高等数学不定积分课件

1、上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页课程安排：每周课程安排：每周4学时学时平时：作业（平时：作业（10%）、出勤（）、出勤（10%）答疑时间：每周三晚上答疑时间：每周三晚上7:30-9:30考考 试：期中（试：期中（20%）、期末（）、期末（60%）20072008学年第二学期学年第二学期地地 点点: 各班教室轮换各班教室轮换上页下页铃结束返回首页课程安排：每周课程安排：每周4学时学时平时：作业（平时：作业（10%）、出勤（）、出勤（10%）答疑时间：每周三晚上答疑时间：每周三晚上7:30-9:3020072008学年第二学期学年第二学期地地 点点: 各班教室轮换

2、各班教室轮换考考 试：期中（试：期中（20%）、期末（）、期末（60%）上页下页铃结束返回首页1. 求极限 2sinlim3cosxxxxx2. 求极限 01 sin1limln(1 3 )xxx3. 求极限 1sin2lim(1)xxx上学期考试总结上学期考试总结2300, 通分, 等价无穷小代换,洛必达14. 设 , 求二阶导数 2(arcsin )yxy5. 设 是由方程 确定的函数, 求曲线 ( )yf x221 sin()xyxy ( )yf x在 处的切线方程.(0,1)导数的几何意义, 隐函数求导法上页下页铃结束返回首页1. 求极限 2sinlim3cosxxxxx2. 求极限

3、01 sin1limln(1 3 )xxx3. 求极限 1sin2lim(1)xxx上学期考试总结上学期考试总结2300, 通分, 等价无穷小代换,洛必达14. 设 , 求二阶导数 2(arcsin )yxy导数的几何意义, 隐函数求导法5. 设 是由方程 确定的函数, 求曲线 ( )yf x221 sin()xyxy ( )yf x在 处的切线方程.(0,1)上页下页铃结束返回首页7. 求 的增减区间和极值. 42( )23f xxx6. 设 cosxyex，求 |xdy8. 已知 232(),( )arctan,32xyffxxx求 0|xdydx 微分9. 已知 时, 和 为等价无穷小,

4、 求常数1 cosx3211ax0 x a 10. 证明方程 有且只有一个正实根.3210 xx 证明单调, 并在区间0, 1上利用零点定理上页下页铃结束返回首页221( )ln1xxf xaxx11. 设a)(xf1x(1) 问 为何值时, 在 连续. 在处是否可导. 1x (2) 用导数定义计算在 处的左、右导数，并判断1x ( )f x12. 在区间 上函数 的最大值记为 0,1( )(1)nf xnxx( )M nn( 为正整数), 求 lim( ).nM n先求最大值, 再求极值上页下页铃结束返回首页13. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 单调减少,( )f x0,3(0,3)(

5、 )fx(0)0,f证明不等式(3)(1)(2).fff在 和 上利用中值定理 2,30,1上页下页铃结束返回首页第第 五五 章章 上页下页铃结束返回首页第第 五五 章章 上页下页铃结束返回首页5.1 5.1 不定积分的概念不定积分的概念(一一) 原函数原函数)(tvv 例1 已知物体的运动方程为 , 则此物体的速度 反过来, 如果已知物体的运动速度为怎样求出运动方程 , 使它的导数等于 , 即求)(tfs )()(tfstvv)(tfs )(tv)()(tv?这是一个与微分学中求导数相反的问题这是一个与微分学中求导数相反的问题.上页下页铃结束返回首页 , 则该产品产量的变化率是产量对时间 的

6、导数 . 反过来，如果已知某产量的变化率是时间 的函数 ，求该产品的产量函数 ，也是一个与微分学中求导数相反的问题. 例2 如果已知某产品的产量 是时间 的函数)(tPPt)(tPP t)(tPPt)(tP例3 xcos )0(1 xx例4 例3, 例4 也都是与微分学中求导数相反的问题.上页下页铃结束返回首页 例如，在区间 (, )内，因为 (sin x)cos x，所以 sin x是 cos x的一个原函数。 提问：提问： cos x还有其它的原函数吗？提示：提示： cos x的原函数还有sin xC。下页 定义定义5.1 如果在区间如果在区间 上上, 可导函数可导函数 的导数的导数为为

7、，即对任一，即对任一 ，都有，都有 或或 ，则称函数则称函数 是函数是函数 在区间在区间 上的上的原函数原函数。 I)(xF)(xfIx )()(xfxF dxxfxdF)()( )(xF)(xfI上页下页铃结束返回首页两点说明：两点说明： 2. f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即 如果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数，则 (x) F (x) C (C为某个常数)。 1. 如果F(x)是 f(x)的原函数 ，那么F(x)C 都是 f(x) 的原函数，其中 C 是任意常数。首页 定义定义5.1 如果在区间如果在区间 上上, 可导函数可导函数 的导数的导数为为 ，即对

8、任一，即对任一 ，都有，都有 或或 ，则称函数则称函数 是函数是函数 在区间在区间 上的上的原函数原函数。 I)(xF)(xfIx )()(xfxF dxxfxdF)()( )(xF)(xfI上页下页铃结束返回首页二、不定积分二、不定积分不定积分的相关名称：不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量。 定义定义5.2 函数 f(x) 的所有原函数称为 f(x) 的不定积分，记作下页dxxf)(上页下页铃结束返回首页 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则dxxf)(F(x)C， 其中 C 是任意常数，称为积分

9、常数。下页二、不定积分二、不定积分 定义定义5.2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记作 dxxf)(。 上页下页铃结束返回首页 例 3 求函数xxf1)(的不定积分。 例例3 如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则dxxf)(F(x)C。 当 x0 时，(ln x)x1，x1，Cxdxxln 1(x0)； x0 时，ln(x)x0 时，ln(x)xx1) 1(1xx1) 1(1，xx1) 1(1，Cxdxx)ln( 1(x0 时，(ln x) 解：解：首页上页下页铃结束返回首页-1O 1x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。Cxxdx22C1

10、y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义下页上页下页铃结束返回首页 例例4求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x，即f(x)是2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点(1, 3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。2 1O 12x2112 yyx2+2yx2(1, 3) 因为Cxxdx22， 所以y=f(x)x2C。结束上页下页铃结束返

11、回首页5. 2 不定积分的性质不定积分的性质上页下页结束返回首页)()(xfdxxf，或)()(xfdxxf，或dxxfdxxfd)()(dxxfdxxfd)()(。 dxxF)( F(x)C ，或F(x)C ，或)(xdF)(xdFF(x)C。 性质 1 )()(xfdxxf 性质性质1性质 2 dxxF)( 性质性质2 f(x)dxF(x)C。 设F(x)是f(x)的一个原函数，则有F (x)f(x)，且 因此不定积分有如下性质：铃(一一) 求不定积分与求导或微分互为逆运算求不定积分与求导或微分互为逆运算上页下页铃结束返回首页性质 4 dxxfkdxxkf)()( 性质性质3dxxfkdx

12、xkf)()( k 是常数，k0 )。 (二) 不定积分的线性运算性质)(dxxfk)(xkf )(dxxfk因为因为所以所以dxxfkdxxkf)()(上页下页铃结束返回首页性质性质4性质 3 dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(。 (二) 不定积分的线性运算性质 注：这两个公式可以推广到有限多个函数线性运算的情况中去。dxxfkxfkxfknn)()()(2211dxxfkdxxfkdxxfknn)()()(2211因为因为)()(dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()(xgxf上页下页铃结束返回首页性质性质4性质 3 dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(。 性质 4 dxxfkdxxkf)()( 性质性质3dxxfkdxxkf)()( k