热力学与统计物理学思考题及习题

1、?热力学与统计物理学?思考题及习题  第一章  热力学的根本定律 §1.1 根本概念1  试求理想气体的定压膨胀系数、定容压强系数和等温压缩系数。2  假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为  , 式中只是温度的函数。求和，并给出在时的极限值。3  设一理想弹性棒，其状态方程是式中是常数，是张力为零时棒的长度，它只是温度的函数。试证明：(1) 杨氏弹性模量 ；(2)    线膨胀系数 ，其中，A为弹性棒的横截面积。4  某固体的，其中、为常数，试用三种方法求其状态方程

2、。5  某种气体的及分别为：, ,其中、都是常数。求此气体的状态方程。6  某种气体的及分别为：，。其中是常数。试证明：(1) ；(2) 该气体的状态方程为：。7    简单固体和液体的体胀系数和压缩系数的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。试证明其状态方程可表为：。8  磁体的磁化强度m是外磁场强度H和温度的函数。对于理想磁体，从实验上测得：          ，    ，  。其中是居里常数。

3、试证明其状态方程为：m =。9  求以下气态方程的第二、第三维里系数：(1) 范德瓦耳斯方程；(2) 克劳修斯方程。§1.2 热力学第一定律11摩尔范德瓦耳斯气体，在准静态等温过程中体积由膨胀到，求气体所作的功。2  某种磁性材料，总磁矩与磁场强度关系是，其中是材料的体积，为磁化率，在弱磁场中某一温度区域内，为常数，现保持体积恒定，通过以下两个过程使增加为：            (1) 等温准静态地使增加为；    

4、;        (2) 保持恒定，使温度由变为。试在图上画出过程曲线，并确定环境所作的功。3  A(p1V1T1)BC(p2V2T2)DVp理想气体经由图中所示两条路径 ；准静态地由初态变化到终态：试证明：(1) 内能是状态的函数，与路径无关。(2) 功和热量与过程有关。 题3图  4  小振幅纵波在理想气体中的传播速度为,为周围气压，为相应气体的密度。试导出：(1) 等温压缩及膨胀时气体中的声速；(2) 绝热压缩及膨胀时气体中的声速。5  设理想气体的是温度的函数，试求在

5、准静态绝热过程中和关系。在这个关系中用到一个函数，其表达式为。6    一固体的状态方程为，内能为，其中都是常数，试计算和。7  热容量为常数、温度为的物体作为可逆机的热源，由于热机吸热作功而使物体的温度降低。设冷源的温度为，试求出当物体的温度由下降到的过程中所放出的热量有多少转换成机械功？不能作功的热量有多少？8  有一建筑物，其内温度为，现用理想热泵从温度为的河水中吸取热量给建筑物供暖，如果热泵的功率即转换系数为，建筑物的散热率为，为常数。(1) 求建筑物的平衡温度；(2) 如果把热泵换为一个功率为的加热器直接对建筑物加热，说明为什么不如用

6、热泵合算。*9讨论以热辐射为工作物质的卡诺循环。辐射场的内能密度由斯忒藩玻耳兹曼定律给出，式中为绝对温度，为常数，辐射压强由状态方程给出。 §1.3 热力学第二定律1  从同样的态到态，假设是可逆过程，那么，假设是不可逆过程，那么。有人认为上两式右端一样，但一个是等式，另一个是不等式，可见熵与过程有关，或者说，仅在可逆过程中，熵是态函数。特别是仅对可逆过程成立，所以熵不是态函数。这种认识对吗？为什么？2  态的熵小于态的熵，由熵增加定理，这是否意味着由态不可能通过一个不可逆过程到达态？3  如下列图的循环过程，热机吸收热量多少？作功多少？效率多

7、少？300T050001000400SABC                            题3图4  在宇宙大爆炸理论中，初始局限于小区域内的辐射能量以球对称方式绝热膨胀，随着膨胀，辐射冷却。黑体辐射能密度，辐射压强，其中为常数。设时熵为零，求熵的表达式以及温度与辐射球半径的关系。5  有和两个容器

8、，每个容器内都包括含有个相同的单原子分子理想气体温表，起初这两个容器彼此绝热，两容器内气体的压强均为，温度分别为和。现将两个容器进行热接触，但各自的压强仍保持在值不变，试求二者热平衡后整个系统的熵变量。6  两局部完全相同的经典理想气体，具有相同的压强和粒子数，但它们分别装在体积为和容器中，温度分别为和。现将两容器接通，试求其熵的改变量。7  两相同的理想气体，开始分别处于两个大小不同的容器中，它们具有相同的温度和相同的粒子数，但具有不同的压强和。现将两个容器连通，使两个容器内的气体通过扩散到达平衡，在此过程中系统与外界无热量交换也未作功，求其熵的改变量。8  水

9、的比热为。(1) 有的水与的大热源接触，当水温到达后，水的熵改变了多少？热源的熵改变了多少？水与热源的总熵改变了多少？(2) 假设的水先与的热源接触到达平衡，再与的热源接触到达平衡，那么整个系统的熵改变了多少？(3) 假设使整个系统的熵不变，水应如何从变至？9    在1atm和略低于的条件下，水的比热为，冰的比热为，为摄氏温度，冰的熔解热为。试计算温度为的过冷水变为的冰后熵的改变量，并判定此过程能否自动进行。10有两个相同的物体，其热容量为常数，初始温度为。今让一致冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降低到为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变，证明此

10、过程所需的最小功为。11有两个相同物体，初温各为和，有一热机工作于此两物体之间，使两者温度变成相等，证明热机所能作的最大功为。 第二章  均匀闭系的热力学关系及其应用 §2.1 均匀闭系的热力学关系1.       试证明以下热力学关系，并思考其意义。(1)  ；  ；   。(2)  ；          ；  。(3)  ；。

11、0; (4)  。(5)  ；   ； 其中，。(6)  。(7)  ，并由此导出。(8)  ； 2.     水的膨胀系数在0之间为负值，当在此温度范围作可逆绝热膨胀时，温度升高还是降低？3.       利用自由能和吉布斯函数的定义证明能态方程和焓态方程。4.       某气体内能，其中为正的常数。试求其状态方程并说明，的物理意义。5.  &

12、#160;    1摩尔气体的状态方程为，其中是常数。在时，其定容摩尔热容量趋于常量，试计算其内能。6.       试证明摩尔理想气体从压强等温降至压强所作的最大功为7.       试证明1摩尔范德瓦尔斯气体的绝热方程是常数。8.       试证明以、V为自变量时，是特性函数。9.       某气体满足以下关系：，。其中

13、为常数，只是的函数，在低压下1摩尔气体的定压热容量为，试证明：(1)；2状态方程为；3。 §1.       理想气体的与压强有关吗？2.       范德瓦耳斯气体的与体积有关吗？3.       试应用热力学第二定律证明：平衡辐射场的单色能量密度在辐射场内到处均匀，且与腔壁的材料及形状无关。4.       要想利用焦尔汤姆逊效应冷却

14、气体，试问可选取初始条件应该是大于零、等于零还是小于零？说明理由。5.       对1摩尔范德瓦耳斯气体，试求：1；2通过自由膨胀由到引起的温度变化。6.       实验说明：外表张力系数仅是温度的函数，即，且。试求：1外表膜由外表积可逆等温膨胀到所吸收热量；(2) 可逆绝热膨胀引起的温度变化。7.       设在弹性限度内弹簧的恢复力与伸长量成正比，比例系数是温度的函数。今把处于大气中的弹簧拉长，最终到达平衡

15、态。求弹簧的自由能、熵和内能的变化设大气温度不变。8.       试证明遵从居里定律的顺磁介质的等磁化强度热容量及内能仅是温度的函数。9.       超导体的磁感应强度。求证：1与无关，只是的函数；(2) (3) 。10.   对电介质建立热力学方程，并证明：，式中和分别为电介质的电矩、压强、电场强度、体积、恒定电场中的热容量和熵，并说明二等式的意义。11.   容积为，具有理想反射壁空腔的平衡辐射，突然扩大到容积包括原有的容积的空

16、腔。这是一个不可逆绝热过程。试证明：(1) ；(2) 。§1.     根据德拜定律，低温时晶体的热容量与热力学温度的3次方成正比：。试证明晶体的定压热容与定容之差在时与温度的7次方成正比。2.       试根椐热力学第三定律证明，顺磁介质的居里定律在足够低的温度下不能成立。第三章  相平衡和化学平衡 §多元均匀开系的热力学根本方程1. 试证明：(1) ；。(2) ；。2. ，试证明3. 克拉玛斯函数的定义是。试证明全微分为  

17、60;          ，   并由此证明，利用此结论再证明例3的4式。 §热力学系统的平衡条件1.       在只有膨胀功的情况下，试证明：(1) 与不变时，平衡态的最小；2与不变时，平衡态的最小；(3) 与不变时，平衡态的最大；4与不变时，平衡态的最大。2.       由出发，试证明(1) ，；   

18、0;      2，；(3) ，。   以上各广延量都是1摩尔的量。 §相平衡1. 1摩尔物质作如下列图的卡诺循环，两条等温线的温线的温度分别为和，在时潜热为，设物质的气态可视为理想气体。(1) 说明各是什么状态；(2) 在图中画出相应的图形；(3) 计算一循环中物质所作的功。p0vABCIIIIIIpvABCDEFvAvBvC         题1图       &

19、#160;                              题5图2. 固态氨的蒸气压方程为，液态氨的蒸气压方程为其中压强的单位为。假设气相可视为理想气体，凝聚相的比容相对于气相可以忽略不计。试求：(1) 三相点的温度；(2) 三相点处三个潜热的数值。3.   

20、0;   对用克拉珀龙方和描述的相变过程，试证明：(1) 物质摩尔内能的变化为：；(2) 假设一相是气相，可视为理想气体，另一相是凝聚相，那么上式简化为：。4.       试证明：在分界面是曲面的情形下，相变潜热仍为。5.       在图上范德瓦耳斯气体等温线的极大点与极小点连成一条曲线，如右图所示。试证明这条曲线的方程为，并说明这条曲线分割出的区域I、II、III的意义。 §化学平衡1. 绝热容器中有隔板隔开，一边装有摩尔的理想气

21、体，温度为，压强为；另一边装有摩尔的理想气体，温度亦为，但压强为。今将隔板抽去(1) 试求气体混合后的压强；(2) 假设两种气体是不同的，试计算混合后的熵；(3) 假设两种气体是全同的，试计算混合后的熵。2. 求化学反响的分解度与平衡恒量之间的关系。3.       甲醇脱氢的反响方程为气体。在时，平衡恒量，求当甲醇的投料量为1摩尔时，氢的最大产量是多少?  第六章  统计物理学的根本概念 §粒子运动状态的描写1. 何谓经典粒子、量子粒子、全同粒子、定域子、非定域子？2. 何谓空间、相格、相格数

22、？3. 试举例说明量子描述向经典描述过渡的条件。4. 一光子的能量与动量的关系为，其中为光速。假设光子在容器中自由运动，试求其能量在之间的量子态数对应每一个动量有两个偏振方向。5. 二维谐振子的能量为，试求其态密度。 §系统运动状态的描述1. 何谓系统的微观状态、宏观状态？二者关系如何？2. 何谓非简并性条件？非简并性条件成立时，费米子系统、玻色子系统与定域子系统与定域子系统三者的微观状态数有何关系？ §6.3 统计物理学的根本假设1. 何谓等概率原理？其意义如何？2. 何谓时间平均值？何谓统计平均值？二者有何关系？ 第七章  最概然

23、统计法 §最概然统计法的理论根底1. 何谓分布、分布？何谓最概然分布？2. 在什么条件下量子系统可用经典方法计算？什么条件下分布和分布都过渡到分布？3. 的物理意义是什么？4. 判定以下情况服从经典统计还是量子统计：(1) 锗中的自由电子，其数密度为；(2) 银中的自由电子，其数密度为。5. 试计算氢和氧的简并温度，设其粒子数密度与标准条件下的粒子数密度相同。6. 试问晶体中自由电子数密度为何值时，其电子气的简并温度等于？7. 一个线性谐振子，其能谱为，且系统温度足够。(1) 试求振子处于第一激发态与基态的概率之比；(2) 假设振子仅占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。

24、8. 由单原子组成的顺磁气体，每单位体积中有个原子，当温度不太高时可看成每个原子都处于基态，其固有磁矩在外磁场H中只能取平行于H和反行于H两种取向，气体服从分布。试计算：(1) 一个原子处于与H平行状态的几率；(2) 一个原子处于与H逆平行状态的几率；(3) 一个原子的平均磁矩；(4) 写出气体的磁化强度，并讨论H和H两种极限情况。9. 考虑两个晶格格点组成的系统，每个格点上固定一个原子自旋为1，其自旋可以取三个方向，原子能量分别为1，0，-1，且能级无简并，两原子之间无相互作用。试求该系统的和。10.试证明，对于理想的、气体，熵可分别代表为。其中是能级的量子态上的平均粒子数，是对粒子的所有量

25、子态取和。11.一粒子数很大的定域子系，处在外磁场H中，每个粒子的自旋为1/2。求系统的微观态数与总自旋分量的函数关系，并确定系统的微观态数最大时的的值。12. 如下列图，一个一维的链由个节组成，当节和链平行时，节的长度为，当节和链垂直时，节的长度为零。每个节只有这两个非简并的状态，平均链长是。(1) 用表示出链的熵；(2) 求温度、张力和长度之间的关系，设铰点可以自由活动；(3) 什么情况下结论给出胡克定律？13. 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据外表上的位置构成新的一层，晶体将出现缺位。晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷，如下列图。以表示晶体中的原子数，表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体体积的

26、变化，试由自由能取极小值的条件证明，当温度为时， (n)  其中为原子在外表位置与下常位置的能量差。14*. 考虑由个没有相互作用的粒子组成的系统，每个粒子固定于某个位置并具有磁矩。整个系统处于外磁场B中，所以每个粒子总处于能量为或的两个态中之一上。把这些粒子看成是互相可以区别的。(1) 试写出的表达式，并求出使为极大的值。(2) 将系统的内能视为连续值，试证明该系统可以处于负温度状态。§玻耳兹曼分布的应用1. 某遵从统计分布的由个粒子组成的理想气体系统，其粒子的能量动量关系为，在不考虑其内部结构的条件下，试求其热力学函数、和。2. 某满足统计的理想气体处在重力场中。设想一

27、个很高的圆柱筒垂直地放在地面上，筒内粒子数为。假设筒内的理想气体处于同一温度，试求该系统的内能和定容热容量。3. 被吸附在外表上的单原子分子，能在外表上自由运动，可看作二维的理想气体，试计算其摩尔热容，设外表的大小不变。*4. 今有单原子分子组成的理想气体，遵从分布律。假设两分子的相对速度为。试计算的平均值，并将结果用表出。5. 从一容器的狭缝中射出一分子束，试求该分子束中分子的最概然速率和最概然能量。求得的和与容器内的和是否相同？为什么？* 6. 今有个理想气体分子，盛在截截积为、高度为的容器内，处于重力场的作用下。试求：(1) 分子数密度按高度的分布；(2) 假设在容器的顶部开一面积为的小

28、孔，凌晨位时间内从小孔飞出的分子数是多少？*7. 某遵从分布的系统，其粒子的能量为，其中、为常数。试求粒子的平均能量。8. 假设双原子的振动是非简谐的，振动能量的经典表达式为 式中后两项是非简谐的修正项，其数值远小于前面两项，、均为常数。试证明：振动的内能和定容热容量分别为       其中。*9. 个刚性双原子分子例如组成的理想气体，该分子有永久磁矩，放在感应强度为B的磁场中，分子的能量为：试证明：(1) 分子的配分函数为：      其中I是分子的转动惯量；。(2) 磁化

29、强度单位体积内的总磁矩之和为其中称为朗之万函数。(3) 讨论高温和低温时的情况。 §费米锹拉克分布和玻色爱因斯坦分布的应用1. 在室温时，电子占据费米能级、比费米能级高、比费米能级低的态的概率分别为多大？2. 假设某能极高于费米能级，温度从10变到，问电子占有该能极的概率改变多少？3. 试计算时自由电子气体中一个电子能量的相对涨落。4. 设金属中的传导电子可以近似地看成理想费米气体。再设金属宏观静止，其费米能级为。试在绝对零度下(1) 计算和为电子速度的分量；(2) 证明总能量的平均值是广延量。当总体积固定时，与总粒子数并不成线性关系，为什么？5. 相对率性电子气体，其能量

30、动量关系为其中为光速，为电子质量，试在时计算电子数密度，用费米能级表示。6. 某种样品中的电子服从分布，其态密度有如下特征：时，；时，。设电子的总数为。(1) 试求时的化学势和总能量；(2) 试证明系统的非简并条件为；(3) 试证明当系统强烈简并很低时。7. 考虑由个无相互作用的电子组成的电子气体，假定电子是非相对论性的。试求出时，与以下情形相应的费米能量：(1) 粒子只能沿长度为的线段运动；(2) 粒子只能在一个面积为的二维平面上运动。8. 试导出二维空间黑体辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。9. 宇宙中充满着的黑体辐射光子，这可以看作是大爆炸的痕迹。(1) 试求出光子数密度依赖于温度的解

31、析表达式，可保存一个数值因子。(2) 试近似计算时光子的数密度。10. 如果声子服从统计而非统计，那么固体热容量的德拜理论发生什么变化？在这样的假设下，试求远低于德拜温度和远高于德拜温度时热容与温度的关系常数系数不必算出。11. 试证明：对玻色气体，；对费米气体。 第八章  系综统计法 §根本概念1. 何为空间？空间与空间有什么区别和联系？2. 何谓统计系综？引入统计系综的意义何在？3. 请读者举出自已所熟悉的例子，说明系综平均值等于时间平均值。 §1. 试证明：当很大时，系统的能量在之间的状态数近似等于系统的能量小于、等于状态数。2

32、. 考虑个自旋为1/2，磁矩为的定域粒子，粒子间相互作用很弱，将此系统置于磁场中。(1) 求系统总能量为时的微观态数；(2) 求与温度的关系；(3) 在什么情况下出现负温度？(4) 求系统的总磁矩与关系用和将表出。3. 处于室温下的任一宏观系统，当其能量增加时，系统所有可能的微观态数增加的百分数是多少？假设系统吸收一个可见光波长为cm的光子，系统的状态数增加多少？ §1. 由个单原分子组成的理想气体系统处于温度为的平衡态，试求系统能量的最可几值。结果说明什么？2. 对正那么系统，试证明：(1) ；(2) 当粒子数很大时，其中。3. 由两个相互独立的粒子组成的系统，每个粒子可处于能量分别为和的任一状态中，系统与大热源平衡。试就以下诸情况写出系统的配分函数。(1) 服从统计，粒子可分辨；(2) 服从统计，粒子不可分辨；(3) 服从统计；(4) 服从统计。4. 一固体包含有个自旋为1的非相互作用的核，每个核均可处在由量子数，的三个态中的任一个态。由于固体内电荷与内部场的相互作用，一个核在态或态具有相同的能量，而在态时其能量为零。试求系统的熵及的极限情况下系统的热容量。5. 一高为、底面积为的柱形容器中，装有个质量为的单原子分子组成的理想气体