复变函数与积分变换第二版本 复变函数试题ppt课件

1、1复变函数与积分变换试题(一) 试题 2002一、填空题一、填空题(1) 的模为的模为，辐角主值为，辐角主值为3231 i .。 . (2) 的值为的值为的值为的值为)1Ln( i43e ， .。(3) 伸缩率为伸缩率为处的旋转角为处的旋转角为映射映射 w = z3 - z在在 z = iz = i .。 ，. (4) 在区域在区域 D 内解析的内解析的函数函数),(),()(yxviyxuzf .。充要条件为充要条件为复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换试题( (一一) )2复变函数与积分变换试题(一) 试题 2002(7) 41|3d)2/ 1()(ezzzzz .。(5) 在在 z0

2、 = 1 + z0 = 1 + i i处展开成泰勒级数的处展开成泰勒级数的)34(1zz .。收敛半径为收敛半径为的何种类型的奇点的何种类型的奇点?(6) z = 0 是是zzfz111)(e .。 (8) ，知知)2()2()()(21)(0000tttttttttf )(tf .。求求3复变函数与积分变换试题(一) 试题 2002二、二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是.)2(if 三、将函数三、将函数)2( )1(1)( zzzf分别在分别在 与与 处展开为处展开为1 z2 z洛

3、朗级数。洛朗级数。四、计算以下各题四、计算以下各题 2|11dezzzz 02sin1d xxxxd)9( )1(cos022 zzzizzdsin211|3e 1.3.2.4. )()(e1tutft ，)()(2tuttf ，求，求)()(21tftf 。5. 知知4复变函数与积分变换试题(一) 试题 2002六、求把以下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。六、求把以下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。iii33 五、求区域五、求区域1Im0, 0Re: zzzD在映射在映射ziw 下的像。下的像。八、设函数八、设函数)(zf在在Rz |上解析，证明上解析，证明. )| (, )(d

4、)()(2|222RzzfzRzfizRR .2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏变换求解微分方程七、用拉氏变换求解微分方程5复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002一、填空题一、填空题(1) 的模为的模为，辐角主值为，辐角主值为3231 i .。 . (2) 的值为的值为的值为的值为)1Ln( i43e ， .。(3) 伸缩率为伸缩率为处的旋转角为处的旋转角为映射映射 w = z3 - z在在 z = iz = i .。 ，. (4) 在区域在区域 D 内解析的内解析的函数函数),(),()(yxviyxuzf .。充要条件为充要条件为复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换试题(

5、 (一一) ) 解答解答)2222(3ei ik)12( 14u , v 在在 D 内可微，且满足内可微，且满足 C - R 方程方程6复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002(7) 41|3d)2/ 1()(ezzzzz .。(5) 在在 z0 = 1 + z0 = 1 + i i处展开成泰勒级数的处展开成泰勒级数的)34(1zz .。收敛半径为收敛半径为的何种类型的奇点的何种类型的奇点?(6) z = 0 是是zzfz111)(e .。 (8) ，知知)2()2()()(21)(0000tttttttttf )(tf .。求求3102coscos00tt 可去奇点可去奇点07复变函数与

6、积分变换试题(一) 解答 2002故故 u(x , y) 为调和函数。为调和函数。, 0 yyxxuu yyvd2, )(2xy , )(x ,2)(2cxxx . )2()1(2)(22cyxxiyxzf , 0 xxu, 0 yyu(1)解解二、二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是.)2(if (2) 方法一：偏微分法方法一：偏微分法,2yxvyu 由由xyvxu 22由由,2),(22cyxxyxv 即得即得8复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002(2) 方法二：全微分法方

7、法二：全微分法. )2()1(2)(22cyxxiyxzf 解解,2),(22cyxxyxv 即得即得由由,2yxvyu ,22xyvxu 有有yyxxvd2d)22(d , )2(d22yxx ,1 c. )12()1(2)(22 yxxiyxzf,)2(if (3) 由由二、二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是.)2(if 9复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002解解(1) 在在 z = 1 处展开处展开 当当 时，时，1|1|0 z)1(1111)( zzzf 0)1()1

8、(1nnzz.)1(01 nnz三、将函数三、将函数)2( )1(1)( zzzf分别在分别在 与与 处展开为处展开为1 z2 z洛朗级数。洛朗级数。1210复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002解解(1) 在在 z = 1 处展开处展开 当当 时，时，1|1| z1)1(111)( zzzf121111)1(12 zz 02)1(1)1(1nnzz.)1(102 nnz三、将函数三、将函数)2( )1(1)( zzzf分别在分别在 与与 处展开为处展开为1 z2 z洛朗级数。洛朗级数。11复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002 当当 时，时，1| 2|0 z.)2()1()(01

9、 nnnzzf 当当 时，时，1| 2| z.)2(1)1()(02 nnnzzf12解解(2) 在在 z = 2 处展开处展开三、将函数三、将函数)2( )1(1)( zzzf分别在分别在 与与 处展开为处展开为1 z2 z洛朗级数。洛朗级数。12复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002.1 四、四、zzzizzdsin211|3e 1.解解方法一方法一 利用留数求解利用留数求解z = 0 为二级极点，为二级极点，)sin(lim221320e zzziizz原式原式方法二方法二 利用高阶导数公式求解利用高阶导数公式求解.1 0)sin(! 21e zzz原式原式13复变函数与积分变换试

10、题(一) 解答 2002)(e3211)1( ! 31)1( ! 211111)1( zzzzzz,111! 21)( z.3 i 232 i原式原式2.四、四、 2|11dezzzz解解 z = 1 为本性奇点，为本性奇点，14复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002 02cos3)2d(,cos3d20 3.四、四、 02sin1d 022cos11d(1) 原式原式 =解解令令 那么那么,e iz ,21cos2zz ,ddz iz 原式原式 1|2213dzz izzz.16d21|2 zzzzi15复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002.2 .2232 z,2231 z3.

11、四、四、 02sin1d(1)解解16214zzz 原式原式 1|2213dzz izzz.16d21|2 zzzzi(2) 记记,161)(2 zzzf那么那么 有两个一级极点：有两个一级极点：)(zf( ( 不在不在 内内) )1| z2z, )(Res221zzfii 原式原式 =16复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002izz izzzzf )9( )1(, )(Res221e,161ei ,48, )(Res32eizzf .48)3(31ee ,3,21iziz 在上半平面有两个一级极点在上半平面有两个一级极点4.四、四、xxxxd)9( )1(cos022 ,)9( )1(

12、)(22e zzzfz i令令解解ee)4816(2Re2131iii 原式原式 17复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002(1) 当当 时，时，0 t;0)()(21 tftf d)()()(021 tetftft.)1(ett )()(e1tutft ，)()(2tuttf ，求，求)()(21tftf 。5. 知知四、四、t)(1 f )(2 f t )(2 tf)(2 f)(1 f)(1 f)(2 f)(2 tf(2) 当当 时，时，0 t d)()()()(2121 tfftftf解解,d)()(21 tff 18复变函数与积分变换试题(一) 解答 20020(z)i 12/

13、)1(101iiic 022/12iicziw 五、求区域五、求区域1Im0, 0Re: zzzD在映射在映射下的像。下的像。解解(1+i)/2(w)02 1 3ci 0103ici/22c1+i 1c119复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002 i i3iii33 (z)六、求把以下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。六、求把以下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。312zz izizw 22331 zzz解解(z2)(z1)3/(w)izzizzw 33333320复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002,1)()0()0()(22ssYysysYs ,1)(2)(22ssY

14、ssYs .)1(112)(222 sssssY.2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏变换求解微分方程七、用拉氏变换求解微分方程代入初值得代入初值得求解得求解得对方程两边取拉氏变换得对方程两边取拉氏变换得解解 (1) 令令,)()(tysY 21复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002)1(112)(222 sssssY1111212222 sssss.sin3cos)(tttty 解解 (2) 求拉氏逆变换求拉氏逆变换方法一方法一 利用部分分式求解利用部分分式求解,1311222 ssss.2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏变换求解微分方程七、用拉氏变换求解微分方程22复变

15、函数与积分变换试题(一) 解答 2002解解 (2) 求拉氏逆变换求拉氏逆变换方法二方法二 利用留数求解利用留数求解)1(112)(222 sssssY,)1(122223 ssss两个一阶极点两个一阶极点,3, 2is 有一个二阶极点有一个二阶极点,01 s0,)(RessYt se; t )1(e)12(ddlim222320sssssst ss.2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏变换求解微分方程七、用拉氏变换求解微分方程23复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002解解 (2) 求拉氏逆变换求拉氏逆变换方法二方法二 利用留数求解利用留数求解.sin3costtt ;2321et ii ittyt it it it i232)(eeeeisstissssisY )()12(,)(Res223et se;2321et ii isstissssisY )()12(,)(Res223et se.2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏变换求解微分方程七、用拉氏