；,?=1，为+?,.?=+v3?由b2-4eb+3=0得？?2+?3-4?+3=0,(?-2)2+?1=1,因此|a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线？?=土苴?的距离二痣减去半径1,为v3-1.选A.26、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1,若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为A.C.211625163B.-2D.3【解析】连接A