热学习题思考题解题指导第12节

1、第二章分子动理论的平衡态理论§ 2.1 本概念和基本要求(一)了解分子动理论的主要特点。(二)掌握概率的基本性质和求平均值和基本方法。知道什么是概率分布函数。(三)麦克斯韦速率分布(1)初步了解验证麦克斯韦速率分布的分子射线束实验。(2)掌握麦克斯韦速率分布函数，知道它的物理意义，知道它的分布曲线是如何的，知道它的分布曲线是如何分别随了温度或者气体分子质量而改变的。(3)熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率这3个公式。(四)麦克斯韦速度分布(1)理解速度空间概念。派(2)知道麦克斯韦速度分布是任一分子处在速度空间中任一体积为dvxdvydvz的小立方体中的概率。(3)掌握麦克斯韦

2、速度分布。派(4)知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。*(5)了解相对于最概然速率的麦克斯韦速度分布和速率分布。(五)了解气体分子碰壁数及其应用。(六)外力场中自由粒子的分布玻耳兹曼分布(1)掌握等温大气压强公式。(2)了解旋转体中悬浮粒子径向分布及其应用。X(3)了解玻耳兹曼分布。(七)能量均分定理(1)理解自由度与自由度数。(2)掌握能量均分定理，知道对于常见的双原子分子一般都有3个平动自由度、2个转动自由度。派(3)知道能量均分定理的局限性。§2.2解题指导和习题解答2.2.1在图中列出某量x的值的四种不同的概率分布函数的图线。试对1。则R解:(a)按照归一化条件

3、，概率分布曲线下面的面积为于每一种图线求出常数A的值，使在此值下该函数成为归一化函数。然后计算x和x2的平均值，在图(a)情形下还应该求出|x|平均值。a(所以概率分布函数为：a)A1,A1/2af(x)1/2aa；x-aaxf(x)dxx2f(x)dxxf(x)dxa12a12aaxdxx2dxxf(x)dxa/2(b)归一化条件:(2a概率分布函数为：0)A1/2af(x)1/2a0x2ax0;x2a2axf(x)dx012axdx2a012a2a022a2x0xf(x)dx(c)归一化条件为(1/2)a(a)A1概率分布函数为：12a2a0x2dxA1/a2f(x)(xa)/aax02(

4、xa)/a0xa-axaxf(x)dx0Ta2,2xaxf(x)dxa/6一,、.,2,22.2.2量x的概率分布函数具有形式f(x)Aexp(ax)4冗x,式中A和a是常数，试写出x的值出现在7.9999到8.0001范围内的概率P的近似表示式。R解1：归一化，f(x)dx1在上述积分中考虑到f(x)是偶函数，所以有f(x)dx2°f(x)dx8冗AAa3/2/413/2_A(a/冗3/2可以知道处于7.99998.0001范围内概率为PAe64a4冗64x0.5(a/乳平4冗64exp(64a)0.00022.3.1求0°C,0.101MPa下1.0cm3的氮气中速率在

5、-1.一.-1500ms到501ms之间的分子数。R分析1:这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题，应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布，即使用误差函数来求解。但是注意到,500ms-1至ij501ms-1之间仅仅差1ms-1,它要比500ms-1小得多。可以认为在500ms-1至U501ms-1范围内麦克斯韦速率分布是不变的。它的概率等于在横坐标为500ms-1到501ms-1之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积(这个梯形可以看作矩形)。R解1:设00C,0.101MPa下，1.0cm3中的理想气体分子数为253N,利用洛施密特常量n02.710m可以得到N1.01

6、062.710252.71019利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在vvdv之间的分子数为一3/22_2Nf(v)dv4制(m/2ukT)exp(mv/2kT)vdv(1)11现在其中的v500ms,dv1ms,氮气温度T273K,而氮分子质量m281.671027kg。将它们代入(1)式即得到在500ms-1到501ms-1之间的分子数为N4.961016。2.3.2求速率在区间vp1.01Vp内的气体分子数占总分子数的比pp率。R分析1：利用Vdj2kT/m的公式，并且令uv/v0,则可以pp把麦克斯韦速率分布表示为dNu/N(4/a)exp(u2)u2du由于vp和0.01vp的差异比vp

7、小得多，和上题的分析类似，可以认为(1)式中的du=0.01,u=1。鳍1:0.83%。2.3.3请说明麦克斯韦分布中，在方均根速率附近某一小的速率区间dv内的分子数随气体温度的升高而减少。R解1:麦克斯韦速率分布为：,一._3/2,2,一._、2.f(v)dv4(m/2kkT)exp(mv/2kT)vdv方均根速率为vrsm.3kT/m在方均根速率附近某一小的速率区间dv内的分子数为：Nf(vrms)dv4ttN(m/2冗kT)3/2e河m(3kT/m)/2kT(3kT/m)dv它和、：m/kT成正比，所以它随气体温度的升高而减少。2.3.4根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值(1/V

8、)。0Po:按照利用概率分布函数求平均值的公式(1/v)°(1/v)f(v)dv3/224冗(m/2：tkT)eD(mv/2kT)vdv(4/冗)(1/v)2.3.5(1)某气体在平衡温度T2时的最概然速率与它在平衡温度T1时的方均根速率相等，求(T1/T2)o(2)已知这种气体的压强为p；密度为，试导出其方均根速率的表达式。1/2R答：(1)3/2;(2)(3p/)。2. 3.6试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概然动能。它是否等于mv：/2?为什么？pR分析1：对于理想气体来说，麦克斯韦速率分布和按照平动动能的分布是完全等价的。也就是说，F()df(v)dv,所以

9、只要将f(v)dv中的v以平动动能来表示，就得到按平动动能的分布。R解1:麦克斯韦速率分布为3/22mmv2.f(v)dv4eexpvdv2ukT2kT因为mv2/2,dmvdv。将它们代入上式，可以得到：2_3/21/2F()d(kT)exp()d冗kT要求出最概然动能只要对上式两边取导数，并且命令它等于零dF()/d23/21/p、1/2.p1、(kT)exp()pexp()()0R2nkTkTkT得到最概然动能pkT/2但是由最概然速率所表示的动能2_mvp/2m(2kT/m)(1/2)kT这说明最概然动能与mvj/2不相等。前面讲到麦克斯韦速率分布和按平动动能的分布是完全等价的，为什么

10、最概然动能和由最概然速率所表示的动能不相等？实际上，其差异不是来自物理上，而是来自数学上。既然F()df(v)dv而ddv,则函数形式f()f(v)。它们的导数的函数形式也不相等所以pmvj/2。pp2.3,7已知温度为T的混合理想气体由分子质量为m1的1摩尔分子及由分子质量为m2的2摩尔分子所组成。试求：(1)它们的速率分布；(2)平均速率。R分析1:速率分布是指其速率在vvdv范围内的所有分子和总分子数之比。我们以前讨论的是纯气体，其速率分布是和这种气体的分子质量有关的。现在是混合理想气体，其速率分布不仅和这几种气体分子的质量有关，并且和每种气体的物质的量(即mol数)所占百分比有关。R解

11、1：(1)设组成混合理想气体的两种气体的分子数分别为N1,N2。(或者说它们的物质的量分别为1,2)。对于分子质量为m1的1摩尔分子，它们的速率在vvdv的总分子数为dN1(v),这些分子在整个气体分子中所占有的概率为：f1(v)dvdN1(v)/(NiN2)f1(v)dv1/(12H4冗(m1/2冗kT)3/2exp(m1V2/2kT)v2dv同理对于分子质量为m2的2摩尔分子，它们的速率在vvdv的总分子数为dNz(v),这些分子在整个气体分子中所占有的概率为：f2(v)dv2/(12)4冗(m2/2冗kT)3/2e)p(m2V2/2kT)v2dv所有其速率在vv+dv的两种不同质量的分子

12、占有的概率为一3/222f(v)dv1/(12H4u(m1/2ukT)exp(m1V/2kT)vdv3/22_22/(12H4冗(m2/2：tkT)exp(m2v/2kT)vdv这就是混合理想气体的速率分布。(2)显然，其平均速率v0f1(v)vdv0f2(v)vdvi/(i2)、8kT/m2/(12)8kT/22.3.8证明在麦克斯韦速率分布中，速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数与JT成反比。处于平均速率附近某一速率小区间内的分子数也与JT成反比。R解1：最概然速率vpJ2kT/m,又其速率在vvdv范围内的分子数为dNvvdvNf(v)dv4tN(m/2kkT)3

13、/2exp(mv2/2kT)v2dv速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数为dNj7Pdv4N(m/2兀kT)3/2exp(2kT/2kT)(2kT/m)dv(4N/e)(m/27ikT)1/2dv所以速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数与Jt成反比。处于平均速率附近某速率小区间的分子数dNvvdv4制(m/2ukT)3/2exp(m/2kT)(8kT/m)(8kT/m)dv（8N/兀）exp（4/昉.2m/兀kTdv它也与JT成反比。2.4.1因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分

14、子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为T，试给出表示分子处于速率为v到v+dv范围内的概率f(v)dv表达式。R解1:我们知道,通常的麦克斯韦速度分布是3维的f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz(1)其中速度在x,y,z的3个分量上的分布函数都具有如下形式：_1/22_f(vi)dvi(m/2ukT)exp(my/2kT)dvj(ix,y,z)(2)显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是1/2,2.f(vx)dvxf(vy)dvy(m/2ukT)exp(mvx/2kT)d

15、vx1/2,2,(m/2kkT)exp(mvy/2kT)dvy(3)这就是2维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。(3)式也可以写为f(vx)f(vy)dvxdvyf(vx,vy)dvxdvy(4)其中dvxdvy实际上就是在2维速度空间中位置在vxvxdvx,Vyvydvy范围内的正方形这一微分元的面积，而f(vx,vy)dvxdvyf(vx)dvxf(vy)dvy是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在2维速度空间中位置在VxVxdvx,vyvydvy范围内的这一微分元上的分子代表点数为dNvv。显然它被除以微分元的面积dvxdvy,就是在2维速度空x,y间中的分子代表点的数密度D(v

16、x,vy),所以D(vx,vy)dNvx,vy/dvxdvyNf(vx,vy)N(m/2ttkT)1/2expm(vjvy)/2kT(5)下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在2维速度空间中，半径为vvdv的圆环内的概率dNv/N。dNv是在半径为vvdv的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度D(vx,vy)o利用(5)式可以得到dNvD(vx,vy)2Ttvdv2.N(m/2kkT)exp(mv/2kT)2wdv-2_N(m/kT)exp(mv/2kT)vdv所以分子处于速率为v到v+dv范围内的概率f(v)dv的表达式为d

17、N、，一2_f(v)dv(m/kT)exp(mv/2kT)vdv(7)N它就是2维理想气体的麦克斯韦速率分布。2.4.2分子质量为m的气体在温度T下处于平衡。若以vx,vy,vz及v分别表示分子速度的x、y、z三个分量及其速率，试求下述平均值：，八一22，八2，一、一一2(1) Vx；(2)Vx；(3)VxV；(4)vxvy；(5)(Vxbvy)。R分析1:在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质，即互相排斥事件概率相加法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。另外，因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数，所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围是对称区间，所以应该分区间

18、积分。R解:(1)麦克斯韦的速度的x、y、z三个分量分布可以表示为._1/22_f(Vi)(m/2ukT)exp(mvi/2kT)(ix,y,z)vxVxf(Vx)dVx_1/22_(m/2ukT)exp(mvx/2kT)VxdVx0_1/22_(m/2ukT)exp(mvx/2kT)VxdVx-1/22一o(m/2ukT)ex)(mvx/2kT)VxdVx022Vxvxf(vx)dvx2o(m/2兀kT)1/2e)p(mv2/2kT)v2dvxkT/m(3)由于vx和v4.4设气体分子白勺总数为N，试证明速度的x分量大于某一给相互独立，利用概率相乘法则，并且考虑到vx的平均值等于零，则有2v

19、xvvxv0(4)同样vx,vy相互独立，和“(3)”类似2-vxvyvxvyO(5)利用概率相加法则2/1_2222i_22(vxbvy)vx2bvxvybvyvx2bvx%bvy-2_2kT/m0bkT/m(kT/m)(1b)2.4.3证明：相对于vp的麦克斯韦速率分布函数(2.35)式。dNu/Nf(v)dv4/4eexp(u2)u2duR解:最概然速率为(2kT/m)1/2,则,.,一._3/2_2_2.f(v)dv4u(m/2ukT)ex)(mv/2kT)vdv可以变换为f(v)dv4八eexp(v2/v2)(v2/v2)d(v/vp)令v/vpu,上式可以化为定值vx的分子数为N(

20、vx)(N/2)1erf(ux)其中uxvx/vpdNu/Nf(v)dv4/.uexp(u2)u2duR解:已经知道速度的x分量分布为f(vx)dvx(m/2kkT)1/2exo(mv£/2kT)dvx速度的x分量在(0vx)范围内的分子数为VxN(0vx)0Nf(vx)dvx命令v/vpu,N(0vx)N/8°xexp(x2)dx(N/2)erf(x)以得到速度的x分量在0之间的分子数为N/2,所以N(vx)N/2N(0vx)(N/2)1erf(Ux)2.4.5求麦克斯韦速度分布中速度分量vx大于2Vp的分子数占总分子数的比率。R提示1：利用2.4.4题证明的结果，现在e

21、rf(ux)erf(2)0.9953。R答1：0.00235。2.4.6若气体分子的总数为N,求速率大于某一给定值v的分子数。设(1)vvp；(2)v2vp。R提示1:利用相对于vp的麦克斯韦速率分布，在0v范围内的分子数为N(0v)Nerf(u)(2/%,'/)uexp(u2)速率大于v的分子数为：NN(0v)。R答1：(1)0.573N;(2)0.046N。.2.5.1一容积为1升的容器，盛有温度为300K,压强为30104Pa的僦气，僦的摩尔质量为0.040kg。若器壁上有一面积为1.0X10-3cm2的小孔，僦气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数

22、的1/e?R分析1:这是一个泻流问题，可以应用气体分子碰壁数来解。应该注意，容器内的分子数(或者说容器内的分子数密度)是随时间而减少的，所以是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在t到t出时间内，容器内的分子数由于泻流从N变化为NdN,其中dN就是在dt时间内泻流流出去的分子数，列出dN和dt之间的关系，这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量积分，就可以得到所需要的结果。0Po:在dt时间内在面积为A的小孔中流出的分子数为-dNnvAdt/4,所以在上0至ijt之间式中加一负号。现在在上式两边都除以容器体积V,并且在其中n为气体分子数密度。考虑到气体的流

23、出使得分子数减少进行积分n2(vA/4V)dtni(1/n)dn(vA/4V)tln(n2/n1)现在要求容器中的原子数最后减少到n2n1/e,1/e,即ln(n2/n1)tJV_也卜MmAVA8RT100s1：2冗MmRT即：经过100s容器内原子数减为原来的1/e。.2.5.2一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为Pi,p2。两部分气体的温度均为T,摩尔质量均为Mm。试证明：如果隔板上有面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为dmdtMmm(PiP2)AV2tRTR分析1:容器被隔板分成两部分以后，隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边，和上一题一样利用气体分子碰壁数来

24、解。R解1:利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为p/v12冗mkT现在分别用下标1,2分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在时间内通过单位面积小孔，隔板左边净增加的分子数为dtp1p2(1/，2兀mkT)在dt内通过小孔的气体质量为dmdt丫2冗kTPiP2AMmPiP2A2.5.3处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为0.1m的球形容器，器壁上有一面积为1cm2的区域被冷却到液氮温度(77K)，其余部分及整个容器均彳持300Ko初始时刻容器中的水蒸气压强为1.33Pa,设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面

25、，试问要使容器的压强减小为1.33104Pa,需多少时间？0P0：设t时刻分子数密度为n(t),则dt时间内碰在A面积上的分子数为dn(t)翳小出利用p=nkT公式，它可以化为dp(t)dn(t)P(t)dt经过积分，可以得到，v,、P(t)P0e)P(At)4VvAdt4VP0exP(ARTV12冗Mt)P(t)/ARTexP(,t)P0Vv2ttM4_1.3310Pa1.33Pa4Vln1027tMA.RT2.60s2.5.4有人曾用泻流法测量石墨的蒸汽压。他们测得在2603K的温度下有0.648103kg的碳在3.5h内通过3.25mm2的小孔。假定碳的蒸汽分子是单原子的，试估计石墨在2

26、603K时的蒸汽压强。R分析1:即使在2603K的温度下，碳的蒸汽压强并不大，可以认为它是理想气体。pnkT和气体分子碰壁数公式都适用。另外，因为在温度一定的情况下，饱和蒸汽压强是不变的，所以可以利用透过小孔泻流的分子数来确定石墨的蒸汽压强。R答:5.3102Pa。2. 5.5若使氢分子和氧分子的Vrms等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？若使氢分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？已经知道月球的半径为地球半径的0.27倍，月球的重力加速度为地球的0.165倍。R分析1:在离地球中心距离为R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的

27、最小速率Vmin（它称为逃逸速率），这些分子向上运动时，只要不和其它分子碰撞，就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足2GMEm/Rmvmin,E/2在忽略重力加速度随高度的变化的情况下，可以用地球表面的数据替代，则Vmin,E2GMe/Re2REgE（1）其中gE是地球重力加速度，Me是地球质量，Re是地球半径。同样，在月球表面上也有逃逸速率Vmin,M。和（1）式类似，有如下表达式Vmin,Mv:2GMm/Rm、瓯藐（2）其中下标M表示月球的各物理量。R答:氢分子和氧分子的vrms分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为Th,e1.0104K,TO,E1.6105K.氢分子和氧分子

28、的Vrms分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分别为Th,m4.6102K,To,m7.4103K2、2.5.6气体的温度T273K,压强p1.0110Pa,密度331.24103kgm3。试求：（1）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体；(2)气体分子的方均根速率。R提示1:把理想气体方程变换为求密度的公式，从而确定气体的摩尔质量。R答1：(1)28103kg,N2或者CO;；(2)4,94102ms-1。2.5.7当液体与其饱和蒸汽共存时，气化率与凝结率相等。设所有碰到液面上的蒸汽分子都能凝结为液体，并假定当把液面上的蒸汽迅速抽去时，液体的气化率与存在饱和蒸汽时的气化率相同。

29、已知水银在00c时的饱和蒸汽压为0.0246Nm-2,气化热为336kJkg-1,问每秒通过每平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。R答1:6.7109kg。2.5.8一带有小孔(小孔面积为A)的固定隔板把容器分为体积均为V的两部分。开始时，左方装有温度为T0、压强为p0的单原子分子理想气体，右方为真空。由于孔很小，因而虽然板两边分子数随时间变化，但仍可假定任一时刻近似是平衡态。又整个容器被温度为T0的热源包围。试求：(1)在t到t+dt时间内从左方穿过小孔到达右方的分子；(2)左方压强的具体表达式(它是时间的函数)；(3)最后达到平衡时气体与热源一共交换了多少热量？解:(1)左方和右方容器都

30、有分子穿过小孔到达对方容器。设t时刻左方和右方容器中的分子数密度分别为n1(t),n2(t)。由于左方、右方容器体积相等，并且开始时刻右方容器压强为零，所以n1(t)也n0(其中n°p°/kT)(1)按照气体分子碰壁数公式，在t到t+dt时间内，从左方穿过小孔到达右方的分子数为dN1nvAdt/4n?vAdt/4(2)(2)利用(1)、(2)两式可以得到dn1(A/4V)v(2n1n0)dt分离变量积分，并且利用pnkT公式。得到左方压强的具体表达式为p1(t)(p0/2)1exp：vAt/2V(3)由于左、右方容器温度始终为T0,系统和外面的温度始终相等,所以最后达到平衡

31、的过程中气体与热源没有热量交换。2.5.9容器中某一器壁面是由有很多能穿透分子的小孔的膜构成。容器内的气体可穿过小孔逸出到容器外面的、始终维持高真空的大容器中。若容器内充满温度为室温、压强为p0的氨气，则一小时后容器内压强将降为p/2。已知容器内装的是压强为po的氨气与窟气所组成的混合理想气体，且氨气与窟气的百分比相等，试问经一小时后氨气、窗气的分子数密度之比He/ONe是多少？试以氨气与速气的摩尔质量之比MHe/MNe表示之。试问为什么要先用纯氨气测一下容器中压强降低一半所需的时间？R分析1：由于平均速率和分子质量的平方根成反比，所以混合理想气体穿过小孔泻流到容器外面的真空中时，质量小的分子

32、穿过小孔的概率大，利用这一性质可以用来分离氨、窟气体。R解1:设原纯氨气的分子数密度为n,则氨、就混合前后其各自分子数密分别为n/2,n1和n/2,n2。对纯氨气利用气体分子碰壁数公式，可以有nto(nvHe/4)AdtVdn°(vHe/4V)Adt；(1/n)dnAvHeto/4VIn2(1)其中to1小时。实际上，利用(1)式就可以确定A/V(应该注意到膜中所有小孔的总面积A是不能直接测定出的)。下面分别求出氨气、窗气的数密度随时间的变化关系。对于混合理想气体中的氮气有n一exp2AVHet4V(2)tVHeAdtn11dnAVHet1nd,nIn04Vn/2n4Vn/22nl利

33、用(1)式，并且令t0=1小时，则可以知道,经一小时后氨气分子数密度(n/2)expln2n/4(3)同理，对于窟气有:n2n2exPAVNet4V(4)经一小时后就气的分子数密度为由此可求得0HenNen2nn2n2exPVNen/4(n/2)2ln2VNe/VHeNe_n2京2(142VNe(5)(1MHe/MNe)先用纯氨气测出氨气在容器中压强降为一半的时间，目的是通过比较可以消去A/V这一无法确定的系数。2.5.10试证分子束中的气体分子的平均速率及方均根速率分别为4kTR分析1：由于分子束是借助容器中气体透过小孔泻流出来的分子去穿过准直狭缝而制得。泻流分子与容器内气体分子的不同在于，

34、前者是动态的，它的平均速度(注意是平均速度而不是平均速率)不为零，因而有宏观迁移；而后者是静态的，其平均速度为零。反映在速率分布上，后者是麦克斯韦速率分布，其概率分布函数正比于V2exp(mV2/2kT)；而前者是动态的，速率大的分子逸出小孔的概率大些，所以概率分布函数正比于V3exp(mV2/2kT)请注意：这里是V3,而不是V2。所以分子束的速率分布函数可以写为F(V)dVAv3exp(mV2/2kT)dV其中A为归一化系数.通过归一化可以求得Am2/2(kT)2这说明分子束的速率分布为F(v)dvm2/2(kT)2v3exp(mv2/2kT)dvR解1:利用分子束的速率分布可求得分子束的

35、平均速率及速率的平方平均值分别为：.22.3,2,v束0m/2(kT)vvexp(mv/2kT)dvv19小丁/8m22_2232_v束om2/2(kT)2v2v3exp(mv2/2kT)dv4kT/m方均根速率为：v2v14kT/m2.5.11从一容器壁的狭缝射出一分子束，(1)试求该分子束中分子的最概然速率vp和最概然能量po(2)求得的vp和p与容器内的2.Vp和p是否相同，为什么？(3)p是否等于(mvp/2),为什么？R解1：(1)由上题的分子束的速率分布函数_2_232_F(v)dvm/2(kT)vexp(mv/2kT)dv可以得到分子束中分子的最概然速率vp:pd_2_2_32_

36、m2/2(kT)2v3exp(mv2/2kT)vv0dvpvp.3kT/mp把分子束的速率分布函数化为分子束按照能量分布的函数：_2_24F()d1/2(kT)exo(/kT)d(mv/4)_2_21/2(kT)exp(/kT)d2/2(kT)exp()dkTdF()d2/2(kT)2exp(/kT)0得到最概然能量pkT(2)我们看到，求得的分子束的vp1和p1与容器内气体分子的vp2和p2不同。容器内气体是处于静态的，而分子束中的气体分子是处于动态的，所以容器内气体速率分布不同于分子束中分子的速率分布。(3)我们也看到vp13kT/m.2kT/mvp2,pikTkT/2p2,也是因为分子束

37、中的气体分子是处于动态的，而容器内气体是处于静态的。2.5.12暴露在分子质量为m、分子数密度为n、温度为T的理想气体中干净的固体表面以某一速率吸收气体分子(其单位为分子数/秒。米2)。若固体对撞击到表面上的，其速度法向分量小于vr的分子的吸收概率为零，而对大于Vr的分子的吸收概率为1,试求吸收速率的表达式。0Po:若以固体表面的法向定为X方向，按照题义，所有速度分量Vy,Vz为任意，而法向分量Vx大于Vr的分子撞击到表面上都能够被吸收，但是其速度法向分量小于Vr的分子的吸收概率为零。我们从气体分子碰壁数公式的推导过程中就可以知道其总的吸收概率为：VrF(Vx)dVxvnf(Vx)VxdVxr

38、1/2Vrm2ukTexp2mvxvxdvx2kT1m22TtkT2kTmexp2mv而VrkTexp(mv.2kT，2.6.1试证若认为地球的大气是等温的，则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。R分析1:在离地高为zzdz的范围内的球壳体积为，一、2.dV(z)4XREz)dz(1)说明：这是因为地球大气标高只有8km,它比地球半径Re要小得多，所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。当然，我们也可以如下更清楚地求出：4_3_3_dV(z)”zdzRe)(zRe)4_2_23(

39、zRe)dz3(zRe)dzdz3忽略dz的二次方和三次方项，同样有_2dV(z)4KzRe)dzR解1:若设在海平面处的气体分子数密度为n(0),在球壳体积dV(z)范围内的分子数_2dN(z)dV(z)n(z)4XzRe)dzn(0)exp(Mmgz/RT)Nn(0)°4/22zRERE2)exp(Mmgz/RT)dz令RT/MmgH称为大气标高，设在海平面处的气体分子数密度为n(0),所有大气的总分子数为N,则：N4如(0)°z2exp(z/H)dz2RE°ze>p(z/H)dz2,Re0exp()dzHn(0)4冗旦Re2mg12kT2kT2,_2(

40、)2mgRemgRE(2)现在来估计kT/mgR的数量级。设地球大气为平均温度T=273K的等温大气，而且Re6.4106km,m291.671027kgkTmgR231.3810273291.6710279.86.41060.00124(3)利用(3)式可以看到，(2)式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级，第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。显然，用近似方法进行计算要简便得多。这时2kT2Nn(0)47tRf(一)n(0)4uRfHmg其中H为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是

41、大气标高。92.6.2试估计质量为10kg的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。R分析1：(1)我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子大几个数量级。从能量均分定理可以知道，2222.mvx/2mvv/2mvx/2kT/2mv/6人y人若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级，相应地其均方速率要小十几个数量级。当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位

42、移根本测量不出，则砂粒的布朗运动(或者说无规运动)可以不必考虑。可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。(2)布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高kT/mg应该都相同。R答:1018K。2.6.3若认为大气是温度为273K的等温大气，试估计地球大气的总分子数及总质量。0Po:解法一：由2.6.1题的解中已经得到所有大气的总分子数N的表达式kT22kTkT21Nn(0)4lRe12()mgmgRemgRe由于上式的方括号中第二项比第一项小3个数量级，第三项又比第二项小3个数量级，完全可以忽略其中的第二项和第三项。利用2。6。1题得到

43、的地球大气标高公式3HkT/mg0.00124Re7.9103m以及标准状况下的理想气体分子数密度n(0)2.71025m-3,就可以近似求得地球大气的总分子数及总质量分别为_2_44Nn(0)4uRE(kT/mg)1.110MNmNMm/NA5.31018kg解法二：由于大气分子数密度是按指数曲线衰减的，地球大气标高H=Mmg/RT=8km,说明从海平面到高度h=H处大气分子数密度已减少为n(0)/e。我们知道，若把整个大气分子压缩为一层覆盖在地球表面的、其密度与海平面处大气密度相等的均匀大气层，则其厚度也是H。故大气总分子数244N4uReHn(0)1.110其中n(0)为标准状况下理想气

44、体分子数密度。解法三：我们知道，地球表面的大气压强是因为地球对地面以上所有的大气分子的重力作用而产生的。海平面上的大气压强是标准大气压强p0,地球的表面积是4TtR2,所以地球大气分子的总质量为Mp0/4uRfg5.31018kg2.6.4试估计大气中水汽的总质量的数量级。可认为大气中水汽全部集中于紧靠地面的对流层中，对流层平均厚度为10km,对流层中水汽平均分压为665PaR解力：设地球大气平均温度为273K,利用p=nkT公式可以得到大气中水汽分子总质量的数量级为M4uRfh(p/kT)m2.71016kg2.6.5已知超速离心机以角速度转动，胶体密度为，溶剂密度0,测得与离心机的轴相距为

45、2及1处质点浓度之比为。试问胶体分子的摩尔质量Mm是多少？R分析：在胶体溶液中，质量为m、体积为V的胶体分子受到重力和浮力的共同作用.*fmg0Vgmgm的胶体分.*其中mm(10/)称为有效质量。也就是说，在重力场中的胶体溶液中，质量为一»一.一一*子相当于在真仝王景中的质重为m的气体分子。按照定轴旋转系统的粒子空间分布公式可以知道，在作定轴旋转溶剂中悬浮的胶体微粒的分布有如下关系：m(1n(r)n(0)exp22o/)r2kT及r=0处粒子的数密度。设其中n(r)和n(0)分别为r=rn(2)/n(ri),则m(10/)巡2kT胶体分子的摩尔质量Mm2RTln2722(10/)(

46、r2ri)2.6.6拉萨海拔约为3600m,设大气温度300K处处相等。（1）当海平面上气压为1.01105Pa时，拉萨的气压是多少？（2）某人在海平面上每分钟呼吸17次，他在拉萨应呼吸多少次才能吸人相同质量的空气。R答：（1）0.67105Pa；25.6次。2.6.7若把太阳大气层看作温度为T日5500K的等温大气，其重力加速度g日2.7106.9已知温度为T的理想气体在重力场中处于平衡状态时的分布ms2可视为常量，太阳粒子平均摩尔质量3.Mm日1.510kg,试问太阳大气标图是多少？R答:1.13105m。2.6.8在等温大气模式中，设气温为5°C,同时测得海平面的大气压和山顶的

47、气压分别为1.00105Pa和0.78105Pa,试问山顶海拔为多少？R答:2.010函数为m。3/2Am2ukTexp2mvmgzdddvxdvydvzdxdydz其中z为由地面算起的高度。(1)试求出系数Ao(2)试写出一个分子其x、y坐标可任意取，其z轴坐标处于zzdz,而其速度矢量处于vxvxdvx，vy-vydvy,vzvzdvz间的概率。(3)写出一个分子其x、v、z坐标及vy,vz均可任意取值，但vx处于vxvxdvx间的概率。(4)一个分子的vx，vy,vz及x、y坐标均可任意取，其高度处于zzdz的概率是多少？m2ukT3/2exp2mv2kTmgzdvxdvydvzdxdy

48、dzR分析1:显然m2#T3/2exp2mvmgzdvxdvydvzAexpdxdydz上式中等式后面的前一因子是麦克斯韦速度分布，它是归一化的。而后一因子是沿z方向的重力场分布。它也应该满足是归一化条件Aexpmgzdxdydz1kT在这一积分中，考虑到把整个大气分子压缩为其密度与海平面的密度相同的均匀大气层时，其大气层厚度为大气标高Ho对于地球大气它大约是8km。显然H大大小于地球半径Ro=6400km。我们看到，这一均匀大气层好像是覆盖在球面上的一张“纸”。把这张“纸”展开可以近似看为面积为地球表面积4tRe的一个平面。所以在上述积分中，z是从0积分到无穷大，而x,y应该积分遍及整个地球表面。R解：(1)考虑如下积分mgz,kT一expdzH(1)0kTmg所以Aexomzdxdydz4%曜H1RT124uReHmg-7_24uREkT(2)求出A以后，题目中所给分布公式可以写为Mmg4uRERT322mmvexp2ukT2kTmgzdvxdvydvzdxdydz(3)kT要求出一个分子其x、y坐标可任意取，其z轴坐标处于zzdz,而其速度矢量处于vxvxdvx,vyvydvy.VzVzdWz间的概率，mgmkT2ukT322mvexo2k