正态分布及其经典习题和答案

1、专题：正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题；3、通过实际问题,借助直观(如实际问题的直观图),熟悉正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义.【典型例题】例1:(1)随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,V(X)=1.44,那么二项分布的参数n,p的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1答案：B.解析：EXnp2.4,VXnp(1p)1.44.(2)正态曲线下、横轴上,从均数到的面积为().A95%B.50%C.97.5%D.不能确定(与标准

2、差的大小有关)答案：Bo解析：由正态曲线的特点知.80,标准差为10,理论上说在80(3)某班有48名同学,一次测试后的数学成绩服从正态分布,平均分为分到90分的人数是A32B16C8D20答案：Bo解析:数学成绩是XN(80,102),P(80X90)P80809080ZP(0Z1)0.3413,480.341316.1010(4)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为答案：8.5.解析：设两数之积为X,X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5.(5)如图,两个正态分布曲线图：1为1,1(X),2

3、为22(x),那么12,12(填大于,小于)答案：V,.解析：由正态密度曲线图象的特征知.例2:甲、乙两人参加一次英语口语测试,在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次测试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格(I)求甲答对试题数E的概率分布及数学期望;(H)求甲、乙两人至少有一人测试合格的概率答案：解：(I)依题意,甲答对试题数E的概率分布如下:甲答对试题数E的数学期望0123P1311301026-1,EE=0-130310(H)设甲、乙两人测试合格的事件分别为A、B,那么C2c1c3C6c4C66020P(A)=3=如1202-,P(B)=3

4、cfc2C；C3056561201415由于事件A、B相互独立,方法一:,甲、乙两人测试均不合格的概率为141545,甲、乙两人至少有一人测试合格的概率为44答：甲、乙两人至少有一人测试合格的概率为44454545方法二:,甲、乙两人至少有一个测试合格的概率为2PPABPABPAB1142144431531531545_44答：甲、乙两人至少有一人测试合格的概率为空.45例3:甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y,其分布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a,b的(2)比拟两名射手的水平.答案：(1)a=0.3,b=0.4;值;(2)EX10

5、.320.130.62.3,EY10.320.430.3DX0.855,DY0.6所以说甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙稳定.例4:一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球,除颜色不同外,6个小球完全一样,中取出6个球,输赢规那么为：6个全红,赢得100元；5红1白,赢得50元；4红2白,赢得20元输掉100元；2红4白,赢得20元；1红5白,赢得50元；6全白,赢得100元.而且游戏是免费的每次从袋;3红3白,.很多人认为这种游戏非常令人心动,现在,请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动CkC6k答案：设取出白红球数为X,那么X-H(6,6,12),P(Xk)C6C6,其中k=0

6、,1,2,6%X100_50_201001675100P-46277154231设赢得的钱数为Y,那么丫的分布列为1E(Y)100156cc751005020一100一4627715423129.44,故我们不该“心动.【课内练习】1 .标准正态分布的均数与标准差分别为.A0与1B.1与0C.0与0D.1与1答案：Ao解析：由标准正态分布的定义知.2 .正态分布有两个参数与,相应的正态曲线的形状越扁平.A越大B,越小C.越大D.越小答案：Co解析：由正态密度曲线图象的特征知.1n一2t3 .已在n个数据x1,x2,xn,那么一xix正指ni1A.B.C.2D.2答案：Co解析：由方差的统计定义

7、知.4 .设B(n,p),E12,V答案：4.解析：Enp12,Vnp(1p)45.对某个数学题,甲解出的概率为2,乙解出的概率为-,两人独立解题.记X为解出该题的人数,那么34(X)=O,17答案：上.12解析:11P(X0)34121一,P(X1)12344*P(X2)1712P(|a)P(|a)P(|a)(a0)151E(X)012-21226.设随机变量服从正态分布N0,1,那么以下结论正确的选项是(2)P(|a)2P(a)1(a0)P(|a)12P(a)(a0)(4)P(|a)1P(|a)(a0)答案：,2,4.解析：P|a0.7.抛掷一颗骰子,设所得点数为X,那么VX=.,-351

8、735答案：一.解析：PXk-,k1,2,6,按定义计算得EX一,VX一.1262128.有甲乙两个单位都想聘任你,你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：甲单位1200140016001800概率0.40.30.20.1乙单位1000140018002200概率0.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位并说明理由.答案：由于E甲=E乙,V甲V乙,应选择甲单位.解析：E甲=E乙=1400,V甲=40000,V乙=160000.9.交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽

9、2球的钱数之和(设为),求抽奖人获利的数学期望.答案：解：由于为抽到的2球的钱数之和,那么可能取的值为2,6,10.P(C；2)-2-2028»P(45小-8-26)ET216C；p(10)-445'-0145c28c264516s104514516245185为抽奖者获利的可能值,那么5,抽奖者获利的数学期望为EE(5)E5故,抽奖人获利的期望为史557o510.甲乙两人独立解某一道数学题,(1)求该题被乙独立解出的概率；该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.(2)求解出该题的人数的数学期望和方差答案：解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.

10、设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2.贝UP(A)=P1=0.6,P(B)=P2P(AB)1P(AB)1(1P1)(1P2)P1P2RP20.920.6P20.6P20.92那么0.4P20.32即P20.8(6分)(2) P(0)P(A)P(B)0.40.20.08P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)0.60.20.40.80.44P(2)P(A)P(B)0.60.80.48的概率分布为：012P0.080.440.48E00.0810.4420.480.440.961.4,、2_,、2_、2_V()(01.4)0.08(11.4)0.44(21.4)0.480.15680.07040

11、.17280.4,或利用V()E(2)(E)22.361.960.4.【作业本】A组1 .袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X表示取出球的最大号,那么E(X)等于)X345P0.10.30.6A、4B、5C、4.5答案：Co解析：X的分布列为D、4.75故E(X)=30.1+40.3+50.6=4.5.2 .以下函数是正态分布密度函数的是1-x-lf(x)e22B.f(x)2x"2C.x121f(x)e42.2D.f(x)答案：B.解析：选项B是标准正态分布密度函数.3.正态总体为0,1概率密度函数f(x)是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又

12、是偶函数2x答案：Bo解析：f(x)4 .正态总体落在区间0.2,的概率是0.5,那么相应的正态曲线在x时到达最高点.答案：0.2.解析：正态曲线关于直线x对称,由题意知0.2.5 .一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,总分值120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为.答案：84;75.6.解析：设X为该生选对试题个数,刀为成绩,那么XB(50,0.7),刀=3XE(X)=40X0.7=28V(X)=40X0.7X0.3=8.4故E(刀)=E(3X)=3E(X)=84V(刀)=V(

13、3X)=9V(X)=75.66 .某人进行一个试验,假设试验成功那么停止,假设实验失败,再重新试验一次,假设试验三次均失败,那么放弃试2、乂验,假设此人每次试验成功的概率为一,求此人试验次数X的分布列及期望和方差.解：X的分布列为X1P23232919+,2211322113238故E(X)1-2-3-1,V(X)1一4一9一(一)一.39993999817 .甲、乙两名射击运发动,甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,假设他们独立的射击两次,设乙命中10环的次数为X,那么EX=4,Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的3分布列及期望4一一.2答案：解：

14、由可得XB(2,s),故EX2s4,所以s-.有Y的取值可以是0,1,2.甲、乙两人命中10环的次数都是一一,1、2,1、20次的概率是(万)2(-)2136',一口,1甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是(一2,一口,1甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是(一211121222)(33)(2312339121所以P(Y0)369913一;36甲命中10环的次数是甲命中10环的次数是1所以P(Y2)一362且乙命中10环的次数是0次的概率是0且乙命中10环的次数是2次的概率是15,故P(Y1)1P(Y0)936玄(3)13611221(22)(33)91P(Y2)万所以Y的

15、分布列是Y1231315P36236、7所以Y的期望是E(Y)=.98 .一软件开发商开发一种新的软件,投资50万元,开发成功的概率为0.9,假设开发不成功,那么只能收回10万元的资金,假设开发成功,投放市场前,召开一次新闻发布会,召开一次新闻发布会不管是否成功都需要花费10万元,召开新闻发布会成功的概率为0.8,假设发布成功那么可以销售100万元,否那么将起到负面作用只能销售60万元,而不召开新闻发布会那么可能销售75万元.(1)求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率(2)求开发商盈利的最大期望值.答案：解：(1)设A="软件开发成功,B="新闻发布会召开成功软件成功开

16、发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.(2)不召开新闻发布会盈利的期望值是E1召开新闻发布会盈利的期望值是E240(10.9)(10050)0.720.9(1故开发商应该召开新闻发布会,且盈利的最大期望是40(10.9)(7550)0.9185(万元);0.8)(6050)100.924.8(万元)24.8万元.B组1.某产品的废品率为0.05,从中取出10个产品,其中的次品数X的方差是A、0.5B、0.475C、0.05D、2.5答案：Bo解析：XB(10,0.05),V(X)100.050.950.475.2.假设正态分布密度函数f(x)12-e2.(xR)

17、,以下判断正确的选项是A.有最大值,也有最小值C.有最大值,但没最大值答案：BoB.有最大值,但没最小值D.无最大值和最小值3.在一次英语测试中,测试的成绩服从正态分布(100,36),那么测试成绩在区间88,112内的概率是)A. 0.6826答案:Co解析:P(88XB. 0.3174C.0.由X-N(100,._.88100_112)P(4.袋中有4个黑球,63个白球,9544D.36),1121006)0.P(9974Z2)2P(Z2)10.9544.分,假设取到一个红球那么得2分,用2个红球,从中任取X表示得分数,那么E2个球,每取到一个黑球得0分,每取到一个白球得1(X)=；V(X

18、)=E(X)=0X+1X+2X+3X+4X=63366363636142V(X)=0X1+12x6+22x11十336142165注：要求次品数的数学期望与方差,应先列出次品数5.假设随机变量X的概率分布密度函数是答案：-5.解析:2,2,E(2X1)2E(X)36162的分布列.x222.2e8,(xR),那么E(2X1)=12(2)6.一本书有500页,共有100个错字,随机分布在任意一页上,1解：XB(100,),E(X)1005000.2,V(X)100-50050015.求一页上错字个数1(1)0.1996500X的均值、标准差.,14165答案：一；o解析：由题意知,X可取值是0,1,2,3,4.易得其概率分布如下:9162X01234P1111116336636X的标准差«(X)0.04468.7.某公司咨询热线 共有10路外